精品解析：云南省大理白族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

大理州民族中学2024-2025学年上学期8月月考 高二数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义即可求解. 【详解】. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法、减法运算及复数的模即可求解. 【详解】， 所以. 故选：C. 3. 某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7 小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、极差的计算公式计算平均数、中位数、极差，再结合标准差的定义即可判断. 【详解】实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9， 其平均数为：，中位数为：， 极差为：， 录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96， 其平均数为：，中位数为：， 极差为：， 根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知， 错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化， 所以这组数据中没有发生变化的量是中位数. 故选：B 4. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，列出公式，计算可得答案. 【详解】因为，所以. 根据投影向量的定义可知：在方向上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B. 【详解】利用诱导公式化简： 已知角的终边经过点，可得，且. 分子分母同时除以： . 故选：B 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再结合三角函数的平移规则判断即可. 【详解】因为， ， 所以将向右平移个单位长度得到，故D正确； 若将向左平移个单位长度得到，故A错误； 若将向右平移个单位长度得到，故B错误； 若将向左平移个单位长度得到，故C错误； 故选：D 7. 已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理的变形：，结合三角形的面积公式，可把条件转化为：，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中，可求得. 【详解】因为，所以， 又由， 所以. 所以 所以，又因为在中，，所以. 故选：A 8. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（ ） A. 2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增 B. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降 C. 2021年全国居民人均消费支出24100元 D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条形图以及扇形图，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由图可知，2017～2021年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，逐年递增，故A正确； 对于B，根据条形图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年是上升的，故B错误； 对于C，根据扇形图知，2021年全国居民人均消费支出为：元，故C正确； 对于D，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，故D正确， 故选:ACD. 10. 瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄.依据欧拉公式，下列结论正确的是（ ） A. 为实数 B. 复数为纯虚数 C. D. 设复数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】 结合复数及三角函数的概念，根据欧拉公式逐项计算，判断正误即可. 【详解】 ，选项A错误； 由欧拉公式，， 则为偶数时，， 为奇数时，，选项B错误； ，选项C正确； ， 所以，选项D正确. 故选：CD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ） A. 点在平面的射影为的外心 B. 直线平面 C. 三棱锥的体积不为定值 D. 异面直线与所成角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用正方体的结构特征，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，连接，由正方体中，可得面， 因为面，所以，又因为底面为正方形，所以， 因为面，所以面. 又因为面，所以， 由正方体中可得面， 因为面，所以， 又因为侧面为正方形，所以， 因为面，所以面. 又因为面，所以， 因为面，所以面， 正方体中，可得， 故三棱锥为正三棱锥，所以点在平面的射影为的中心， 所以点在平面的射影为的外心，所以A正确； 对于B中，连接，正方体中，可得， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 正方体中，可得， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，而平面，所以平面， 又因为面，所以面平面， 又因为面，所以直线平面，所以B正确； 对于C中，设点到面的距离为， 因为点M在线段，由B分析易知平面， 所以点到面的距离是定值， 则， 所以三棱锥的体积为定值，所以 C错误； 对于D中，因为面，且面平面， 所以面，且面，所以， 故异面直线与BM所成角为，所以 D正确. 故选：ABD. 二､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据复平面上的点与复数实部、虚部关系列出不等式即可求解. 【详解】因为复数表示的点在复平面的第二象限内， 所以，解得，所以实数的取值范围是， 故答案为： 13. 在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由斜坐标定义用，表示，然后平方转化为数量积求得模． 【详解】由题意， ， 故答案为：． 14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，在中，由正弦定理得到，从而得到. 【详解】由题意得， 故， 故中，由正弦定理得， 即，解得， 又在点测得山顶的仰角为，故， 故. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）令甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，由，，根据相互独立事件性质可求解； （2）令甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，即三个家庭中有一个家庭回答错误或者三个家庭都回答正确 则：，代入第一问数据即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，所以. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和. 【小问2详解】 设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件， 则有 ， 所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为. 16. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得，再结合余弦定理，即可求得角B； （2）求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，结合角A的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 化简可得，由余弦定理得， 因为为三角形内角，，所以. 【小问2详解】 因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理可得 故， 所以 ， 因为为锐角三角形，则， ， 即的周长的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，． （1）求证：平面平面； （2）当时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在中，， 由余弦定理， 即，解得， 所以，即，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可证明平面，从而得证； （2）由（1）可得，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角， 取的中点，连接，因为，所以， 又，所以， 所以，所以二面角的正弦值为. 18. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差. 【答案】（1）84；（2）；（3）平均数和方差分别为和148. 【解析】 【分析】（1）在内的成绩占比为70%，在内的成绩占比为95%，由 ，可得答案； （2）得出在区间和内的男生成绩样本数据，并列出数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点和调查对象来自不同分组的样本点，由古典概型的概率计算公式可得答案；. （3）设男生成绩样本数据为，，…，，平均数为，方差为； 女生成绩样本数据为，，…，，平均数为，方差为；总样本的平均数为，方差为，由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得， 可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，在内的成绩占比为70%，在内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于内. 因为， 所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84； （2）在区间和内的男生成绩样本数据分别有4个和2个， 分别用和表示，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点 有，， 个数为， 记事件“调查对象来自不同分组”， 则事件包含的样本点有， 个数为， 所以； （3）设男生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为 女生成绩样本数据为，，…，，其平均数为， 方差为；总样本的平均数为，方差为. 由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 得. 因为 又， 同理，所以 . 所以总样本的平均数和方差分别为和148. 19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. （1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； （3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】（1） 对于函数的定义域内取， 则，，无解， 故不是“依赖函数”. （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）从存在性或唯一性来说明该函数不是“依赖函数”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判断答案； （2）根据函数单调性的性质，可得，代入可求解； （3）分类讨论，当时，明显不符题意；当时，利用函数单调性，可得，解得，代入后，利用不等式恒能成立的性质，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上递增， 故，即，所以. 【小问3详解】 ①当时，取，则，此时不存在，舍去； ②当时，在上单调递减，从而， 由于，故.解得（舍）或， 且，所以. 由于存在实数，使得不等式能成立，故. 从而得到， 由于，所以， 综上，实数的最大值为4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是：对函数单调性的理解，以及不等式恒能成立的用法，要充分利用数形结合对函数单调性进行充分剖析才可得到答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理州民族中学2024-2025学年上学期8月月考 高二数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7 小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 标准差 4. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（ ） A. 2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增 B. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降 C. 2021年全国居民人均消费支出24100元 D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足 10. 瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄.依据欧拉公式，下列结论正确的是（ ） A. 为实数 B. 复数为纯虚数 C. D. 设复数，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ） A. 点在平面的射影为的外心 B. 直线平面 C. 三棱锥的体积不为定值 D. 异面直线与所成角为 二､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________（用区间表示）. 13. 在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______ 14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 16. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，． （1）求证：平面平面； （2）当时，求二面角的正弦值． 18. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差. 19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. （1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； （3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $