专题1.1 生活中的立体图形【11大题型】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题1.1 生活中的立体图形【11大题型】（北师大版2024） 题组一 认识几何体 3 题组二 组合几何体的构成 5 题组三 立方体的表面积 8 题组四 旋转得到的几何体 10 题组五 立方体顶点、棱、面的关系 12 题组六 立方体的展开图 12 题组七 含图案立方体展开图 14 题组八 几何体折叠点线重合问题 17 题组九 正方体对面的文字 18 题组十 正方体展开--求值 20 题组十一 立方体展开图的面积与体积 22 ( 知识导航 ) 知识点 1、常见的立体图形 1.常见的立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等 2.按柱体、锥体、球体分类 3.图形的形成 （1）图形是由点、线、面构成，点动成线，线动成面，面动成体。 （2）线与线相交得到点，面与面相交得到线。 （3）面动成体可以通过平移和旋转实现。例如：五棱柱、圆柱分别可以看作是由五边形或圆沿着竖直方向平移形成。圆柱又可以看作是绕着一边旋转一周形成。 知识点 2 几何体顶点数、棱数、面数关系 1.n 棱柱、n 棱锥 几何体 顶点 棱 面 n 棱柱 2n 3n n+2 n 棱锥 n+1 2n n+1 2.简单多面体欧拉定理（顶点数 V、棱数 E 及面数 F）V-E+F=2 知识点 3 展开与折叠 1.正方体的展开图 正方体展开图共计 11 种，分为“2 排型”和“3 排型”两种构型 （1）2 排型： 3+3（共 1 种） （2）3 排型： 1+3+2（共 3 种） （3）2+2+2（共 1 种） （4）1+4+1（共 6 种） 2.圆柱、圆锥 知识点 4 三视图 从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图叫做俯视图。三种视图之间的关系：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等。 题组一 认识几何体 1．下列四个几何体中，是四棱锥的是（　　） A．B．C．D． 2．下列图形中是圆柱的是（　　） A．B．C．D． 3．下列叙述不正确的是（　　） A．圆柱、圆锥的底面都是圆 B．棱柱的底面不一定是四边形 C．柱体都是多面体 D．柱体的上、下两个面不一样大 4．下列关于长方体的叙述中，不正确的是（　　） A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离，可形成一个长方体 B．长方体中相对的面互相平行 C．长方体有8个顶点 D．长方体两底面之间的棱互相平行 5．在如图所示的直三棱柱中，互相平行的棱有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 6．如图所示，关于图中的几何体，下列叙述不正确的是（　　） A．四个几何体中，平面数最多的是图④ B．图②有四个面是平的 C．图①由两个面围成，其中一个面是曲的 D．图中只有一个顶点的几何体是图③ 7．如图是棱柱的几何体有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题组二 组合几何体的构成 8．有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体粘合成的下列几何体中，能够和这个几何体拼成一个长方体的是（　　） A．B． C．D． 9．图中的长方体是由下面A、B、C、D的四个小几何体拼成的，那么图中第四部分对应的几何体是（　　） A． B． C． D． 10．把50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有（　　）块完全喷不到漆． A．5 B．7 C．17 D．22 11．下面的长方体是由A，B，C，D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（　　） A． B． C． D． 12．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面的正方体的下底面四个顶点是下面相邻正方体的上底面各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过8（与桌面接触的面应视作没有露在外面），则正方体的个数至少是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 13．如图所示，在一次数学活动课上，小明用16个小正方体搭成了一个几何体，然后他想用其他同样的小正方体继续搭成一个长方体，若不改变小明开始所搭几何体的形状，那么他至少还需要 　 　个小正方体才能搭成长方体． 14．用棱长相同的小正方体摆成如图所示的几何体，第1层有1个正方体，第2层有3个正方体，第3层有6个正方体，按图中摆放的方法类推，第10层有 　 　个正方体． 15．如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要 　 　个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 题组三 立方体的表面积 1．如图，把15个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A．22 B．23 C．44 D．46 2．如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为1米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共8元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（　　） A．152元 B．168元 C．264元 D．272元 3．图中的立体图形是14个棱长为5厘米的立方体组成，则这个立体图形（包括底面）的表面积是 　 　． 4．如图，棱长分别为1厘米，2厘米，3厘米，5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是　 　平方厘米． 5．一个棱长8厘米的正方体，在正方体的上表面的中心向下挖一个棱长4厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面中心向下挖一个棱长2厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是 　 　平方厘米． 6．求该立体图形的体积．（单位：dm） 7．如图，图1的瓶子是由上、下相通的圆柱体组成的，里面盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的圆柱体杯子中，那么需要多少个这样的杯子？ 8．计算下面几何体的体积．如图所示，单位：厘米．（π取3）． 9．计算下面组合图形的表面积． 题组四 旋转得到的几何体 1．下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 3．如图是平面图形绕虚线l旋转一周得到的，则该旋转图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列平面图形分别绕直线l旋转一周，得到的几何体是球体的是（　　） A．B．C．D． 5．我们知道，圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的，下列绕着直线旋转一周能得到图示的是（　　） A． B． C． D． 6．下列平面图形沿虚线旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（　　） A． B． C． D． 7．以如图所示的三角形的边为轴旋转一周后所得到的几何体可以是右图中的 　 　（填序号）． 题组五 立方体顶点、棱、面的关系 8．若一个棱柱有12个顶点，则这个棱柱有 　 　个面． 9．若一个直棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为28cm，则每条侧棱长为 　 　cm． 10．一个棱柱有7个面，则它的顶点数是 　 　． 11．一个棱柱有4个侧面，那它有 　 　条棱，　 　个顶点． 12．观察、探究：如图所示． （1）①三棱柱有 　 　个面，　 　个顶点，　 　条棱； ②四棱柱有 　 　个面，　 　个顶点，　 　条棱； ③五棱柱有 　 　个面，　 　个顶点，　 　条棱；…． （2）①由此可以推出，n棱柱有 　 　个面，　 　个顶点，　 　条棱； ②若棱柱的面数、顶点数和棱数分别用字母F，V，E表示，则三者之间的关系是 　 　． 题组六 立方体的展开图 1．下面四幅图中，不可能是圆柱侧面展开图的是（　　） A．B．C．D． 2．如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是（　　） A．正三棱柱 B．正三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 3．下列图形中不是三棱柱的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 4．下列不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C．D． 5．下列图形中，不属于正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 6．图中是正方体的展开图的有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．有一个无盖的正方体盒子，下列选项中不可能是它的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，从①②③④中选取一个正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 9．下列图形中不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 题组七 含图案立方体展开图 10．如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体的展开图的为（　　） A． B． C． D． 11．将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是（　　） A． B． C． D． 12．某正方体的平面展开图如图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（　　） A． B． C． D． 13．如图的图形是（　　）正方体的展开图． A． B． C． D． 14．如图所示的正方体的展开图是（　　） A． B． C． D． 15．如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（　　） A． B． C． D． 16．如图是某一正方体的平面展开图，则该正方体是（　　） A． B． C． D． 17．下列图形中，可能是右面正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 18．如图，选项中哪一个图形是如图正方体的展开图（　　） A． B． C． D． 19．如图，为正方体展开图的是（　　） A．B．C．D． 题组八 几何体折叠点线重合问题 20．如图表示一个正方体的平面展开图，把它折成一个正方体时，与顶点K重合的点是（　　） A．点F、点N B．点F、点B C．点F、点M D．点F、点A 21．如图，是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点K重合的顶点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 22．将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（　　） A．AB B．CD C．DE D．CF 23．将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（　　） A．线段CD B．线段EF C．线段AD D．线段BC 24．如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的是（　　） A． B． C． D． 25．如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠围绕成正方体后，与数字6重合的数字是（　　） A．7，8 B．7，9 C．7，2 D．7，4 题组九 正方体对面的文字 6．正方体的六个面分别标有1、2、3、4、5、6六个数，如图所示是从不同角度拍摄的图片，请你判断与1相对的面是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 27．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“我”相对面上的汉字是（　　） A．习 B．学 C．数 D．爱 28．如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 29．如图，这是一个正方体的表面展开图，每个面上都标有汉字，其中与“知”字处于正方体相对面上的是（　　） A．识 B．是 C．力 D．量 30．如图是正方体的表面展开图，现将部分面上分别标注数字，若正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 31．如图是一个正方体的展开图，则与“心”字所在面相对的面上的字是（　　） A．素 B．数 C．学 D．养 32．“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”描绘了美好的春日景色．将“桃红复含宿雨”六个字分别写在一个正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则原正方体中与“红”字所在面相对面上的汉字是（　　） A．桃 B．含 C．宿 D．雨 33．如图是正方体展开图，将《论语》十二章中的一句话：“学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“而”对面的字是（　　） A．不 B．思 C．则 D．罔 题组十 正方体展开--求值 34．如图是一个正方体纸盒的展开图，若将展开图折叠成一个正方体后，相对面上的两个数的和为2，则（x+z）y的值为（　　） A．16 B．8 C．1 D．﹣1 35．如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，则x﹣y的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 36．如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字相等，则x+z＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4 37．如图所示的图形是正方体的一种平面展开图，它各面上部标有数字，则数字﹣2的面与它对面数字之积是（　　） A．﹣10 B．10 C．﹣8 D．8 38．如图是一个正方体的表面展开图，将展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为5，则x+y＝　 　． 39．如图是一个正方体的展开图，如果相对面上的两个式子表示的数相等，则x+y的值为 　 　． 40．如图所示的是一个正方体的展开图，它的每一个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面的两个数字之和相等，那么a+b﹣2c＝　 　． 41．如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则2x﹣y+z＝　 　． 题组十一 立方体展开图的面积与体积 42．如图，是一个几何体的表面展开图的一部分． （1）该几何体是 　 　，请补全图形，关键线段要标上数据． （2）依据如图中数据求该几何体的体积和表面积； 43．小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示，求这个包装盒的表面积和体积． 44．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． （1）这个食品包装盒的几何体名称是 　 　； （2）若AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，DF＝6cm，求这个几何体的所有棱长的和及体积． 45．如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图． （1）请写出这个包装盒的几何体的名称：　 　； （2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，DF＝6，计算这个多面体的侧面积． 46．将一个长方体展开后如图所示，已知A，B，C三个面的面积之和是36cm2，且B面是一个边长为2cm的正方形，求这个长方体的体积． 47．如图，是一个几何体的表面展开图： （1）请说出该几何体的名称； （2）求该几何体的表面积； （3）求该几何体的体积． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 生活中的立体图形【11大题型】（北师大版2024） 题组一 认识几何体 3 题组二 组合几何体的构成 5 题组三 立方体的表面积 9 题组四 旋转得到的几何体 13 题组五 立方体顶点、棱、面的关系 13 题组六 立方体的展开图 17 题组七 含图案立方体展开图 17 题组八 几何体折叠点线重合问题 24 题组九 正方体对面的文字 26 题组十 正方体展开--求值 29 题组十一 立方体展开图的面积与体积 32 ( 知识导航 ) 知识点 1、常见的立体图形 1.常见的立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等 2.按柱体、锥体、球体分类 3.图形的形成 （1）图形是由点、线、面构成，点动成线，线动成面，面动成体。 （2）线与线相交得到点，面与面相交得到线。 （3）面动成体可以通过平移和旋转实现。例如：五棱柱、圆柱分别可以看作是由五边形或圆沿着竖直方向平移形成。圆柱又可以看作是绕着一边旋转一周形成。 知识点 2 几何体顶点数、棱数、面数关系 1.n 棱柱、n 棱锥 几何体 顶点 棱 面 n 棱柱 2n 3n n+2 n 棱锥 n+1 2n n+1 2.简单多面体欧拉定理（顶点数 V、棱数 E 及面数 F）V-E+F=2 知识点 3 展开与折叠 1.正方体的展开图 正方体展开图共计 11 种，分为“2 排型”和“3 排型”两种构型 （1）2 排型： 3+3（共 1 种） （2）3 排型： 1+3+2（共 3 种） （3）2+2+2（共 1 种） （4）1+4+1（共 6 种） 2.圆柱、圆锥 知识点 4 三视图 从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图叫做俯视图。三种视图之间的关系：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等。 题组一 认识几何体 1．下列四个几何体中，是四棱锥的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：四棱锥是底面是四边形的锥体，因此选项A中的几何体符合题意， 故选：A． 2．下列图形中是圆柱的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：根据以上分析B为圆柱体． 故选：B． 3．下列叙述不正确的是（　　） A．圆柱、圆锥的底面都是圆 B．棱柱的底面不一定是四边形 C．柱体都是多面体 D．柱体的上、下两个面不一样大 【解答】解：A、圆柱、圆锥的底面都是圆，说法正确； B、棱柱的底面不一定是四边形，说法正确； C、柱体是多面体，说法正确； D、柱体的上、下两个面不一定一样大，说法错误； 故选：D． 4．下列关于长方体的叙述中，不正确的是（　　） A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离，可形成一个长方体 B．长方体中相对的面互相平行 C．长方体有8个顶点 D．长方体两底面之间的棱互相平行 【解答】解：A、将一个矩形沿竖直方向平移一段距离，可形成一个长方体，故本选项正确； B、长方长方体中相对的两个面一定平行，故本选项正确； C、长方体有8个顶点，故本选项正确； D、长方体两底面之间的棱互相平行或垂直，故本选项错误． 故选：D． 5．在如图所示的直三棱柱中，互相平行的棱有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【解答】解：根据上下面相对的边分别平行，共有3对；垂直于上下面的三条棱互相平行，有3对，互相平行的棱共有3+3＝6对． 故选：D． 6．如图所示，关于图中的几何体，下列叙述不正确的是（　　） A．四个几何体中，平面数最多的是图④ B．图②有四个面是平的 C．图①由两个面围成，其中一个面是曲的 D．图中只有一个顶点的几何体是图③ 【解答】解：选项A，平面最多的是图④，有5个平面，A选项正确； 选项B，图2有四个平面，B选项正确； 选项C，图①由一个曲面围成，C选项错误； 选项D，图③有一个顶点，D选项正确， 故选：C． 7．如图是棱柱的几何体有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：如图是棱柱的几何体有（2）（3），一共2个． 故选：D． 题组二 组合几何体的构成 8．有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体粘合成的下列几何体中，能够和这个几何体拼成一个长方体的是（　　） A．B． C．D． 【解答】解：将A选项中的几何体向后面连续翻折两次即可原图组成一个长方体． 故选：A． 9．图中的长方体是由下面A、B、C、D的四个小几何体拼成的，那么图中第四部分对应的几何体是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：由几何体的图形可知， 第四部分，看到的一个，后面三个， 故选：A． 10．把50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有（　　）块完全喷不到漆． A．5 B．7 C．17 D．22 【解答】解：∵50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆， ∴从下面数第1层有12个立方体木块会喷到漆， 从下数第2层有12个立方体木块都喷到漆， 从下面数第3层有12个立方体木块都会喷到漆， 从下数第4层有7个立方体木块都会喷到漆． ∴一点儿漆都喷不到的木块个数是：50﹣（12+12+12+7）＝7（块）． 故选：B． 11．下面的长方体是由A，B，C，D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：由几何体的图形可知， 第四部分，看到的一个，后面三个， 故选：A． 12．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面的正方体的下底面四个顶点是下面相邻正方体的上底面各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过8（与桌面接触的面应视作没有露在外面），则正方体的个数至少是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：最下边正方体露出的面积为4×1+0.5；从下边数第二个正方体露出的面积为4×0.5+0.25；从下边数第三个正方体露出的面积为4×0.25+0.125，此时面积之和为：7.875，那么第四个正方体的露出的面积，分为两种情况：如果第四个正方体上方还有正方体，那么它的露出面积为：4×0.125+0.0625；如果第四个正方体上方无其他正方体，那么第四个正方体露出的面积为：5×0.0125；露在外面的面积超过8，所以正方体的个数至少是4． 故选：B． 13．如图所示，在一次数学活动课上，小明用16个小正方体搭成了一个几何体，然后他想用其他同样的小正方体继续搭成一个长方体，若不改变小明开始所搭几何体的形状，那么他至少还需要 　20　个小正方体才能搭成长方体． 【解答】解：依题意得：小明所搭长方体的长、宽、高分别由3个正方体、3个正方体、4个正方体构成， ∴所搭长方体所用小正方体的个数为：3×3×4＝36（个） 又∵小明用了16个小正方体， ∴他至少还需要的小正方体个数为：36﹣16＝20（个）． 故答案为：20． 14．用棱长相同的小正方体摆成如图所示的几何体，第1层有1个正方体，第2层有3个正方体，第3层有6个正方体，按图中摆放的方法类推，第10层有 　55　个正方体． 【解答】解：第1层：1个， 第2层：1+2＝3（个）， 第3层：1+2+3＝6（个）， 第4层：1+2+3+4＝10（个）， …… 第10层：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55（个）， 故答案为：55． 15．如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要 　17　个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 【解答】解：图中共有小正方体1+3+6＝10（个）， 组成边长是3cm的小正方体所需的小正方体个数是3×3×3＝27（个）， 至少还需要27﹣10＝17（个）这样的小正方体才能搭成一个正方体． 故答案为：17． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题组三 立方体的表面积 1．如图，把15个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A．22 B．23 C．44 D．46 【解答】解：7×2+8×2+8×2＝46（cm3）， 故选：D． 2．如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为1米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共8元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（　　） A．152元 B．168元 C．264元 D．272元 【解答】解：由图可得，最上层侧面积为4平方米，上表面面积为1平方米，总面积为4+1＝5（平方米）； 中间一层侧面积为2×4＝8（平方米），上表面面积为4﹣1＝3（平方米），总面积为8+3＝11（平方米）； 最下层侧面积为3×4＝12（平方米），上表面面积为9﹣4＝5（平方米），总面积为12+5＝17（平方米）； ∴需要涂上颜色部分的面积为5+11+17＝33（平方米）； 油漆完工后，应付给漆匠师傅33×8＝264（元）， 故选：C． 3．图中的立体图形是14个棱长为5厘米的立方体组成，则这个立体图形（包括底面）的表面积是 　1050平方厘米　． 【解答】解：用透视法观察，上、下两个面的面积相等，每个侧面的面积为6个小正方形面积．底面棱长＝5×3＝15（厘米），上、下两个面的面积＝15×15×2＝450（平方厘米），4个侧面面积＝4×6×5×5＝600（平方厘米）， 总面积＝450+600＝1050（平方厘米）， 答：这个立体图形的表面积是1050平方厘米． 故答案为：1050平方厘米． 4．如图，棱长分别为1厘米，2厘米，3厘米，5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是　194　平方厘米． 【解答】解：5×5×6+3×3×4+2×2×2 ＝150+36+8 ＝194（平方厘米）． 答：多面体的表面积是194平方厘米． 故答案为：194． 5．一个棱长8厘米的正方体，在正方体的上表面的中心向下挖一个棱长4厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面中心向下挖一个棱长2厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是 　464　平方厘米． 【解答】解：82×6+42×4+22×4 ＝464（平方厘米）， 答：最后得到的立方体图形的表面积是464平方厘米， 故答案为：464． 6．求该立体图形的体积．（单位：dm） 【解答】解：由图知：下面是棱长为8 dm的立方体， 所以体积为8×8×8＝512（dm3）； 上面是圆柱体，底面直径为4 dm，高为3 dm， 所以体积为π××3＝12π（dm3）， 故该立体图形的体积为（512+12π）dm3． 7．如图，图1的瓶子是由上、下相通的圆柱体组成的，里面盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的圆柱体杯子中，那么需要多少个这样的杯子？ 【解答】解：图1几何体的容积为：π×（）2×h+π×a2×h＝πa2h， 图2几何体的容积为：π×（）2×h＝πa2h， 则需要杯子的个数：πa2h÷πa2h＝20（个）， 答：需要这样的杯子20个． 8．计算下面几何体的体积．如图所示，单位：厘米．（π取3）． 【解答】解：S环＝3×（32﹣22） ＝3×5 ＝15（立方厘米）． 9．计算下面组合图形的表面积． 【解答】解：4×2×8+6×2×2＝64+24＝88（平方米）， 答：这个组合图形的表面积为88平方米． 题组四 旋转得到的几何体 1．下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故A不符合题意； B、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故B不符合题意； C、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故C符合题意； D、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵已知的平面图形是由矩形和三角形组成， ∴这个平面图形绕直线l旋转一周得到的几何体是由圆柱体和圆锥体组成． 故选：D． 3．如图是平面图形绕虚线l旋转一周得到的，则该旋转图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图可知，只有D选项图形绕直线l旋转一周得到如图所示立体图形， 故选：D． 4．下列平面图形分别绕直线l旋转一周，得到的几何体是球体的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于选项A，绕直线l旋转一周得到的几何体是圆台， 故选项A不符合题意； 对于选项B，绕直线l旋转一周得到的几何体是球体， 故选项B符合题意； 对于选项C，绕直线l旋转一周得到的几何体是圆锥， 故选项C不符合题意； 对于选项D，绕直线l旋转一周得到的几何体是圆柱， 故选项D不符合题意． 故选：B． 5．我们知道，圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的，下列绕着直线旋转一周能得到图示的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．绕着直线旋转一周能得到如图所示的几何体，故A符合题意； B．绕着直线旋转一周不能得到如图所示的几何体，故B不符合题意； C．绕着直线旋转一周不能得到如图所示的几何体，故C不符合题意； D．绕着直线旋转一周不能得到如图所示的几何体，故D不符合题意； 故选：A． 6．下列平面图形沿虚线旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、旋转一周为圆锥，故本选项错误； B、旋转一周为圆锥，故本选项错误； C、旋转一周能够得到图形的倒置图形，故本选项错误； D、旋转一周能够得到如图图形，故本选项正确． 故选：D． 7．以如图所示的三角形的边为轴旋转一周后所得到的几何体可以是右图中的 　（2）（3）（4）　（填序号）． 【解答】解：绕一个三角形的一条边所在的直线旋转一周所成的几何体是（2）（3）（4）， 故答案为：（2）（3）（4）． 题组五 立方体顶点、棱、面的关系 8．若一个棱柱有12个顶点，则这个棱柱有 　8　个面． 【解答】解：∵棱柱有12个顶点， ∴这个棱柱是六棱柱， ∴六棱柱有8个面， 故答案为：8． 9．若一个直棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为28cm，则每条侧棱长为 　7　cm． 【解答】解：由一个直棱柱共有8个顶点，得4棱柱． 由所有侧棱长的和等于28，得每条侧棱的长为28÷4＝7， 故答案为：7． 10．一个棱柱有7个面，则它的顶点数是 　10　． 【解答】解：一个棱柱的面数为7，则这个棱柱是五棱柱，五棱柱的顶点数为10 故答案为：10． 11．一个棱柱有4个侧面，那它有 　12　条棱，　8　个顶点． 【解答】解：∵一个棱柱有4个侧面， ∴该棱柱是4棱柱， ∴该棱柱棱有：3×4＝12（条）， 该棱柱顶点有：2×4＝8（个）， 故答案为：12，8． 12．观察、探究：如图所示． （1）①三棱柱有 　5　个面，　6　个顶点，　9　条棱； ②四棱柱有 　6　个面，　8　个顶点，　12　条棱； ③五棱柱有 　7　个面，　10　个顶点，　15　条棱；…． （2）①由此可以推出，n棱柱有 　（n+2）　个面，　2n　个顶点，　3n　条棱； ②若棱柱的面数、顶点数和棱数分别用字母F，V，E表示，则三者之间的关系是 　V+F﹣E＝2　． 【解答】解：（1）①三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱； ②四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱； ③五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱；…． 故答案为：①5，6，9； ②6，8，12； ③7，10，15； （2）①由此可以推出，n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱； ②∵4+4﹣6＝2， 6+5﹣9＝2， 8+6﹣12＝2， 6+8﹣12＝2， …， ∴V+F﹣E＝2． 即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2． 故答案为：①（n+2），2n，3n； ②V+F﹣E＝2． 题组六 立方体的展开图 1．下面四幅图中，不可能是圆柱侧面展开图的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：A、把圆柱沿着高剪开，打开后得到一个长方形或正方形，选项A是圆柱侧面展开图，不符合题意； B、把圆柱沿着侧面斜着剪开，打开后是一个平行四边形，选项B是圆柱侧面展开图，不符合题意； C、选项C图形可以通过左右平移拼成一个长方形，所以此图形是圆柱侧面展开图，不符合题意； D、平面图形是梯形不能通过平移拼接成长方形，所以此图形不是圆柱侧面展开图，符合题意； 故选：D． 2．如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是（　　） A．正三棱柱 B．正三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 【解答】解：如图可知：这个几何体是圆柱； 故选：C． 3．下列图形中不是三棱柱的表面展开图的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，故选项A不是三棱柱的表面展开图． 故选：A． 4．下列不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：B、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图；A围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有， 故A不能围成三棱柱， 故选：A． 5．下列图形中，不属于正方体展开图的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：选项A属于1﹣3﹣2型，是正方体的平面展开图，不合题意． 选项B出现了“田字”，不是正方体的平面展开图，符合题意． 选项C属于2﹣2﹣2型，是正方体的平面展开图，不合题意． 选项D属于3﹣3型，是正方体的平面展开图，不合题意． 故选：B． 6．图中是正方体的展开图的有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：属于正方体展开图的是第2个、第7个图、第8个图，而第1个、第3个、第4个图、第5个、第6个都不是正方体的展开图， 所以图中是正方体的展开图的共有3个． 故选：A． 7．有一个无盖的正方体盒子，下列选项中不可能是它的平面展开图的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：选项A、B、C均可以做成一个无盖的正方体盒子，选项D不能，因为有两个面会重合． 故选：D． 8．如图所示，从①②③④中选取一个正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：由图可得，一个正方形放在①能围成正方体，放在②、③、④不能围成正方体． 故选：A． 9．下列图形中不是正方体的表面展开图的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：依题意， 不能拼成正方体， 故选：B． 题组七 含图案立方体展开图 10．如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体的展开图的为（　　） A．B． C．D． 【解答】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 11．将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：观察图形可知， 将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的选项B． 故选：B． 12．某正方体的平面展开图如图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意及图示经过折叠后符合只有A． 故选：A． 13．如图的图形是（　　）正方体的展开图． A． B． C． D． 【解答】解：如图： 是 的正方体展开图． 故选：B． 14．如图所示的正方体的展开图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据带有各种符号的面的特点及位置，正方体的展开图是选项D． 故选：D． 15．如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（　　） A． B． C． D． 【解答】解：三个图形相邻，而选项B，D与此不符，所以错误； 再观察3个图案所在的位置，而选项C不符，正确的是A． 故选：A． 16．如图是某一正方体的平面展开图，则该正方体是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由正方体的展开图可知，两个圆是相对的面，故选项A、B不合题意； 没有阴影的圆与直角三角形的直角相邻，故选项C不合题意； 选项D符合该正方体的平面展开图， 故选：D． 17．下列图形中，可能是右面正方体的展开图的是（　　） A．B． C．D． 【解答】解：A、折叠后，圆不是与两个空白小正方形相邻，故与原正方体不符，故此选项错误； B、折叠后，圆与三角形成对面，与原正方体不符，故此选项错误； C、折叠后与原正方体相同，与原正方体符合，故此选项正确； D、折叠后，两个三角形的短边不是与两个空白小正方形相邻，与原正方体不符，故此选项错误． 故选：C． 18．如图，选项中哪一个图形是如图正方体的展开图（　　） A．B．C．D． 【解答】解：A．折叠后可得到图中的正方体，符合题意； B．折叠后两个阴影长方形有一个公共点，不合题意； C．折叠后两个阴影长方形的长边互相平行，不合题意； D．折叠后阴影长方形与阴影三角形一边完全重合，不合题意； 故选：A． 19．如图，为正方体展开图的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：A、折叠后，与原正方体不符，故此选项错误； B、折叠后，与原正方体不符，故此选项错误； C、折叠后，与原正方体不符，故此选项错误； D、折叠后与原正方体相同，与原正方体符合，故此选项正确． 故选：D． 题组八 几何体折叠点线重合问题 20．如图表示一个正方体的平面展开图，把它折成一个正方体时，与顶点K重合的点是（　　） A．点F、点N B．点F、点B C．点F、点M D．点F、点A 【解答】解：当把这个平面图形折成正方体时，与顶点K重合的点是F、B． 故选：B． 21．如图，是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点K重合的顶点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【解答】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点K重合的顶点是点D． 故选：D． 22．将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（　　） A．AB B．CD C．DE D．CF 【解答】解：三角形对应的面为DCFE， a对应的边为DE． 故选：C． 23．将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（　　） A．线段CD B．线段EF C．线段AD D．线段BC 【解答】解：在正方体中，阴影三角形面的对面为面ABCD， 边a对应的边为边AD． 故选：C． 24．如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，折叠后P，Q在正方形一条棱上的两个端点上，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的C选项．而A，B，D选项不合题意． 故选：C． 25．如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠围绕成正方体后，与数字6重合的数字是（　　） A．7，8 B．7，9 C．7，2 D．7，4 【解答】解：根据“间二，拐角邻面知”可得与A面相邻的面为B面、C面、D面、E面， 折叠后与数字6重合的数字为7，2， 故选：C． 题组九 正方体对面的文字 26．正方体的六个面分别标有1、2、3、4、5、6六个数，如图所示是从不同角度拍摄的图片，请你判断与1相对的面是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【解答】解：5的邻面有4，6，1，3，所以5的对面是2； 3的邻面有1，5，2，6，所以3的对面的4； 所以与1相对的面是6． 故选：D． 27．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“我”相对面上的汉字是（　　） A．习 B．学 C．数 D．爱 【解答】解：与汉字“我”相对面上的汉字是“习”． 故选：A． 28．如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：根据题意，1与4相对，2与6相对，3与5相对， ∴1+4＝5，2+6＝8，3+5＝8， ∴相对两个面上的数字之和的最小值是5． 故选：A． 29．如图，这是一个正方体的表面展开图，每个面上都标有汉字，其中与“知”字处于正方体相对面上的是（　　） A．识 B．是 C．力 D．量 【解答】解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，所以与“知”字处于正方体相对面上的是“量”． 故选：D． 30．如图是正方体的表面展开图，现将部分面上分别标注数字，若正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：其中面“2”与面“1”相对， 所以正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字为2， 故选：A． 31．如图是一个正方体的展开图，则与“心”字所在面相对的面上的字是（　　） A．素 B．数 C．学 D．养 【解答】解：如图是一个正方体的展开图，则与“心”字所在面相对的面上的字是“学”． 故选：C． 32．“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”描绘了美好的春日景色．将“桃红复含宿雨”六个字分别写在一个正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则原正方体中与“红”字所在面相对面上的汉字是（　　） A．桃 B．含 C．宿 D．雨 【解答】解：原正方体中与“红”字所在面相对面上的汉字是含， 故选：B． 33．如图是正方体展开图，将《论语》十二章中的一句话：“学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“而”对面的字是（　　） A．不 B．思 C．则 D．罔 【解答】解：由图可知，学与罔相对，不与则相对，而与思相对， 故选：B． 题组十 正方体展开--求值 34．如图是一个正方体纸盒的展开图，若将展开图折叠成一个正方体后，相对面上的两个数的和为2，则（x+z）y的值为（　　） A．16 B．8 C．1 D．﹣1 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “﹣2”与“x”，“﹣1”与“y”，“7”与“z”是对面， 所以﹣2+x＝﹣1+y＝7+z＝2， 即x＝4，y＝3，z＝﹣5， 所以（x+z）y＝（4﹣5）3＝﹣1． 故选：D． 35．如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，则x﹣y的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【解答】解：由题意得：3与9是相对面，5与x是相对面，4与y是相对面， ∵正方体相对面上的两个数字之和相等， ∴5+x＝4+y＝3+9， 解得：x＝7，y＝8， ∴x﹣y＝7﹣8＝﹣1， 故选：C． 36．如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字相等，则x+z＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4 【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “﹣3”与“x”的面是相对的面， “﹣2”与“y”的面是相对的面， “1”与“z”的面是相对的面， 又因为这个正方体相对表面上所标的数字相等， 所以x＝﹣3，y＝﹣2，z＝1， 则x+z＝﹣3+1＝﹣2． 故选：C． 37．如图所示的图形是正方体的一种平面展开图，它各面上部标有数字，则数字﹣2的面与它对面数字之积是（　　） A．﹣10 B．10 C．﹣8 D．8 【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与数字﹣2相对的面上的数字是5， ﹣2×5＝﹣10． 故数字﹣2的面与它对面数字之积是﹣10． 故选：A． 38．如图是一个正方体的表面展开图，将展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为5，则x+y＝　4　． 【解答】解：由题意得： x与2是相对面，y与4是相对面， ∵将展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为5， ∴x＝3，y＝1， ∴x+y＝3+1＝4． 故答案为：4． 39．如图是一个正方体的展开图，如果相对面上的两个式子表示的数相等，则x+y的值为 　5　． 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x﹣a”与面“1”相对，面“4”与面“y+a”相对，面“2”与面“2”相对． x﹣a＝1，4＝y+a，得x+y＝5 故答案为：5． 40．如图所示的是一个正方体的展开图，它的每一个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面的两个数字之和相等，那么a+b﹣2c＝　38　． 【解答】解：由题意8+a＝b+4＝c+25 ∴b﹣c＝21，a﹣c＝17， ∴a+b﹣2c＝（a﹣c）+（b﹣c）＝17+21＝38． 故答案为：38 41．如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则2x﹣y+z＝　0　． 【解答】解：“y”所在面与“3”所在面相对，“z”所在面与“﹣1”所在面相对，“x”所在面与“8”所在面相对， 则y+3＝6，z+（﹣1）＝6，x+8＝6， 解得：y＝3，z＝7，x＝﹣2． 故2x﹣y+z＝2×（﹣2）﹣3+7＝0． 故答案为：0． 题组十一 立方体展开图的面积与体积 42．如图，是一个几何体的表面展开图的一部分． （1）该几何体是 　长方体　，请补全图形，关键线段要标上数据． （2）依据如图中数据求该几何体的体积和表面积； 【解答】解：（1）这个几何体是长方体，如图所示： 故答案为：长方体； （2）长方体的体积＝3×5×1＝15（立方米），表面积＝2（1×5+3×5+1×3）＝46（平方米）． 43．小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示，求这个包装盒的表面积和体积． 【解答】解：由图得 高为：2cm， 长为：10﹣2＝8（cm）， 宽为：（cm） S＝2（4×2+4×8+2×8） ＝112（cm2）， V＝2×4×8 ＝64（cm3）； 故这个包装盒的表面积为112cm2，体积为64cm3． 44．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． （1）这个食品包装盒的几何体名称是 　三棱柱　； （2）若AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，DF＝6cm，求这个几何体的所有棱长的和及体积． 【解答】解：（1）由展开图可知该几何体名称是三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）所有棱长为（3+4+5）×2+6×4＝48（cm）， 体积为（3×4÷2）×6＝36（cm2）． 45．如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图． （1）请写出这个包装盒的几何体的名称：　三棱柱　； （2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，DF＝6，计算这个多面体的侧面积． 【解答】解：（1）共有3个长方形组成侧面，2个三角形组成底面，故是三棱柱； 故答案为：三棱柱； （2）∵AB＝5，AD＝3，BE＝4，DF＝6 ∴侧面积为3×6+5×6+4×6＝18+30+24＝72． 46．将一个长方体展开后如图所示，已知A，B，C三个面的面积之和是36cm2，且B面是一个边长为2cm的正方形，求这个长方体的体积． 【解答】解：∵B面是一个边长为2cm的正方形， ∴长方体的长、宽、高三个尺寸中，有两个均为2cm，不妨令宽、高均为2cm； 则长方体的长为：（36﹣4）÷2÷2＝8（cm）； 因此，这个长方体的体积为：8×2×2＝32（cm3）． 47．如图，是一个几何体的表面展开图： （1）请说出该几何体的名称； （2）求该几何体的表面积； （3）求该几何体的体积． 【解答】解：（1）该几何体的名称是长方体； （2）该几何体的表面积为：2×（2×3+2×1+1×3）＝22（平方米）； （3）该几何体的体积为：2×3×1＝6（立方米）． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$