专题2.2 绝对值【12大题型】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题2.2 绝对值【12大题型】（北师大版2024） 题组一 绝对值的含义 1 题组二 分类讨论 2 题组三 非负性 2 题组四 单个绝对值最值问题 2 题组五 取值范围问题 3 题组六 绝对值方程 3 题组七 绝对值化简 3 题组八 型 4 题组九 0点分段法解绝对值方程 4 题组十 定值问题 5 题组十一 绝对值的几何意义求最小值 5 题组十二 绝对值的几何意义求最大值 6 ( 知识导航 ) 知识点 1 绝对值 （1）非负性：任何一个数 a 的绝对值都是非负数，即：|a|≥0，绝对值的最小值为 0（非负数的性质：几个非负数的和为 0，则这几个非负数均为 0） （2）去绝对值号：|a|= 题组一 绝对值的含义 1．计算：|﹣17|＝（　　） A．17 B．﹣17 C． D． 2．绝对值为5的有理数共有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 3．如果|x|＝|﹣3|，那么x的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．以上答案都不对 4．π﹣3.14是一个无理数，这个数的绝对值是（　　） A．3.14﹣π B． C．π﹣3.14 D． 5．若|3﹣x|＝7，则x的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．10 D．﹣4或10 6．若|x|＝2，|y|＝3．则|x+y|的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．5或1 D．以上都不对 题组二 分类讨论 1．若|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝3，则|b﹣c|＝　 　． 2．整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|＝2023，其中|a|＞1且abc＞1，则a+b+c的最小值是 　 　． 3．已知|a|＝5，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 4．已知|a|＝10，|b|＝30，且|a+b|≠a+b，求a﹣b的值． 5．已知|m|＝15，|n|＝25，|m+n|≠m+n；求m﹣n的值． 题组三 非负性 1．若|a﹣1|+|b+2|＝0，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 2．已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值． 3．若a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，求（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值． 4．若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求+++……+的值． 5．已知|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+…+|x2005﹣2005|＝0，求代数式：2x1﹣2x2﹣2x3﹣…﹣2x2005的值． 题组四 单个绝对值最值问题 1．若a是有理数，则|a﹣1|+2的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．当m＝　 　时，3+|m﹣1|有最小值，最小值是 　 　． 3．当x＝　 　时，2﹣|x+1|有最大值，这个最大值是 　 　． 4．求2+|x﹣3|的最小值． 解：|x﹣3|是非负数，且非负数中最小的数是 　 　． 则x﹣3＝　 　时，2+|x﹣3|的值最小，解得x＝　 　． 所以当x＝　 　时，2+|x﹣3|有最小值，最小值是 　 　． 题组五 取值范围问题 1．使等式|6+x|＝|6|+|x|成立的有理数x是（　　） A．任意一个整数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个有理数 2．已知三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则下列结论可能成立的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，c＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，c＜0，b＞0 3．若x是自然数，且满足|x|＜2，则符合条件的x的值为 　 　． 4．如果|x﹣3|＝3﹣x，则x的范围是 　 　． 5．若|m﹣9|＝9﹣m，则m的取值范围是 　 　． 题组六 绝对值方程 1．已知|2x|＝4x+9，则x＝　 　． 2．已知2m﹣5＝|m﹣1|，则m3﹣2m+3＝　 　． 3．已知：|x|＝x+2，那么19x2011+3x+27的值为　 　． 4．若|a|＝b，则a与b的关系是　 　． 5．已知|x+1|＝|2x﹣3|，则x＝　 　． 题组七 绝对值化简 1．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+2b＝　 　． 2．已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣a|+|b+c|＝　 　． 3．已知x＝，则|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|的值是 　 　． 4．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： （1）判断下列各式的符号：a+b 　 　0；c﹣b 　 　0；c﹣a 　 　0 （2）化简|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a| 5．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|． 6．已知a，b，c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简： |b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|． 7．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 题组八 型 1．若有理数a，b满足ab≠0，则的值为 　 　． 2．如果，那么的值是 　 　． 3．单项式a是一个正数，且，那么的值为 　 　． 4．若abcd≠0，则＝　 　． 5．已知有理数a，b，c满足，则＝　 　． 6．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最小值是 　 　． 7．已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值． 题组九 0点分段法解绝对值方程 1．若x＞0，|x﹣2|+|x+4|＝8，则x＝　 　． 2．若|x+8|+|x﹣3|＝13，则x＝　 　． 3．若|x+2|+|x﹣1|+|x﹣2|＝6，则x的值为 　 　． 4．若x＝|x﹣|x﹣2017||，则x＝　 　． 5．解绝对值方程：|x﹣1|﹣|x﹣2|＝x﹣3． 题组十 定值问题 1．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如果对于某一特定范围内x的任意允许值，s＝|2﹣2x|+|2﹣3x|+|2﹣5x|的值恒为一常数，则此常数值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 3．若2x+|4﹣5x|+|1﹣3x|+4的值恒为常数，则此常数的值是　 　． 4．如果对于某一特定范围内的任意允许值，P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，则此值为　 　． 5．如果对于某一特定范围内的x的任意允许值，P＝|1﹣x|+|1﹣2x|+|1﹣3x|的值恒为常数（即P的值不随x的变化而变化，如A＝1﹣|x|+x，对于x≥0范围的任意取值，A的值恒为常数），则此常数为 　 　． 6．如果对某一特定范围内x的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则该值为多少？ 7．已知x为正数，且对于x在某一范围内任意取值，代数式|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+|7x﹣1|+|8x﹣1|的值恒为定值．试求出x的取值范围及这个定值． 题组十一 绝对值的几何意义求最小值 1．实数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝8﹣|b+3|﹣|b+8|，则a+b的最小值为 　 　． 2．已知a为任意有理数，则|a+3|+3|a+5|+2|a﹣7|的最小值为 　 　． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　 　；表示﹣2和1两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝　 　； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　 　，最小距离是　 　． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　 　． （5）当a＝　 　时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． 4．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|． （1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示数x，﹣2，1，那么A，B两点之间的距离与A，C两点之间的距离之和可表示为 　 　（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是 　 　； ②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 　 　，当x的取值在 　 　的范围时，|x|+|x﹣2|＝的最小值是 　 　； （3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值； （4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意x的值都成立，求a的最大值； （5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|++…+|x﹣2023|的最小值； （6）求3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值． 5．|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2016|的最小值＝　 　． 6．求|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|的最小值． 7．式子|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是 　 　． 题组十二 绝对值的几何意义求最大值 1．当x＝　 　时，4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|的值最大是 　 　． 2．已知（|x+1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+3|）＝20，则x+y的最大值与最小值的差为 　 　． 3．若有理数x，y满足|x+1|+|y+2|+|x﹣3|+|y﹣4|＝10，则x+2y的最大值为 　 　． 4．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 　 　； （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　； （3）找出所有符合条件的x，使|x+2|+|x﹣5|＝10，则x＝　 　； （4）已知（|x+1|+|x﹣2|）×（|y+1|+|y﹣2|）×（|z+1|+|z﹣3|）＝36，求x+y+z的最大值和最小值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 绝对值【12大题型】（北师大版2024） 题组一 绝对值的含义 1 题组二 分类讨论 1 题组三 非负性 3 题组四 单个绝对值最值问题 6 题组五 取值范围问题 7 题组六 绝对值方程 8 题组七 绝对值化简 9 题组八 型 11 题组九 0点分段法解绝对值方程 11 题组十 定值问题 17 题组十一 绝对值的几何意义求最小值 19 题组十二 绝对值的几何意义求最大值 23 ( 知识导航 ) 知识点 1 绝对值 （1）非负性：任何一个数 a 的绝对值都是非负数，即：|a|≥0，绝对值的最小值为 0（非负数的性质：几个非负数的和为 0，则这几个非负数均为 0） （2）去绝对值号：|a|= 题组一 绝对值的含义 1．计算：|﹣17|＝（　　） A．17 B．﹣17 C． D． 【解答】解：|﹣17|＝17． 故选：A． 2．绝对值为5的有理数共有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【解答】解：∵|﹣5|＝5，|5|＝5， ∴绝对值为5的有理数共有2个， 故选：C． 3．如果|x|＝|﹣3|，那么x的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．以上答案都不对 【解答】解：|x|＝|﹣3|， |x|＝3， x＝±3， 故选：C． 4．π﹣3.14是一个无理数，这个数的绝对值是（　　） A．3.14﹣π B． C．π﹣3.14 D． 【解答】解：∵π﹣3.14＞0， ∴π﹣3.14的绝对值是π﹣3.14． 故选：C． 5．若|3﹣x|＝7，则x的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．10 D．﹣4或10 【解答】解：∵|3﹣x|＝7， ∴3﹣x＝±7， ∴x＝10或x＝﹣4． 故选：D． 6．若|x|＝2，|y|＝3．则|x+y|的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．5或1 D．以上都不对 【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝±2，y＝±3． ∴当x＝2，y＝3时，|x+y|＝5； 当x＝2，y＝﹣3时，|x+y|＝1； 当x＝﹣2，y＝3时，|x+y|＝1； 当x＝﹣2，y＝﹣3时，|x+y|＝5． 综上所述，|x+y|＝5或1， 故选：C． 题组二 分类讨论 1．若|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝3，则|b﹣c|＝　 　． 【解答】解：∵|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝3， ∴a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1，a﹣c＝3或a﹣c＝﹣3， 即①，②，③，④， 由①得，b﹣c＝2， 由②得，b﹣c＝﹣4， 由③得，b﹣c＝4， 由④得，b﹣c＝﹣2 则|b﹣c|＝2或|b﹣c|＝4， 故答案为：2或4． 2．整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|＝2023，其中|a|＞1且abc＞1，则a+b+c的最小值是 　 　． 【解答】解：1000|a|+10|b|+|c|＝2023，求a+b+c的最小值，|a|＞1， ∴|a|＝2，|b|＝2或1，|c|＝3或13， ∴a＝±2，b＝±2，c＝±3或a＝±2，b＝±1，c＝±13， ∵abc＞1， ∴当a＝2，b＝2，c＝3时，a+b+c＝7， 当a＝2，b＝﹣2，c＝﹣3时，a+b+c＝﹣3， 当a＝﹣2，b＝﹣2，c＝3时，a+b+c＝﹣1， 当a＝﹣2，b＝2，c＝﹣3时，a+b+c＝﹣3， 当a＝2，b＝1，c＝13时，a+b+c＝16， 当a＝2，b＝﹣1，c＝﹣13时，a+b+c＝﹣12， 当a＝﹣2，b＝1，c＝﹣13时，a+b+c＝﹣14， 当a＝﹣2，b＝﹣1，c＝13时，a+b+c＝10， ∴﹣14＜﹣12＜﹣3＜﹣1＜7＜10， ∴最小值为：﹣14， 故答案为：﹣14． 3．已知|a|＝5，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝6， ∴a＝±5，b＝±6． ①当a＝5，b＝6时，a+b＝11， 满足|a+b|＝a+b， 此时a﹣b＝5﹣6＝﹣1； ②当a＝5，b＝﹣6时，a+b＝﹣1， 不满足|a+b|＝a+b，故舍去； ③当a＝﹣5，b＝6时，a+b＝1， 满足|a+b|＝a+b， 此时a﹣b＝﹣5﹣6＝﹣11； ④当a＝﹣5，b＝﹣6时，a+b＝﹣11， 不满足|a+b|＝a+b，故舍去． 综上所述：a﹣b的值为﹣1或﹣11． 4．已知|a|＝10，|b|＝30，且|a+b|≠a+b，求a﹣b的值． 【解答】解：由题知|a|＝10，|b|＝30，且|a+b|≠a+b， 故a＝10时，b＝﹣30； a＝﹣10时，b＝﹣30； 所以a﹣b＝10﹣（﹣30）＝40或（﹣10）﹣（﹣30）＝20． 故答案为：40，20． 5．已知|m|＝15，|n|＝25，|m+n|≠m+n；求m﹣n的值． 【解答】解：∵|m|＝15，|n|＝25， ∴m＝±15，n＝±25， ∵|m+n|≠m+n， ∴m+n＜0， ∴m＝±15，n＝﹣25， ∴m﹣n＝15﹣（﹣25）＝15+25＝40， 或m﹣n＝﹣15﹣（﹣25）＝﹣15+25＝10． 综上所述，m﹣n的值为40或10． 题组三 非负性 1．若|a﹣1|+|b+2|＝0，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【解答】解：∵|a﹣1|+|b+2|＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴a+b＝1+（﹣2）＝﹣1， 故选：A． 2．已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值． 【解答】解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，|x﹣3|≥0，|y+2|≥0， ∴x﹣3＝0，y+2＝0， 解得x＝3，y＝﹣2， ∴3x﹣y＝9﹣（﹣2）＝11， 答：x＝3，y＝﹣2，3x﹣y＝11． 3．若a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，求（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值． 【解答】解：∵|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0， ∴a+1＝0，b+2＝0，c+3＝0， ∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）＝﹣2×0×（﹣6）＝0． 4．若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求+++……+的值． 【解答】解：由题意可得：ab﹣2＝0，a﹣1＝0， ∴a＝1   b＝2， 原式＝ ＝1﹣+﹣+﹣…+ ＝1﹣ ＝． 5．已知|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+…+|x2005﹣2005|＝0，求代数式：2x1﹣2x2﹣2x3﹣…﹣2x2005的值． 【解答】解：∵|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+…+|x2005﹣2005|＝0， ∴x1＝1，x2＝2，x3＝3，…x2005＝2005， ∴2x1﹣2x2﹣2x3﹣…﹣2x2005 ＝2（x1﹣x2﹣x3﹣…﹣x2005） ＝2（1﹣2﹣3﹣…﹣2005） ＝2×[1﹣（2+3+…+2005）] ＝2×（1﹣1002×2007） ＝﹣4022026． 题组四 单个绝对值最值问题 1．若a是有理数，则|a﹣1|+2的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵|a﹣1|≥0， ∴|a﹣1|+2≥2， ∴|a﹣1|+2的最小值是2， 故选：C． 2．当m＝　 　时，3+|m﹣1|有最小值，最小值是 　 　． 【解答】解：∵|m﹣1|≥0， ∴当m＝1时，3+|m﹣1|有最小值，最小值是3． 故答案为：1，3． 3．当x＝　 　时，2﹣|x+1|有最大值，这个最大值是 　 　． 【解答】解：∵|x+1|≥0， ∴|x+1|有最小值0，此时x＝﹣1， ∴当|x+1|取最小值，则2﹣|x+1|取最大值， ∴当x＝﹣1时，2﹣|x+1|有最大值，这个最大值是2． 故答案为：﹣1，2． 4．求2+|x﹣3|的最小值． 解：|x﹣3|是非负数，且非负数中最小的数是 　 　． 则x﹣3＝　 　时，2+|x﹣3|的值最小，解得x＝　 　． 所以当x＝　 　时，2+|x﹣3|有最小值，最小值是 　 　． 【解答】解：|x﹣3|是非负数，且非负数中最小的数是0， 则x﹣3＝0时，2+|x﹣3|的值最小，解得x＝3， 所以当x＝3时，2+|x﹣3|有最小值，最小值是2， 故答案为：0；0；3；3；2． 题组五 取值范围问题 1．使等式|6+x|＝|6|+|x|成立的有理数x是（　　） A．任意一个整数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个有理数 【解答】解：∵|6+x|＝|6|+|x|， ∴6与x同号或x为0， ∴x是任意一个非负数． 故选：B． 2．已知三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则下列结论可能成立的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，c＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，c＜0，b＞0 【解答】解：∵|a|＞|b|＞|c|， ∴表示实数a的点在数轴距离原点最远，表示b，c的点在数轴上距离原点比a要近一些， ∵a+b+c＝0， ∴当a在原点右侧时，则b，c在原点左侧；当a在原点左侧时，则b，c在原点右侧， ∴a＞0，b＜0，c＜0；或a＜0，b＞0，c＞0， 故答案为：C． 3．若x是自然数，且满足|x|＜2，则符合条件的x的值为 　 　． 【解答】解：由题可知|x|＜2， 则﹣2＜x＜2， 又知x是自然数， 即x的值为1，0． 故答案为：0，1． 4．如果|x﹣3|＝3﹣x，则x的范围是 　 　． 【解答】解：∵|x﹣3|＝3﹣x， ∴x﹣3≤0， 解得x≤3， 故答案为：x≤3． 5．若|m﹣9|＝9﹣m，则m的取值范围是 　 　． 【解答】解：∵|m﹣9|＝9﹣m， ∴9﹣m≥0， ∴m≤9． 故答案为：m≤9． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/2 22:14:09；用户：罗义；邮箱：nzjy05@xyh.com；学号：19115639 题组六 绝对值方程 1．已知|2x|＝4x+9，则x＝　 　． 【解答】解：∵|2x|＝4x+9， ∴2x＝4x+9或﹣2x＝4x+9， 解得x＝﹣4.5或x＝﹣1.5， 当x＝﹣4.5时，|2x|＝9，而4x+9＝﹣9， ∵|2x|≠4x+9， ∴x＝﹣4.5不合题意，舍去， 故答案为：﹣1.5． 2．已知2m﹣5＝|m﹣1|，则m3﹣2m+3＝　 　． 【解答】解：当m﹣1≥0时，2m﹣5＝m﹣1，解得m＝4，此时m3﹣2m+3＝43﹣2×4+3＝59； 当m﹣1＜0时，2m﹣5＝1﹣m，解得m＝2，此时2m﹣5＜0，无意义． 故答案为：59． 3．已知：|x|＝x+2，那么19x2011+3x+27的值为　 　． 【解答】解：x≥0时，|x|＝x， ∵|x|＝x+2， ∴x＜0， ∴﹣x＝x+2， 解得x＝﹣1， ∴19x2011+3x+27＝19×（﹣1）2011+3×（﹣1）+27＝﹣19﹣3+27＝5． 故答案为：5． 4．若|a|＝b，则a与b的关系是　 　． 【解答】解：根据题意|a|＝b， 当a＜0时，b＝﹣a， 当a≥0时，b＝a； 故b＝±a，则a＝±b． 故答案为：a＝±b． 5．已知|x+1|＝|2x﹣3|，则x＝　 　． 【解答】解：＝， 根据绝对值定义，得：x+1＝±（2x﹣3）， 解得：x＝4或； 故答案为：4或． 题组七 绝对值化简 1．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+2b＝　 　． 【解答】解：由数轴得，b＜a＜0，c＞0，|c|＞|a|， ∴a+c＞0，b﹣c＜0，a﹣b＞0， ∴|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+2b ＝a+c+（c﹣b）﹣（a﹣b）+2b ＝a+c+c﹣b﹣a+b+2b ＝2b+2c， 故答案为：2b+2c． 2．已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣a|+|b+c|＝　 　． 【解答】解：由数轴可知，c＜a＜0＜b且|a|＜|b|＜|c|， ∴|a+b|﹣|c﹣a|+|b+c|＝a+b+c﹣a﹣b﹣c＝0． 故答案为：0． 3．已知x＝，则|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|的值是 　 　． 【解答】解：∵x＝，即0＜x＜1， ∴x﹣2＜0，x﹣1＜0，x+1＞0，x+2＞0， ∴|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2| ＝2﹣x﹣（1﹣x）+x+x+1﹣x﹣2 ＝2﹣x﹣1+x+x+x+1﹣x﹣2 ＝x ＝， 故答案为：． 4．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： （1）判断下列各式的符号：a+b 　 　0；c﹣b 　 　0；c﹣a 　 　0 （2）化简|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a| 【解答】解：（1）a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0． 故答案为：＜，＜，＞； （2）|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a| ＝﹣（a+b）+（c﹣b）﹣（c﹣a） ＝﹣a﹣b+c﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 5．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|． 【解答】解：（1）由题意得：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|， ∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， 故答案为：＜，＜，＞； （2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， ∴|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|＝﹣（b﹣c）﹣（a+b）+（c﹣a）＝﹣b+c﹣a﹣b+c﹣a＝﹣2a﹣2b+2c． 6．已知a，b，c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简： |b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|． 【解答】解：∵c＜b＜0＜a， ∴b﹣a＜0，2a﹣b＞0，a﹣c＞0， ∴|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|， ＝﹣（b﹣a）﹣（2a﹣b）+（a﹣c）﹣（﹣c）， ＝﹣b+a﹣2a+b+a﹣c+c， ＝0． 7．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 【解答】解：∵a、c在原点的左侧，a＜﹣1， ∴a＜0，c＜0， ∴2a＜0，a+c＜0， ∵0＜b＜1， ∴1﹣b＞0， ∵a＜﹣1， ∴﹣a﹣b＞0 ∴原式＝﹣2a+（a+c）﹣（1﹣b）+（﹣a﹣b） ＝﹣2a+a+c﹣1+b﹣a﹣b ＝﹣2a+c﹣1． 故答案为：﹣2a+c﹣1． 题组八 型 1．若有理数a，b满足ab≠0，则的值为 　 　． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，m＝1+1＝2； 当a＞0，b＜0时，m＝1﹣1＝0； 当a＜0，b＞0时，m＝﹣1+1＝0； 当a＜0，b＜0时，m＝﹣1﹣1＝﹣2， 则m的值为0或2或﹣2． 故答案为：0或2或﹣2． 2．如果，那么的值是 　 　． 【解答】解：因为 由++＜0， ①a、b、c两负一正， 令a＞0，则b＜0，c＜0， ∴ab＜0，ac＜0，bc＞0，abc＞0， 所以 ＝﹣1+1﹣1+1 ＝0． ②a＜0，b＜0，c＜0， ∴ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＜0， 所以 ＝1+1+1﹣1 ＝2． 故答案为：0或2． 3．单项式a是一个正数，且，那么的值为 　 　． 【解答】解：∵a是一个正数， ∴＝1， 又∵，即+＝﹣2， ∴b＜0，c＜0， ∴ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0， ∴ ＝﹣1+1﹣1+1 ＝0． 故答案为：0． 4．若abcd≠0，则＝　 　． 【解答】解：当a、b、c、d中没有负数时，都是正数，则原式＝1+1+1+1+1＝5； 当a、b、c、d中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式＝﹣1+1+1+1﹣1＝1； 当a、b、c、d中有2个负数时，不妨设a，b是负数，则原式＝﹣1﹣1+1+1+1＝1； 当a、b、c、d中有3个负数时，不妨a，b，c是负数，则原式＝﹣1﹣1﹣1+1﹣1＝﹣3； 当a、b、c、d都是负数时，则原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3， 综上所述：代数式的值是5或1或﹣3． 故答案为：5或1或﹣3． 5．已知有理数a，b，c满足，则＝　 　． 【解答】解：∵++＝﹣1 ∴a、b、c中有2个为负数，另外1个为正数， ∴＝1 故答案为：1． 6．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最小值是 　 　． 【解答】解：①当x，y中有二正， ﹣+＝1﹣1+1＝1； ②当x，y中有一负一正， ﹣+＝1+1﹣1＝1或﹣+＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； ③当x，y中有二负， ﹣+＝﹣1+1+1＝1． 故代数式 ﹣+的最小值是﹣3． 故答案为：﹣3． 7．已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值． 【解答】解：当a，b，c三个都大于0，可得++﹣＝2 当a，b，c，都小于0，可得++﹣＝﹣2 当a，b，c一正二负，可得++﹣＝﹣2 当a，b，c 二正一负可得++﹣＝2 ∴m＝2，n＝﹣2 ∴原式＝﹣1 题组九 0点分段法解绝对值方程 1．若x＞0，|x﹣2|+|x+4|＝8，则x＝　 　． 【解答】解：当x＞2时， ∵|x﹣2|+|x+4|＝8， ∴x﹣2+x+4＝8， 解得：x＝3， 当0＜x≤2是时， ∵|x﹣2|+|x+4|＝8， ∴2﹣x+x+4＝8， 此时方程无解， 综上，x＝3． 故答案为：3． 2．若|x+8|+|x﹣3|＝13，则x＝　 　． 【解答】解：∵|x+8|表示数x到﹣8的距离，|x﹣3|表示数x到3的距离， ∴①x＜﹣8时， ∵|x+8|+|x﹣3|＝13， ∴﹣x﹣8+（﹣x+3）＝13， 解得：x＝﹣9； ②x＝﹣8时， ∵|x+8|+|x﹣3|＝13， ∴0+|﹣8﹣3|＝13（不成立）； ③当﹣8＜x＜3时， ∵|x+8|+|x﹣3|＝13， ∴x+8+（﹣x+3）＝13， ∴11＝13（不成立）； ④当x＝3时， ∵|x+8|+|x﹣3|＝13， ∴3+8+0＝13（不成立）， ⑤当x＞3时， ∵|x+8|+|x﹣3|＝13， ∴x+8+x﹣3＝13， 解得：x＝4， ∴x的值为﹣9或4， 故答案为：﹣9或4． 3．若|x+2|+|x﹣1|+|x﹣2|＝6，则x的值为 　 　． 【解答】解：|x+2|表示数轴上数x表示的数到﹣2的距离，|x﹣1|表示数轴上数x表示的数到1的距离，|x﹣2|表示数轴上数x表示的数到2的距离， ∵|x+2|+|x﹣1|+|x﹣2|＝6， ∴①当x＜﹣2时：x+2＜0，x﹣1＜0，x﹣2＜0， ∴﹣x﹣2+（﹣x+1）+（﹣x+2）＝6， 化简得：x＝（不符合题意，舍去）； ②当x＝﹣2时，x+2＝0，x﹣1＜0，x﹣2＜0， ∴0+（﹣x+1）+（﹣x+2）＝6， 解得：x＝（不符合题意，舍去）； ③当﹣2＜x＜1时，x+2＞0，x﹣1＜0，x﹣2＜0， ∴x+2+（﹣x+1）+（﹣x+2）＝6， 解得：x＝﹣1（符合题意）； ④当x＝1时，x+2＞0，x﹣1＝0，x﹣2＜0， ∴x+2+0+（﹣x+2）＝6， 解得：4＝6（不符合题意，舍去）； ⑤当1＜x＜2时，x+2＞0，x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴x+2+x﹣1+（﹣x+2）＝6， 解得：x＝3（不符合题意，舍去）； ⑥当x＝2时，x+2＞0，x﹣1＞0，x﹣2＝0， ∴x+2+x﹣1+0＝6， 解得：x＝（不符合题意，舍去）； ⑦当x＞2时，x+2＞0，x﹣1＞0，x﹣2＞0， ∴x+2+x﹣1+x﹣2＝6， 解得：x＝（符合题意）； ∴x＝﹣1或， 故答案为：﹣1或． 4．若x＝|x﹣|x﹣2017||，则x＝　 　． 【解答】解：∵x＝|x﹣|x﹣2017||， ∴x＝x﹣|x﹣2017|或x＝|x﹣2017|﹣x ∴﹣|x﹣2017|＝0或2x＝|x﹣2017| 当﹣|x﹣2017|＝0时， 解得x＝2017 当2x＝|x﹣2017|时， ①若0＜x＜2017， 2x＝﹣x+2017， 解得x＝ ②x＞2017， 2x＝x﹣2017， 解得x＝﹣2017（舍去）． 故答案为：2017或． 5．解绝对值方程：|x﹣1|﹣|x﹣2|＝x﹣3． 【解答】解：当x＜1时，原方程等价于1﹣x﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝2（不符合范围，舍）； 当1≤x＜2时，原方程等价于x﹣1﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝0（不符合范围，舍）； 当x≥2时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）＝x﹣3．解得x＝4， 综上所述：x＝4． 题组十 定值问题 1．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵P为定值， ∴P的表达式化简后x的系数为0； 由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10； ∴x的取值范围是：1﹣7x＞0且1﹣8x＜0，即＜x＜； 所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3． 故选：B． 2．如果对于某一特定范围内x的任意允许值，s＝|2﹣2x|+|2﹣3x|+|2﹣5x|的值恒为一常数，则此常数值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【解答】解：∵s为定值， ∴s的表达式化简后x的系数为0， 由于2+3＝5， ∴x的取值范围是：2﹣3x≥0且2﹣5x≤0，即≤x≤， ∴s＝2﹣3x+2﹣3x﹣（2﹣5x）＝4﹣2＝2． 故选：B． 二．填空题（共3小题） 3．若2x+|4﹣5x|+|1﹣3x|+4的值恒为常数，则此常数的值是　 　． 【解答】解：x应满足的条件是：， 解得≤x≤， ∴原式＝2x+（4﹣5x）+（3x﹣1）+4 ＝7． 故答案为：7． 4．如果对于某一特定范围内的任意允许值，P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，则此值为　 　． 【解答】解：∵P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数， ∴P的值与x 无关， 即，化简绝对值后就不含有x项，也就是去掉绝对值号以后，x项的系数之和为0， 又∵﹣4﹣5﹣6+7+8＝0， ∴1﹣4x≥0，1﹣5x≥0，1﹣6x≥0而1﹣7x≤0，1﹣8x≤0， 即≤x≤， 此时P＝1﹣4x+1﹣5x+1﹣6x+7x﹣1+8x﹣1＝1， 故答案为：1． 5．如果对于某一特定范围内的x的任意允许值，P＝|1﹣x|+|1﹣2x|+|1﹣3x|的值恒为常数（即P的值不随x的变化而变化，如A＝1﹣|x|+x，对于x≥0范围的任意取值，A的值恒为常数），则此常数为 　 　． 【解答】解：∵P为定值， ∴P的表达式化简后x的系数为0； 由于1+2＝3； ∴x的取值范围是：1﹣2x≥0且1﹣3x≤0，即≤x≤； 所以P＝|1﹣x|+|1﹣2x|+|1﹣3x|＝2﹣1＝1． 故答案为：1． 6．如果对某一特定范围内x的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则该值为多少？ 【解答】解：∵P为定值， ∴P的表达式化简后x的系数为0； 由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10； ∴x的取值范围是：1﹣7x≥0且1﹣8x≤0， 即 ≤x≤； 所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3． 7．已知x为正数，且对于x在某一范围内任意取值，代数式|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+|7x﹣1|+|8x﹣1|的值恒为定值．试求出x的取值范围及这个定值． 【解答】解：依题意得，代数式化简后x的系数为0， ∵1+2+3+4+5＝7+8， ∴， 即， 此时，原式＝1﹣x+1﹣2x+1﹣3x+1﹣4x+1﹣5x+7x﹣1+8x﹣1＝3． 题组十一 绝对值的几何意义求最小值 1．实数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝8﹣|b+3|﹣|b+8|，则a+b的最小值为 　 　． 【解答】解：∵|a+1|+|2﹣a|＝8﹣|b+3|﹣|b+8|， ∴|a+1|+|a﹣2|+|b+3|+|b+8|＝8， 表示a到﹣1，2的距离与b到﹣3，﹣8的距离之和为8， ∵﹣1≤a≤2时，|a+1|+|a﹣2|＝3， ﹣8≤b≤﹣3时，|b+3|+|b+8|＝5， ∴﹣1≤a≤2，﹣8≤b≤﹣3， ∴a+b≥（﹣1）+（﹣8）＝﹣9． 故答案为：﹣9． 2．已知a为任意有理数，则|a+3|+3|a+5|+2|a﹣7|的最小值为 　 　． 【解答】解：如图， 由图可知，当a＝﹣3时，|a+3|+3|a+5|+2|a﹣7|最小， 原式＝|﹣3+3|+3|﹣3+5|+2|﹣3﹣7|＝0+6+20＝26． 故答案为：26． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　 　；表示﹣2和1两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝　 　； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　 　，最小距离是　 　． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　 　． （5）当a＝　 　时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． 【解答】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3﹣2＝1；表示﹣2和1两点之间的距离是：1﹣（﹣2）＝3； （2）|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， x＝1或x＝﹣3． （3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3， ∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5， 当a＝7，b＝﹣5时，则A、B两点间的最大距离是12， 当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2； （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间， |a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8． （5）当a≥4时，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，这时的最小值为3×4＝12 当1≤a＜4时，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，这时的最小值为1+8＝9 当﹣5≤a＜1时，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，这时的最小值接近为1+8＝9 当a≤﹣5时，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，这时的最小值为﹣3×（﹣5）＝15 综上可得当a＝1时，式子的最小值为9 故答案为： （1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9． 4．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|． （1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示数x，﹣2，1，那么A，B两点之间的距离与A，C两点之间的距离之和可表示为 　 　（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是 　 　； ②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 　 　，当x的取值在 　 　的范围时，|x|+|x﹣2|＝的最小值是 　 　； （3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值； （4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意x的值都成立，求a的最大值； （5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|++…+|x﹣2023|的最小值； （6）求3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值． 【解答】解：（1）∵A，B之间的距离表示为|a﹣b|， ∴点A到点B的距离与点A到点C的距离之和为|x+2|+|x﹣1|， 故答案为：|x+2|+|x﹣1|； （2）①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x在表示﹣1的点左边1个单位或在表示3的点右边1个单位， ∴x＝﹣2或x＝4， ②到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离， ∴|x﹣3|+|x+1|＝p，则p＝3﹣（﹣1）＝4， |x|+|x﹣2|取最小值时0≤x≤2，最小值时2﹣0＝2； 故答案为：①﹣2或4， ②4，0≤x≤2，2； （3）到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离， ∴|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|在x＝2时取最小值，最小值为3﹣（﹣1）＝4； （4）当0≤x≤2时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|有最小值6， ∴|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意的有理数x都成立，a≤6， ∴a最大值是6； （5）数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点， ∴x＝1012时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2023|取最小值，最小值为1011+1010+1009+1008+…+2+1+0+1+2+…+1008+1009+1011＝1023132， （6）①x≥4时， 3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（x﹣1）+x﹣4＝4x﹣7， ∴x＝4时，3|x﹣1|+|x﹣4|最小值是9， ②1≤x＜4时， 3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（x﹣1）+（4﹣x）＝2x+1， ∴x＝1时，3|x﹣1|+|x﹣4|最小值是3， ③x＜1时， 3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（1﹣x）+（4﹣x）＝7﹣4x， ∴3|x﹣1|+|x﹣4|＞3， 综上所述，x＝1时，3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值是3． 5．|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2016|的最小值＝　 　． 【解答】解：如图， ∵根据绝对值几何意义，且零点个数为偶数， ∴当1008≤x≤1009时，原式取得最小值，最小值为 （1+2+3+…+1007）+（1+2+3+…+1008）＝1016064． 故答案为：1016064． 6．求|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|的最小值． 【解答】解：当x≤1时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|＝﹣（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣3（x﹣3）＝﹣x+1﹣2x+4﹣3x+9＝﹣6x+14， 当x＝1时，有最小值，为8； 当1＜x≤2时|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|＝x﹣1﹣2（x﹣2）﹣3（x﹣3）＝x﹣1﹣2x+4﹣3x+9＝﹣4x+12， 当x＝2时，有最小值，为4； 当2＜x≤3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|＝x﹣1+2（x﹣2）﹣3（x﹣3）＝x﹣1+2x﹣4﹣3x+9＝4； 当x＞3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）＝x﹣1+2x﹣4+3x﹣9＝6x﹣14＞4， 综上，当2≤x≤3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|有最小值，最小值为：4． 7．式子|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是 　 　． 【解答】解：（1）当x≤1，原式＝1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+2（4﹣x）+（5﹣x）＝27﹣9x， 则x＝1时，有最小值18； （2）当1＜x≤2时，原式＝x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+2（4﹣x）+（5﹣x）＝25﹣7x， 则x＝2时，有最小值11； （3）当2＜x≤3时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+2（4﹣x）+（5﹣x）＝17﹣3x， 则x＝3时，有最小值8； （4）当3＜x≤4时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+2（4﹣x）+（5﹣x）＝3x﹣1， 此时没有最小值； （5）当4＜x≤5时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+2（x﹣4）+（5﹣x）＝7x﹣17， 此时没有最小值； （6）当x＞5，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+2（x﹣4）+（x﹣5）＝9x﹣27， 此时没有最小值； 故当x＝3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值为8． 题组十二 绝对值的几何意义求最大值 1．当x＝　 　时，4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|的值最大是 　 　． 【解答】解：∵4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1| ＝4﹣（|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|）， ∴当|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|结果取最小值时，原式结果最大， 而|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1|就是数轴上表示数x的点到表示数0、1、﹣2、3、﹣1的这5个点的距离之和， 且当x取中间数字0时，到这5个点的距离之和最小， 此时|x|+|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+1| ＝|0|+|0﹣1|+|0+2|+|0﹣3|+|0+1| ＝0+1+2+3+1 ＝7， ∴4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|的值最大是：4﹣7＝﹣3， 故答案为：0，﹣3． 2．已知（|x+1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+3|）＝20，则x+y的最大值与最小值的差为 　 　． 【解答】解：∵|x+1|+|x﹣3|≥4，|y﹣2|+|y+3|≥5， （|x+1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+3|）＝20， ∴|x+1|+|x﹣3|＝4，|y﹣2|+|y+3|＝5， ∴﹣1≤x≤3，﹣3≤y≤2，， ∴﹣4≤x+y≤5， ∴x+y的最大值与最小值分别是5和﹣4， ∴x+y的最大值与最小值的差为5﹣（﹣4）＝9， 故答案为：9． 3．若有理数x，y满足|x+1|+|y+2|+|x﹣3|+|y﹣4|＝10，则x+2y的最大值为 　 　． 【解答】解：由题意得，|x+1|+|x﹣3|表示数轴上表示x的点到数﹣1和3的距离之和， 当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1﹣x+3＝﹣2x+2＞4， 当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1﹣x+3＝4， 当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＞4， ∴|x+1|+|x﹣3|≥4； 同理，|y+2|+|y﹣4|表示数轴上表示y的点到数﹣2和4的距离之和， 当y＜﹣2时，|y+2|+|y﹣4|＝﹣y﹣2﹣y+4＝﹣2y+2＞6， 当﹣2≤y≤4时，|y+2|+|y﹣4|＝y+2﹣y+4＝6， 当y＞4时，|y+2|+|y﹣4|＝y+2+y﹣4＝2y﹣2＞6， ∴|y+2|+|y﹣4|≥6， ∴|x+1|+|y+2|+|x﹣3|+|y﹣4|≥4+6， 即|x+1|+|y+2|+|x﹣3|+|y﹣4|≥10， ∵|x+1|+|y+2|+|x﹣3|+|y﹣4|＝10， ∴﹣1≤x≤3，﹣2≤y≤4， ∴x的最大值是3，y的最大值是4， ∴x+2y的最大值为：3+2×4＝3+8＝11， 故答案为：11． 4．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 　 　； （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　； （3）找出所有符合条件的x，使|x+2|+|x﹣5|＝10，则x＝　 　； （4）已知（|x+1|+|x﹣2|）×（|y+1|+|y﹣2|）×（|z+1|+|z﹣3|）＝36，求x+y+z的最大值和最小值． 【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是丨4﹣1丨＝3；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于丨m﹣n丨； 故答案为：3；丨m﹣n丨； （2）∵|x+1|＝3， ∴x+1＝3或x+1＝﹣3， 解得x＝2或x＝﹣4， 故答案为：2或﹣4； （3）∵|x+2|+|x﹣5|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和5所对应的点的距离之和， ∴当﹣2≤x≤5时，|x+2|+|x﹣5|＝7， ∵|x+2|+|x﹣5|＝10， 当x＜﹣2时，2（﹣2﹣x）+7＝10，解得x＝﹣； 当x＞5时，2（x﹣5）+7＝10，解得x＝； ∴x的值为﹣或， 故答案为：﹣或； （4）当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|的最小值为3， 当﹣1≤y≤2时，|y+1|+|y﹣2|的最小值为3， 当﹣1≤z≤3时，|z+1|+|z﹣3|的最小值为4， ∵（|x+1|+|x﹣2|）×（|y+1|+|y﹣2|）×（|z+1|+|z﹣3|）＝36， ∴﹣1≤x≤2，﹣1≤y≤2，﹣1≤z≤3， 当x＝2，y＝2，z＝3时，x+y+z的最大值是7， 当x＝y＝z＝﹣1时，x+y+z的最小值是﹣3． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$