精品解析：浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先借助不等式求出集合，再运用交集的运算求. 【详解】由， 则， 故选：B. 2. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求得，再由可得. 【详解】由得， 所以， 故选：C. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为. 故选：C 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得. 【详解】， 由， 则， 化简得. 故选：A. 5. 已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】借助长方体模型，判断线线与线面位置即可. 【详解】如图，长方体中，平面平面， 令平面为，平面为， 则平面平面， ①令，，即，但平面，， 故不与平面平行，即不成立. 故，所以“”是“”的不充分条件； ②令，平面，即， 但，不与平行，即不成立. 故，所以“”是“”不必要条件； 综上所述“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得. 【详解】，，则， 作出函数的图象，可知是上的增函数. 又，是奇函数. 不等式可化为， 所以，则，即，解得， 不等式的解集是. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，求出，由此可得的最大、最小值. 【详解】由函数的值域为， 得，得， ， 得，由定义域为， 所以， ， 所以的取值范围是. 故选：D. 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（ ） ①二面角的大小为常数 ②二面角的大小为常数 ③二面角的大小为常数 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量， 看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数. 【详解】 设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 又是侧面上的动点，设，， 则， 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 又平面，则，即， 则，解得， 因此可得，， 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 又 因此可得二面角的大小为常数，故①正确； 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 因为中含参数，故的值不定， 因此二面角的大小不是常数，故②不正确； 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 因为中含参数，故的值不定， 因此二面角的大小不是常数，故③不正确； 故选：B. 【点睛】方法点睛： 1.与平行有关的轨迹问题的解题策略 （1）线面平行转化为面面平行得轨迹； （2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹． 2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略 （1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹； （2）利用空间坐标运算求轨迹； （3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ） A. 极差变大 B. 中位数不变 C. 平均数变小 D. 方差变大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误. 【详解】由于10个数据已经确定， 故不妨设，由题意不妨取， A项， 原极差为， 去掉最高与最低分后，极差为， 所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A项错误； B项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B项正确； C项，由题意原平均数， 则，则去掉最高与最低分后， 平均数变为，平均数变小，故C正确； D项， 去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小， 故方差会变小，故D项错误. 故选：BC. 10. 已知分别是三个内角的对边，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形 D. 若，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理边角关系判断A；利用正弦定理解三角形求角C判断B；由已知可得，由其几何意义可知边上的中线长等于的一半，即可判断C；由余弦定理和基本不等式求出，再由数量积的定义将的最大值转化为求的最大值，由求解可判断D. 【详解】对于A，因为在上单调递减， 所以，则，故A正确 对于B，由，则， 而，故或，因为，所以， 所以或，故B错误； 对于C，由、，， 故，所以在中边上的中线长等于的一半， 即是为直角的直角三角形，故C正确. 对于D， 而， 当时，取最大值，故D正确. 故选：ACD. 11. 四面体中，，记四面体外接球的表面积为，当变化时，则（ ） A. 当时， B. 当四面体体积最大时， C. 可以是 D. 可以是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，点在平面内的投影是的外心，构造直角三角形求外接球的半径；B选项，平面平面时，构造直角三角形求外接球的半径；C选项，由外接球半径的范围进行判断；D选项，验证外接球的半径是否成立. 【详解】设四面体外接球球心为，半径为， 当时，，则点在平面内的投影是的外心， 由，为直角三角形，外心是边的中点， 平面，平面，三点共线， 中，， 中，由，得，解得， 此时，A选项正确； 当四面体体积最大时，有平面平面， 设平面的外心为，为中点，连接，则平面， 由，则，，， 平面平面，平面平面， 平面，，则平面， 又平面，则有， 中，，又，则， 同理可得平面，， 所以四边形为矩形，， 中，由，得， 此时，B选项正确； 若，则外接球的半径为，而的外接圆半径， 所以这种情况不成立，C选项错误； 当时，，， 则，即， 四面体外接球的半径成立，此时，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求一个特殊四面体的外接球半径 , 通常有以下几种思路 : 一是构造法 ,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 ,可通过构造一个球内接长方体得到 ; 二是截面法 ,比如求正三棱锥的外接球径 , 可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到 ; 三是观察法 , 比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体 , 它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 .关于一般四面体的外接球半径问题 , 可以用解析法求出 . 方法如下 : 先建立适当的空间直角坐标系 , 并写出这个四面体四个顶点的坐标. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值. 【详解】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于对称， 因此， 故答案为：2. 13. 已知，且，则的最小值为______． 【答案】81 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可得，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由，，则，，， 又，则，即， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以可得， 因此的最小值为81. 故答案为：81. 14. 在正四面体中，分别为的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解. 【详解】取, 由可得,故， 故得截面为四边形， ， , , 故， 故体积较大部分与体积较小部分的体积之比， 故答案为： 四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知，，． （1）当时求集合； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）当时，解不等式，从而求出集合； （2）对进行分类讨论，求取不同值时的集合，再根据，即可求实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，则， 由不等式，解得， 即； 【小问2详解】 由不等式，则，即， 当时，由（1）知，，又，则，即符合题意； 当时，为空集，又，显然不成立； 当时，或，又，则，即，故符合题意； 当时，或，显然，故符合题意； 当时，或，显然，故符合题意； 综上知，或. 16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． （1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率； （2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】（1） （2）20； 20.32 （3）23.86 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率可得； （2）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算； （3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可. 【小问1详解】 由志愿者服务时间低于18小时的频率为， ， 所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20； 由，解得， 估计平均数为； 【小问3详解】 ，， 由， 第75百分位数位于之间，设上四分位数为， 则，解得． 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间； （2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得. 小问1详解】 . 由， 解得 即时，函数单调递减， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以. 若，则， . 由，得，又， 所以，则， 故 . 故的值为. 18. 如图，已知四棱锥中，，，，且， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证，，利用线面垂直的判定定理得平面， 再利用线面垂直的性质即可证得； （2）由（1）知平面，利用面面垂直判断定理可得平面平面， 则即为直线与平面所成角，再利用题中条件求的长度，最后利用余弦定理进行求解即可； （3）由（2）知平面平面，又平面平面，则平面与平面重合，即四点共线， 再利用题中条件求出四边形的面积和四棱锥的高，最后用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接， 由，则， 因此可得， 又为中点，则在等腰和等腰中，可得，， 又，平面， 平面， 又平面， . 【小问2详解】 过作垂直的延长线于一点， 由（1）知平面，平面, 则平面平面， 又平面平面，平面，, 平面，故即为直线与平面所成角， 又在等腰直角中，，则，， 又在中，， 则， 在中，， 则在中，， 因此可得， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知平面平面，又平面平面， 则平面与平面重合，即四点共线， 在中，， ， 在中，, 又, 又四边形的面积 , 又（2）知平面，故为四棱锥的高， 所以四棱锥的体积. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明平面，再利用面面垂直的判定定理证平面平面， 最后根据平面与平面垂直，确定四点共线，考查了线面垂直， 面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题. 19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设． （1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值； （3）当时，设，已知在上有两个零点，证明：． 【答案】（1）是“反比例对称函数”，理由见解析； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可； （2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可. （3）将两个函数看做两个“反比例对称函数”，然后找到同一个时的图像，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图像发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可. 【小问1详解】 是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知， 可知， 所以， 故“反比例对称函数”. 【小问2详解】 由题可知，，此时， 因为函数与的图像恰有一个交点，即有一个解， 得， 令，得仅有一个解， 显然， 因为，则有， 要使仅有一个解， 只需，或（舍） 所以. 【小问3详解】 不妨先设， 由题可知， 显然， 已知有两个零点，，则两个零点满足， 此时， 即，函数与函数，的两个交点横坐标满足； 可知利用复合函数单调性可知， 当时，单调递增； 时，单调递减； 由对勾函数性质可知 ， 在时，此时单调递减； 在时，此时单调递增； 得两函数示意图 当，此时， 相当于函数， 故所有的横坐标缩小为原来的倍； 故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故. 【点睛】思路点睛：新概念的题型，我们需要去理解函数的性质，然后计算即可，注意出题人出题一般是层层递进的，所以还是需要寻找前后问题的联系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 记复数共轭复数为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（ ） ①二面角的大小为常数 ②二面角大小为常数 ③二面角的大小为常数 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ） A. 极差变大 B. 中位数不变 C. 平均数变小 D. 方差变大 10. 已知分别是三个内角的对边，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形 D. 若，则的最大值是 11. 四面体中，，记四面体外接球表面积为，当变化时，则（ ） A. 当时， B. 当四面体体积最大时， C. 可以是 D. 可以是 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 13. 已知，且，则的最小值为______． 14. 在正四面体中，分别为的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______． 四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知，，． （1）当时求集合； （2）若，求的取值范围． 16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． （1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率； （2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 18 如图，已知四棱锥中，，，，且， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积． 19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设． （1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值； （3）当时，设，已知在上有两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$