专题2.4 有理数的乘除与乘方【11大题型】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题2.4 有理数的乘除与乘方【11大题型】（北师大版2024） 题组一 有理数乘法符号判定 2 题组二 倒数、绝对值、相反数 2 题组三 有理数的乘法运算 3 题组四 有理数的乘法新定义运算 5 题组五 有理数乘法的实际应用 6 题组六 有理数除法运算 7 题组七 运用倒数法解决有理数的除法 10 题组八 乘方运算的符号规律 10 题组九 乘方运算的整除问题 11 题组十 乘方运算的尾数问题 11 题组十一 科学计数法 12 ( 知识导航 ) 知识点1 有理数的乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积仍为 0。乘法运算律 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 注：几个因数相乘，符号取决于负因数的个数，“奇负偶正”。 知识点2 倒数 1.概念：如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 2.性质： （1）0 没有倒数 （2）倒数等于本身的数为 1 和-1，若 a、b 互为倒数，则 ab=1。 识点3 有理数的除法 有理数乘除法的关系：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 注：（1）0不能作除数 （2）0 除以任何非0的数都得0 知识点4 有理数的乘方 1.乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂,记作 an ， a 叫做底数， n 叫做指数,读作“a 的 n 次幂” 2.正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。 题组一 有理数乘法符号判定 1．如果a+b＝|a|﹣|b|＞0，ab＜0，那么（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 2．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足ab＞0，a+b＜0，下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 3．a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是（　　） A．a，b，c同号 B．a＞0，b与c同号 C．b＜0，a与c同号 D．a＞b＞0＞c 4．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①ab＞0；②a+b＜0；③（a﹣1）（b﹣1）＞0．其中正确式子的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣2 题组二 倒数、绝对值、相反数 6．的倒数与互为相反数，那么a＝　 　． 7．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则﹣2023m+﹣2023n的值是 　 　． 8．若a，b互为倒数，则a2b﹣（a﹣2023）值为 　 　． 9．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 10．列式计算求值： （1）﹣3的相反数与0.3的倒数的差； （2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求m2﹣（﹣1）+的值． 题组三 有理数的乘法运算 11．用简便方法计算： ①； ②． 12．计算：﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34． 13．计算： （1）（﹣185.8）×（﹣36）×0×（﹣25）； （2）（﹣1）×3（﹣）×（﹣1）． 14．计算． （1）（﹣6）×（+8）； （2）（﹣0.36）×（﹣）； （3）（﹣2）×（﹣2）； （4）（﹣288）×0； （5）2×（﹣1）×（﹣）×（﹣）； （6）（﹣5）×（﹣8）×0×（﹣10）×（﹣15）； （7）（﹣3）×（﹣0.12）×（﹣2）×33； （8）（+）×|﹣|×2×（﹣5）； （9）（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）+（﹣5）×（﹣7）； （10）（﹣0.1）×（﹣1）×（﹣100）﹣0.01×（1000）． 15．选择适当方法，简便计算： （1） （2） （3）﹣15×24+15×13+15． （4）． （5）． 16．计算． （1）（﹣10）×（﹣）×（﹣0.2）×9； （2）（﹣1.2）×0.75×（﹣1.25）； （3）﹣×3.59﹣×2.41+×（﹣3）； （4）（）×（﹣24）． 17．计算： （1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）（﹣10）•（﹣8.24）•（﹣0.1）； （3）﹣×2.4×； （4）（﹣+﹣）×36； （5）﹣×（8﹣1﹣0.04）； （6）71×（﹣8）． 18．计算： （1）（﹣7.6）×0.5； （2）（﹣3）×（﹣2）； （3）8×（﹣）×（﹣4）； （4）21×（﹣71）×0×43； （5）（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）； （6）（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）． 19．计算： （1）1.6×（﹣）×（﹣2.5）×（﹣）； （2）（﹣）×（8﹣﹣0.04）； （3）﹣7×（﹣）+19×（﹣）﹣5×（﹣）． 20．计算下列各题： （1） （2） （3） （4） （5）． 题组四 有理数的乘法新定义运算 21．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 22．对于整数a，b，规定一种新的运算“*”，即a*b等于由a开始及其以后连续|b|个整数的积，如，2*3＝2×3×4＝24，（﹣5）*（﹣2）＝（﹣5）×（﹣4）＝20，那么（﹣7）*[1*（﹣2）]的值等于多少？ 23．规定两数a，b，通过“△”运算得到3ab，例如2△4＝3×2×4＝24． （1）求（﹣4）△5的值； （2）不论x是什么数，总有a△x＝x，求a的值． 24．[阅读理解]观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为＜a，b＞，如：数对＜2，＞，＜＞，都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对＜2，1＞和＜3，＞是不是“共生有理数对“． （2）若＜m，n＞是“共生有理数对”，判断＜﹣n，﹣m＞是不是“共生有理数对”． 25．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”； （2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）　 　“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m． 题组五 有理数乘法的实际应用 26．一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市． （1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置． （2）小陈家距小李家多远？ （3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？ 27．书店正在进行酬宾活动．方案①：原价450元的一套原版名著现在打八折；方案②：如果在本次活动中先花20元办一张会员卡，还可以在打八折的基础上再打九折．你认为哪种方案购买比较便宜？ 28．（1）一对互相咬合的齿轮，主动轮有20个齿，每分钟转60转，如果要使从动轮每分钟转40转，从动轮的齿数应是多少？ （2）李师傅计划生产450个零件，工作8小时后还差330个零件没有完成，照这样速度，共要几小时完成任务？ 29．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数） 30．某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的，和．这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？ 31．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的长江路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+15、﹣2、+5、﹣1、+10、﹣3、﹣2、+12、+4、﹣5、+6 （1）小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出车时的出发地有多远？ （2）若汽车耗油量为0.41升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ （3）若小李家距离出车地点的西边35千米处，送完最后一名乘客，小李还要行驶多少千米才能到家？ 题组六 有理数除法运算 32．计算： （1）[（﹣）÷]×（﹣）； （2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣）； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]×． 33．计算： （1）（﹣84）÷（﹣7）． （2）（）÷11 （3）1 （4）2 （5）（﹣36）÷9 （6）（） （7）（﹣3）×0.75×÷3． 34．计算： （1）0÷（﹣）； （2）； （3）； （4）． 35．计算： （1）（﹣3）÷（﹣）×0.75÷（﹣）×（﹣6）； （2）（﹣）×（﹣0.1）÷×（﹣10）； （3）[（﹣72）×（﹣）]×[（﹣）÷（﹣）]． 36．计算： （1）（﹣6）÷（﹣4）÷（﹣）； （2）（﹣16）÷[（﹣）÷（﹣）]； （3）（﹣5）÷（﹣）××（﹣）÷7． 37．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 38．计算． （1）（）÷（﹣5）×（）； （2）÷×（﹣0.6）×÷1.4×（）； （3）． 39．计算题 （1）（﹣5）×2+20÷（﹣4） （2）（﹣3+﹣）÷（﹣） （3）﹣×（﹣）÷（﹣2） （4）﹣3.5÷×（﹣） （5）[2﹣（﹣+）×36]÷5 （6）（﹣﹣）×（﹣60） （7）（﹣﹣）×（﹣24） 40．计算下列各题： （1）（﹣3）÷（﹣5）； （2）2÷|﹣6+3|； （3）（﹣）÷（﹣16）×（﹣8）÷2． 41．计算： （1）﹣12÷4； （2）（﹣72）÷9； （3）（﹣2）÷（×）； （4）3÷（﹣）÷（﹣）； （5）（﹣81）÷2×（﹣）÷（﹣8）； （6）﹣1÷÷（﹣0.25）×（﹣1）． 题组七 运用倒数法解决有理数的除法 42．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝﹣3，则c÷（a+b）＝　 　． （2）计算： （3）根据以上信息可知：＝　 　． 43．阅读下列材料：计算50÷（﹣+）． 解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300． 解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50 ＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝． 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　 　是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：（﹣）÷（﹣+﹣） 44．计算：（﹣）÷（1） 45．计算：÷（﹣++）． 46．计算：（﹣）÷（﹣﹣）． 题组八 乘方运算的符号规律 1．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 2．下列各数中，结果相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣2）3和﹣23 C．（﹣3）2和﹣32 D．|﹣2|3和（﹣2）3 3．下列运算正确的是（　　） A．﹣24＝16 B．（﹣2）4＝﹣16 C．﹣（﹣24）＝16 D．﹣（﹣2）4＝16 4．下列四个数（﹣4）3，﹣43，（﹣8）2，﹣82中，互为相反数的是（　　） A．﹣43和（﹣4）3 B．（﹣4）3和﹣82 C．﹣82和﹣43 D．（﹣8）2和﹣43 5．在（﹣2）3，﹣22，﹣（﹣2），﹣|﹣2|，（﹣2）2中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列四个等式： ①a2＝（﹣a）2 ②a3＝（﹣a）4 ③﹣a2＝|﹣a2| ④a3＝|a3| 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列各式中，正确的是（　　） A．（﹣a）3＝a3 B．﹣a4＝|﹣a4| C．|a5|＝a5 D．a6＝（﹣a）6 题组九 乘方运算的整除问题 8．（﹣8）2024+（﹣8）2023能被下列哪个数整除？（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 9．数348﹣1能被30以内的两位整数整除的是（　　） A．28，26 B．26，24 C．27，25 D．25，23 10．已知68﹣1能被30～40之间的两个整数整除，这两个整数是（　　） A．31，33 B．33，35 C．35，37 D．37，39 题组十 乘方运算的尾数问题 11．已知21的末尾数字为2，22的末尾数字为4，23的末尾数字为8，…，则22024的末尾数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 12．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据这个规律，则31+32+33+⋯+32014＝的末尾数字是（　　） A．0 B．2 C．9 D．8 13．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…根据上述算式中的规律，请你猜想2100的末尾数字是（　　） A．2 B．4 C．8 D．6 14．观察下列算式并总结规律：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，用你发现的规律写出715的末尾数字是（　　） A．1 B．3 C．9 D．7 15．算式32018+32016+1结果的末尾数字是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 题组十一 科学计数法 16．我国的万里长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位：长城的总长度约为21000千米，21000用科学记数法可以表示为（　　） A．0.21×105 B．2.1×104 C．2.1×105 D．21×104 17．第24届冬季奥林匹克运动会已经画上圆满句号，北京成为历史上首座“双奥之城”，再一次见证了竞技体育的荣耀与梦想，凝聚了人类社会的团结与友谊．2022年2月4日的北京冬奥会开幕式在全国44个上星频道播出，总收视率达20.1%，收视份额达68.2%，电视直播观众规模约为316000000人．将316000000这个数据用科学记数法表示为（　　） A．316×106 B．31.6×107 C．3.16×109 D．3.16×108 18．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（　　） A．1.29×108 B．12.9×108 C．1.29×109 D．129×107 19．近期生物科学家发现一种病毒的长度约为0.00000432米，利用科学记数法表示为（　　） A．4.32×107米 B．4.32×10﹣6米 C．4.32×10﹣5米 D．43.2×107米 20．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000023米．用科学记数法表示0.000000023为（　　） A．23×10﹣10 B．2.3×10﹣10 C．2.3×10﹣9 D．2.3×10﹣8 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 有理数的乘除与乘方【11大题型】（北师大版2024） 题组一 有理数乘法符号判定 2 题组二 倒数、绝对值、相反数 3 题组三 有理数的乘法运算 3 题组四 有理数的乘法新定义运算 14 题组五 有理数乘法的实际应用 16 题组六 有理数除法运算 18 题组七 运用倒数法解决有理数的除法 27 题组八 乘方运算的符号规律 29 题组九 乘方运算的整除问题 31 题组十 乘方运算的尾数问题 32 题组十一 科学计数法 34 ( 知识导航 ) 知识点1 有理数的乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积仍为 0。乘法运算律 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 注：几个因数相乘，符号取决于负因数的个数，“奇负偶正”。 知识点2 倒数 1.概念：如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 2.性质： （1）0 没有倒数 （2）倒数等于本身的数为 1 和-1，若 a、b 互为倒数，则 ab=1。 识点3 有理数的除法 有理数乘除法的关系：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 注：（1）0不能作除数 （2）0 除以任何非0的数都得0 知识点4 有理数的乘方 1.乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂,记作 an ， a 叫做底数， n 叫做指数,读作“a 的 n 次幂” 2.正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。 题组一 有理数乘法符号判定 1．如果a+b＝|a|﹣|b|＞0，ab＜0，那么（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 【解答】解：∵a+b＝|a|﹣|b|＞0，ab＜0， ∴a与b异号，且|a|＞|b|， ∴a＞0，b＜0， 故选：B． 2．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足ab＞0，a+b＜0，下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【解答】解：由题可知， ∵ab＞0，a+b＜0， ∴a与b同号，且都为负数， 故只有C符合． 故选：B． 3．a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是（　　） A．a，b，c同号 B．a＞0，b与c同号 C．b＜0，a与c同号 D．a＞b＞0＞c 【解答】解：a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是a＞0，b与c同号， 故选：B． 4．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①ab＞0；②a+b＜0；③（a﹣1）（b﹣1）＞0．其中正确式子的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解答】解：①a＜0，b＞0，则ab＜0，故该项不正确； ②0＜a＜1，b＜﹣1，则a+b＜0，故该项正确； ③0＜a＜1，b＜﹣1，则a﹣1＜0，b﹣1＜0，即（a﹣1）（b﹣1）＞0，故该项正确； 则只有②③正确． 故选：B． 5．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣2 【解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3， 当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2， a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1， abc＞0，不合题意； 当x+x+1+x+3＝x+1时，x＝﹣， a＝﹣，b＝﹣，c＝， abc＞0，不合题意； 当x+x+1+x+3＝x+3时，x＝﹣， a＝﹣，b＝，c＝， abc＜0，符合题意， 故选：B． 题组二 倒数、绝对值、相反数 6．的倒数与互为相反数，那么a＝　﹣　． 【解答】解：的倒数是， ∵的倒数与互为相反数， ∴＝0， 解得a＝﹣， 故答案为：﹣． 7．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则﹣2023m+﹣2023n的值是 　3　． 【解答】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数， ∴m+n＝0，pq＝1， ∴﹣2023m+﹣2023n ＝﹣2023（m+n）+ ＝0+3 ＝3． 故答案为：3． 8．若a，b互为倒数，则a2b﹣（a﹣2023）值为 　2023　． 【解答】解：∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， 原式＝a•ab﹣（a﹣2023） ＝a﹣（a﹣2023） ＝a﹣a+2023 ＝2023 故答案为：2023． 9．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位， ∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时， ∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣（﹣5） ＝2， 当m＝3时， 2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣3 ＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 10．列式计算求值： （1）﹣3的相反数与0.3的倒数的差； （2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求m2﹣（﹣1）+的值． 【解答】解：（1）﹣（﹣3）﹣ ＝﹣ ＝0； （2）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3， ∴a+b＝0，cd＝1，m2＝9， ∴m2﹣（﹣1）+ ＝9+1﹣1 ＝9． 题组三 有理数的乘法运算 11．用简便方法计算： ①； ②． 【解答】解：①原式＝（﹣）×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36） ＝3+1﹣6 ＝﹣2． ②原式＝（﹣100+）×24 ＝﹣100×24+×24 ＝﹣2400+2 ＝﹣2398． 12．计算：﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34． 【解答】解：﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34 ＝﹣13×+×（﹣13）﹣0.34×﹣×0.34 ＝﹣13×（+）﹣0.34×（+） ＝﹣13×1﹣0.34×1 ＝﹣13﹣0.34 ＝﹣13.34． 13．计算： （1）（﹣185.8）×（﹣36）×0×（﹣25）； （2）（﹣1）×3（﹣）×（﹣1）． 【解答】解：（1）（﹣185.8）×（﹣36）×0×（﹣25）＝0； （2）原式＝﹣（×3××）＝﹣3． 14．计算． （1）（﹣6）×（+8）； （2）（﹣0.36）×（﹣）； （3）（﹣2）×（﹣2）； （4）（﹣288）×0； （5）2×（﹣1）×（﹣）×（﹣）； （6）（﹣5）×（﹣8）×0×（﹣10）×（﹣15）； （7）（﹣3）×（﹣0.12）×（﹣2）×33； （8）（+）×|﹣|×2×（﹣5）； （9）（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）+（﹣5）×（﹣7）； （10）（﹣0.1）×（﹣1）×（﹣100）﹣0.01×（1000）． 【解答】解：（1）（﹣6）×（+8）， ＝﹣（6×8）， ＝﹣48； （2）（﹣0.36）×（﹣）， ＝0.36×， ＝0.04×2． ＝0.08； （3）（﹣2）×（﹣2）， ＝×， ＝6； （4）（﹣288）×0＝0； （5）2×（﹣1）×（﹣）×（﹣）， ＝﹣×××， ＝﹣3； （6）（﹣5）×（﹣8）×0×（﹣10）×（﹣15）＝0； （7）（﹣3）×（﹣0.12）×（﹣2）×33， ＝﹣×0.12××， ＝﹣30； （8）（+）×|﹣|×2×（﹣5）， ＝×××（﹣）， ＝﹣4； （9）（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）+（﹣5）×（﹣7）， ＝﹣3×4×5+5×7， ＝﹣60+35， ＝﹣25； （10）（﹣0.1）×（﹣1）×（﹣100）﹣0.01×（1000）， ＝﹣0.1×1×100﹣0.01×1000， ＝﹣10﹣10， ＝﹣20． 15．选择适当方法，简便计算： （1） （2） （3）﹣15×24+15×13+15． （4）． （5）． 【解答】解：（1）（+﹣）×（﹣12） ＝×（﹣12）+×（﹣12）﹣×（﹣12） ＝﹣6﹣4+3 ＝﹣7； （2）﹣19×6＝（﹣20+）×6 ＝﹣20×6+×6 ＝﹣120+ ＝﹣； （3）﹣15×24+15×13+15 ＝15×（﹣24+13+1） ＝15×（﹣10） ＝﹣150； （4）×0.25×（﹣8）×（﹣36） ＝××8×36 ＝30； （5）（﹣+）×36﹣6×1.45+3.95×6 ＝×36﹣×36+×36+6×（﹣1.45+3.95） ＝28﹣30+14+6×2.5 ＝12+15 ＝27． 16．计算． （1）（﹣10）×（﹣）×（﹣0.2）×9； （2）（﹣1.2）×0.75×（﹣1.25）； （3）﹣×3.59﹣×2.41+×（﹣3）； （4）（）×（﹣24）． 【解答】解：（1）（﹣10）×（﹣）×（﹣0.2）×9 ＝﹣10××0.2×9 ＝﹣6； （2）（﹣1.2）×0.75×（﹣1.25） ＝×× ＝； （3）﹣×3.59﹣×2.41+×（﹣3） ＝﹣×（3.59+2.41+3） ＝﹣×9 ＝﹣； （4）（﹣+﹣）×（﹣24） ＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24） ＝6﹣8+10 ＝16﹣8 ＝8． 17．计算： （1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）（﹣10）•（﹣8.24）•（﹣0.1）； （3）﹣×2.4×； （4）（﹣+﹣）×36； （5）﹣×（8﹣1﹣0.04）； （6）71×（﹣8）． 【解答】解：（1）原式＝﹣×（﹣10） ＝； （2）原式＝（﹣10）×（﹣0.1）×（﹣8.24） ＝﹣8.24； （3）原式＝﹣××2.4 ＝﹣1.2； （4）原式＝×36﹣×36+×36﹣×36 ＝11； （5）原式＝﹣×8+×+×0.04 ＝﹣4.97； （6）原式＝71×（﹣8）+×（﹣8） ＝﹣568﹣ ＝﹣575． 18．计算： （1）（﹣7.6）×0.5； （2）（﹣3）×（﹣2）； （3）8×（﹣）×（﹣4）； （4）21×（﹣71）×0×43； （5）（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）； （6）（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）． 【解答】解：（1）（﹣7.6）×0.5＝﹣3.8； （2）（﹣3）×（﹣2）， ＝×， ＝； （3）8×（﹣）×（﹣4）， ＝8××4， ＝24； （4）21×（﹣71）×0×43＝0； （5）（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）， ＝×××××， ＝4； （6）（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）， ＝×××××， ＝． 19．计算： （1）1.6×（﹣）×（﹣2.5）×（﹣）； （2）（﹣）×（8﹣﹣0.04）； （3）﹣7×（﹣）+19×（﹣）﹣5×（﹣）． 【解答】解：（1）1.6×（﹣）×（﹣2.5）×（﹣） ＝﹣××× ＝﹣； （2）（﹣）×（8﹣﹣0.04） ＝8×（﹣）﹣×（﹣）﹣0.04×（﹣） ＝﹣6+1+0.03 ＝﹣4.97； （3）﹣7×（﹣）+19×（﹣）﹣5×（﹣） ＝（﹣7+19﹣5）×（﹣） ＝7×（﹣） ＝﹣22． 20．计算下列各题： （1） （2） （3） （4） （5）． 【解答】解：（1）＝﹣15×（﹣）＝25； （2）＝0﹣4＝﹣4； （3）＝﹣×＝﹣2； （4）＝﹣15﹣14×（﹣）＝1； （5）＝××（﹣）×（﹣）＝． 题组四 有理数的乘法新定义运算 21．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【解答】解：（1）3*（﹣4）＝4×3×（﹣4）＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）＝（﹣2）*（4×6×3）＝（﹣2）*（72）＝4×（﹣2）×（72）＝﹣576． 22．对于整数a，b，规定一种新的运算“*”，即a*b等于由a开始及其以后连续|b|个整数的积，如，2*3＝2×3×4＝24，（﹣5）*（﹣2）＝（﹣5）×（﹣4）＝20，那么（﹣7）*[1*（﹣2）]的值等于多少？ 【解答】解：根据题中的新定义得：1*（﹣2）＝1×2＝2， 则（﹣7）*[1*（﹣2）]＝（﹣7）*2＝﹣7×（﹣6）＝42． 23．规定两数a，b，通过“△”运算得到3ab，例如2△4＝3×2×4＝24． （1）求（﹣4）△5的值； （2）不论x是什么数，总有a△x＝x，求a的值． 【解答】解：（1）（﹣4）△5＝3×（﹣4）×5＝﹣60； （2）a△x＝3ax＝x， a＝． 24．[阅读理解]观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为＜a，b＞，如：数对＜2，＞，＜＞，都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对＜2，1＞和＜3，＞是不是“共生有理数对“． （2）若＜m，n＞是“共生有理数对”，判断＜﹣n，﹣m＞是不是“共生有理数对”． 【解答】解：（1）∵2﹣1＝1，2×1+1＝3， ∴2﹣1≠2×1+1， ∴＜2，1＞不是共生有理数对； ∵3﹣＝，3×+1＝， ∴3﹣＝3×+1， ∴＜3，＞是共生有理数对； （2）∵＜m，n＞是共生有理数对， ∴m﹣n＝mn+1， ∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1， ∴＜﹣n，﹣m＞是共生有理数对． 25．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”； （2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）　是　“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m． 【解答】解：（1）∵1﹣2＝﹣1，1×2+1＝3， ∴1﹣2≠1×2+1， ∴（1，2）不是共生有理数对； （2）由题意，得a﹣3＝3a+1， 解得a＝﹣2； （3）∵（m，n）是共生有理数对， ∴m﹣n＝mn+1， ∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1， ∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对； 故答案为：是． （4））∵（m，n）是共生有理数对， ∴m﹣n＝mn+1， ∴m（1﹣n）＝1+n， ∴． 题组五 有理数乘法的实际应用 26．一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市． （1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置． （2）小陈家距小李家多远？ （3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？ 【解答】解：（1）如图：点O表示超市，点A表示小李家，点B表示小张家，点C表示小陈家． （2）从图中可看出小陈家距小李家8千米． 故小陈家距小李家8千米． （3）0.5×（|+3|+|+1.5|+|﹣9.5|+|﹣5|）＝0.5×19＝9.5（升）． 故这趟路货车共耗油9.5升． 27．书店正在进行酬宾活动．方案①：原价450元的一套原版名著现在打八折；方案②：如果在本次活动中先花20元办一张会员卡，还可以在打八折的基础上再打九折．你认为哪种方案购买比较便宜？ 【解答】解：方案①：450×80%＝360（元）， 方案②：20+450×80%×90% ＝20+324 ＝344（元）， 344＜360． 答：方案②购买比较便宜． 28．（1）一对互相咬合的齿轮，主动轮有20个齿，每分钟转60转，如果要使从动轮每分钟转40转，从动轮的齿数应是多少？ （2）李师傅计划生产450个零件，工作8小时后还差330个零件没有完成，照这样速度，共要几小时完成任务？ 【解答】解：（1）设从动轮的齿数应为x个， 由题意得：40x＝20×60， ∴x＝30， 答：从动轮的齿数应是30个； （2）设共要x小时完成任务， 由题意得：（450﹣330）：8＝450：x， ∴x＝30， 答：共要30个小时完成任务． 29．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数） 【解答】解：（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3千克，求差即可2.5﹣（﹣3）＝5.5（千克）， 故最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克； （2）列式1×（﹣3）+4×（﹣2）+2×（﹣1.5）+3×0+1×2+8×2.5＝﹣3﹣8﹣3+2+20＝8（千克）， 故20筐白菜总计超过8千克； （3）用（2）的结果列式计算2.6×（25×20+8）＝1320.8≈1321（元）， 故这20筐白菜可卖1321（元）． 30．某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的，和．这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？ 【解答】解：60×（1﹣﹣﹣） ＝1×60﹣×60﹣×60﹣×60 ＝60﹣30﹣20﹣15 ＝60﹣65 ＝﹣5． 答：不够借，还缺5个篮球． 31．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的长江路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+15、﹣2、+5、﹣1、+10、﹣3、﹣2、+12、+4、﹣5、+6 （1）小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出车时的出发地有多远？ （2）若汽车耗油量为0.41升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ （3）若小李家距离出车地点的西边35千米处，送完最后一名乘客，小李还要行驶多少千米才能到家？ 【解答】解：在本题中：规定向东为正，向西为负． （1）他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出车时的出发地有：+15﹣2+5﹣1+10﹣3﹣2+12+4﹣5+6＝39千米； （2）这天下午小李共走了：（15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6）＝65千米， 若汽车耗油量为0.41升/千米，这天下午小李共耗油65×0.41＝26.65升． （3）小李家距离出车地点的西边35千米处，即﹣35千米处； 由（1）得：小李距下午出车时的出发地39千米； 送完最后一名乘客小李还要行驶39﹣（﹣35）＝74千米． 题组六 有理数除法运算 32．计算： （1）[（﹣）÷]×（﹣）； （2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣）； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]×． 【解答】解：（1）[（﹣）÷]×（﹣） ＝（×30）×（﹣） ＝5×（﹣） ＝﹣1； （2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣） ＝﹣×× ＝﹣； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣） ＝（﹣25+13﹣3）×（﹣） ＝﹣15×（﹣） ＝7； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]× ＝（﹣×+×）× ＝（﹣+）× ＝﹣×+× ＝﹣2+3 ＝1． 33．计算： （1）（﹣84）÷（﹣7）． （2）（）÷11 （3）1 （4）2 （5）（﹣36）÷9 （6）（） （7）（﹣3）×0.75×÷3． 【解答】解：（1）（﹣84）÷（﹣7）＝12； （2）（）÷11＝﹣×＝﹣； （3）1 ＝1×（﹣） ＝﹣； （4）2 ＝×（﹣） ＝﹣2； （5）（﹣36）÷9 ＝（﹣36﹣）× ＝﹣4﹣ ＝﹣4； （6）（） ＝﹣×（﹣）×（_） ＝﹣； （7）（﹣3）×0.75×÷3 ＝﹣3×（﹣）××× ＝1． 34．计算： （1）0÷（﹣）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式＝0； （2）原式＝﹣（×××）， ＝﹣； （3）原式＝81××× ＝1； （4）原式＝（﹣+）×（﹣） ＝×（﹣）﹣×（﹣）+×（﹣） ＝﹣2+3﹣ ＝． 35．计算： （1）（﹣3）÷（﹣）×0.75÷（﹣）×（﹣6）； （2）（﹣）×（﹣0.1）÷×（﹣10）； （3）[（﹣72）×（﹣）]×[（﹣）÷（﹣）]． 【解答】解：（1）原式＝3××××6 ＝18； （2）原式＝﹣（××25×10） ＝﹣5； （3）原式＝（72×）×（×） ＝48× ＝54． 36．计算： （1）（﹣6）÷（﹣4）÷（﹣）； （2）（﹣16）÷[（﹣）÷（﹣）]； （3）（﹣5）÷（﹣）××（﹣）÷7． 【解答】解：（1）原式＝﹣（6÷4÷）， ＝﹣（6××）， ＝﹣； （2）原式＝（﹣16）÷（×64） ＝﹣16÷4 ＝﹣4； （3）原式＝﹣（5××××） ＝﹣1． 37．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 【解答】解：（1）原式＝﹣（81×××）＝﹣； （2）原式＝﹣1+5×4×（﹣4）＝﹣1﹣80＝﹣81； （3）原式＝﹣（27×+×）＝﹣3； （4）原式＝×12+×12﹣×12＝18+14﹣13＝19； （5）原式＝﹣（5××××）＝﹣1； （6）原式＝1÷（﹣×）+× ＝1÷（﹣）+ ＝1÷（﹣）+ ＝﹣+ ＝0． 38．计算． （1）（）÷（﹣5）×（）； （2）÷×（﹣0.6）×÷1.4×（）； （3）． 【解答】解：（1）原式＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣； （2）原式＝﹣××（﹣）×××（﹣）＝﹣； （3）原式＝﹣÷（+﹣）＝﹣÷＝﹣×9＝﹣． 39．计算题 （1）（﹣5）×2+20÷（﹣4） （2）（﹣3+﹣）÷（﹣） （3）﹣×（﹣）÷（﹣2） （4）﹣3.5÷×（﹣） （5）[2﹣（﹣+）×36]÷5 （6）（﹣﹣）×（﹣60） （7）（﹣﹣）×（﹣24） 【解答】解：（1））（﹣5）×2+20÷（﹣4）， ＝﹣10﹣5， ＝﹣15； （2）（﹣3+﹣）÷（﹣）， ＝（﹣3+﹣）×（﹣36）， ＝×（﹣36）﹣3×（﹣36）+×（﹣36）﹣×（﹣36）， ＝﹣18+108﹣30+21， ＝129﹣48， ＝81； （3）﹣×（﹣）÷（﹣2）， ＝﹣××， ＝﹣； （4）﹣3.5÷×（﹣）， ＝××， ＝3； （5）[2﹣（﹣+）×36]÷5， ＝[2﹣（×36﹣×36+×36）]÷5， ＝[2﹣（28﹣33+6）]÷5， ＝（2﹣1）÷5， ＝； （6）（﹣﹣）×（﹣60）， ＝×（﹣60）﹣×（﹣60）﹣×（﹣60）， ＝﹣40+5+16， ＝﹣40+21， ＝﹣19； （7）（﹣﹣）×（﹣24）， ＝×（﹣24）﹣×（﹣24）﹣×（﹣24）， ＝﹣18+4+15， ＝﹣18+19， ＝1． 40．计算下列各题： （1）（﹣3）÷（﹣5）； （2）2÷|﹣6+3|； （3）（﹣）÷（﹣16）×（﹣8）÷2． 【解答】解：（1）（﹣3）÷（﹣5） ＝× ＝； （2）2÷|﹣6+3| ＝× ＝； （3）（﹣）÷（﹣16）×（﹣8）÷2 ＝﹣××8× ＝﹣． 41．计算： （1）﹣12÷4； （2）（﹣72）÷9； （3）（﹣2）÷（×）； （4）3÷（﹣）÷（﹣）； （5）（﹣81）÷2×（﹣）÷（﹣8）； （6）﹣1÷÷（﹣0.25）×（﹣1）． 【解答】解：（1）原式＝（﹣12﹣）× ＝﹣3﹣ ＝﹣3； （2）原式＝（﹣72﹣）× ＝﹣8﹣ ＝﹣8； （3）原式＝﹣ ＝﹣ ＝﹣； （4）原式＝ ＝1． （5）原式＝﹣81× ＝﹣2； （6）原式＝﹣ ＝﹣14． 题组七 运用倒数法解决有理数的除法 42．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝﹣3，则c÷（a+b）＝　﹣　． （2）计算： （3）根据以上信息可知：＝　﹣　． 【解答】解：（1）∵（a+b）÷c＝﹣3， ∴c÷（a+b）＝﹣； （2）原式＝（﹣+﹣）×（﹣36） ＝4﹣9+3 ＝﹣2； （3）∵＝﹣2， ∴＝﹣， 故答案为﹣，﹣． 43．阅读下列材料：计算50÷（﹣+）． 解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300． 解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50 ＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝． 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　一　是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：（﹣）÷（﹣+﹣） 【解答】解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一． 原式＝（）÷（﹣） ＝（﹣）×3 ＝． 44．计算：（﹣）÷（1） 【解答】解：（1﹣﹣）×（﹣） ＝﹣2+1+ ＝﹣． ∴原式=-3 45．计算：÷（﹣++）． 【解答】解：（﹣++）×36 ＝﹣12+6+3 ＝﹣3． ∴原式=﹣ 46．计算：（﹣）÷（﹣﹣）． 【解答】解：（﹣﹣）×（﹣18） ＝×（﹣18）﹣×（﹣18）﹣×（﹣18） ＝ ＝﹣1． ∴原式=-1 题组八 乘方运算的符号规律 1．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误； B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误； C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确； D、＝，＝，≠，故本选项错误． 故选：C． 2．下列各数中，结果相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣2）3和﹣23 C．（﹣3）2和﹣32 D．|﹣2|3和（﹣2）3 【解答】解：A．∵23＝8，32＝9，∴23≠32，故此选项不符合题意； B．∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，∴（﹣2）3＝﹣23，故此选项符合题意； C．∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴（﹣3）2≠﹣32，故此选项不符合题意； D．∵|﹣2|3＝23＝8，（﹣2）3＝﹣8，∴|﹣2|3≠（﹣2）3，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．下列运算正确的是（　　） A．﹣24＝16 B．（﹣2）4＝﹣16 C．﹣（﹣24）＝16 D．﹣（﹣2）4＝16 【解答】解：∵﹣24＝﹣16， ∴选项A不符合题意； ∵（﹣2）4＝16， ∴选项B不符合题意； ∵（﹣2）4＝16， ∴选项C符合题意； ∵﹣（﹣2）4＝﹣16， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 4．下列四个数（﹣4）3，﹣43，（﹣8）2，﹣82中，互为相反数的是（　　） A．﹣43和（﹣4）3 B．（﹣4）3和﹣82 C．﹣82和﹣43 D．（﹣8）2和﹣43 【解答】解：A、﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝（﹣4）3，故此选项错误； B、（﹣4）3＝﹣64，﹣82＝﹣64，（﹣4）3＝﹣82，故此选项错误； C、﹣82＝﹣64，﹣43＝﹣64，﹣82＝﹣43，故此选项错误； D、（﹣8）2＝64，﹣43＝﹣64，（﹣8）2与﹣43互为相反数，故此选项正确． 故选：D． 5．在（﹣2）3，﹣22，﹣（﹣2），﹣|﹣2|，（﹣2）2中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（﹣2）3＝﹣8＜0，是负数； ﹣22＝﹣4＜0，是负数； ﹣（﹣2）＝2＞0，是正数； ﹣|﹣2|＝﹣2＜0，是负数； （﹣2）2＝4＞0，是正数； ∴负数有（﹣2）3，﹣22，﹣|﹣2|，共3个． 故选：C． 6．下列四个等式： ①a2＝（﹣a）2 ②a3＝（﹣a）4 ③﹣a2＝|﹣a2| ④a3＝|a3| 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①a2＝（﹣a）2，正确； ②a3≠（﹣a）4，错误； ③﹣a2≠|﹣a2|，错误； ④a3≠|a3|，错误， 正确的个数是1个． 故选：A． 7．下列各式中，正确的是（　　） A．（﹣a）3＝a3 B．﹣a4＝|﹣a4| C．|a5|＝a5 D．a6＝（﹣a）6 【解答】解：∵（﹣a）3＝﹣a3， ∴A选项的结论不正确； ∵|﹣a4|＝a4， ∴B选项不正确； ∵当a＞0时，|a5|＝a5，当a＜0时，|a5|＝﹣a5， ∴C选项不正确； ∵（﹣a）6＝a6， ∴D选项的结论正确． 故选：D． 题组九 乘方运算的整除问题 8．（﹣8）2024+（﹣8）2023能被下列哪个数整除？（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【解答】解：原式＝（﹣8）2023•（﹣8）+（﹣8）2023 ＝（﹣8+1）•（﹣8）2023 ＝﹣7•（﹣8）2023， ∴（﹣8）2024+（﹣8）2023能被7整除， 故选：C． 9．数348﹣1能被30以内的两位整数整除的是（　　） A．28，26 B．26，24 C．27，25 D．25，23 【解答】解：348﹣1＝（324+1）（324﹣1） ＝（324+1）（312+1）（312﹣1） ＝（324+1）（312+1）（36+1）（36﹣1） ＝（324+1）（312+1）（36+1）（33+1）（33﹣1） ＝（324+1）（312+1）×730×28×26， ∵348﹣1能被30以内的两位数（偶数）整除， 则这个数是28或26， 故选：A． 10．已知68﹣1能被30～40之间的两个整数整除，这两个整数是（　　） A．31，33 B．33，35 C．35，37 D．37，39 【解答】解：∵68﹣1＝（64+1）（64﹣1）， ＝（64+1）（62+1）（62﹣1）， ＝（64+1）×37×35． ∴68﹣1能被30～40之间的35和37两个整数整除． 故选：C． 题组十 乘方运算的尾数问题 11．已知21的末尾数字为2，22的末尾数字为4，23的末尾数字为8，…，则22024的末尾数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64⋯， ∴2n的末尾数字以2，4，8，6四个一组进行循环， ∵2024÷4＝506， ∴22024的末尾数字为6； 故选：C． 12．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据这个规律，则31+32+33+⋯+32014＝的末尾数字是（　　） A．0 B．2 C．9 D．8 【解答】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，⋅⋅⋅， ∴个位数字4个数为一组循环，分别为3，9，7，1， ∴3+9+7+1＝20的个位数字为0， ∴2014÷4＝503⋯⋯2， ∴3+9的个位数字为2， 故选：B． 13．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…根据上述算式中的规律，请你猜想2100的末尾数字是（　　） A．2 B．4 C．8 D．6 【解答】解：通过观察可知2的正整数次幂的个位数字是以2，4，8，6为周期循环的， 由于100÷4＝25，所以2100的末位数字是6． 故选：D． 14．观察下列算式并总结规律：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，用你发现的规律写出715的末尾数字是（　　） A．1 B．3 C．9 D．7 【解答】解：∵7的正整数次幂：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴每4次一循环． ∵15÷4＝3……3， ∴715的末尾数字为3． 故选：B． 15．算式32018+32016+1结果的末尾数字是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【解答】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81， 35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561， ∵…； ∴每4个数为一个循环组依次循环， ∵2018÷4＝504…2，2016÷4＝504， ∴32018的末尾数字与32的末位数字相同，是9． 32016的末尾数字与34的尾数相同，为1， ∴算式32018+32016+1结果的末尾数字是9+1+1＝11的末尾数字，是1． 故选：A． 题组十一 科学计数法 16．我国的万里长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位：长城的总长度约为21000千米，21000用科学记数法可以表示为（　　） A．0.21×105 B．2.1×104 C．2.1×105 D．21×104 【解答】解：21000＝2.1×104． 故选：B． 17．第24届冬季奥林匹克运动会已经画上圆满句号，北京成为历史上首座“双奥之城”，再一次见证了竞技体育的荣耀与梦想，凝聚了人类社会的团结与友谊．2022年2月4日的北京冬奥会开幕式在全国44个上星频道播出，总收视率达20.1%，收视份额达68.2%，电视直播观众规模约为316000000人．将316000000这个数据用科学记数法表示为（　　） A．316×106 B．31.6×107 C．3.16×109 D．3.16×108 【解答】解：将316000000用科学记数法表示为：3.16×108． 故选：D． 18．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（　　） A．1.29×108 B．12.9×108 C．1.29×109 D．129×107 【解答】解：1290000000＝1.29×109， 故选：C． 19．近期生物科学家发现一种病毒的长度约为0.00000432米，利用科学记数法表示为（　　） A．4.32×107米 B．4.32×10﹣6米 C．4.32×10﹣5米 D．43.2×107米 【解答】解：0.00000432＝4.32×10﹣6， 故选：B． 20．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000023米．用科学记数法表示0.000000023为（　　） A．23×10﹣10 B．2.3×10﹣10 C．2.3×10﹣9 D．2.3×10﹣8 【解答】解：0.000000023＝2.3×10﹣8， 故选：D． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$