第2章 一元二次方程 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第2章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（一元二次方程）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．关于x的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 3．为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 5．若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 6．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 7．根据下表的对应值，估算一元二次方程（b，c为常数）的其中一个解的取值范围是（     ） x 1 1.1 1.2 1.3 x²+bx+c -2 -0.59 0.84 2.29 A． B． C． D． 8．如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．用换元法解方程时，设，则原方程化为的整式方程为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知中，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，若，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．方程的一次项是 ． 12．用公式法解方程，其中的值是 ． 13．若一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，且，则的取值范围是 ． 14．定义运算：．例如：，则方程的根的情况为 15．如图，将边长为的正方形沿两边剪去宽相同的矩形，剩下的部分是一个边长为的正方形，已知剪去部分的面积为，则＝ ． 16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍． 17．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 18．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动，当 秒时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．解下列方程： (1) (2) 20．已知：0是关于x的方程的解，求代数式的值． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 22．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？ 23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求： (1)若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利多少元？ (2)若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？ 24．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵， ∴， ∴， 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为 ． (2)已知，求的值； 25．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 26．如图1，已知函数经过两点． (1)求B点的坐标； (2)如图2，点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，的面积为S，试求S与t的函数关系式； (3)如图3，D是的角平分线上一点，与交于点F，当时，，，求点F的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（一元二次方程）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 2．关于x的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解题的关键． 先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可． 【详解】解：在关于x的一元二次方程中，，，， ， 因为，所以， 所以关于x的一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根． 故选A． 3．为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如的方程即可． 【详解】根据题意，得． 故选：D． 4．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程． 【详解】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 5．若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系的知识．根据根与系数的关系，得出和，再代入等式求得即可． 【详解】解：关于的方程的两实数根为，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 7．根据下表的对应值，估算一元二次方程（b，c为常数）的其中一个解的取值范围是（     ） x 1 1.1 1.2 1.3 x²+bx+c -2 -0.59 0.84 2.29 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用时，，而时，可判断当时，其中有一个x的值满足，即可得答案． 【详解】解：∵时， ， 时，， ∴当时，其中有一个x的值满足， 即一元二次方程其中一个解的取值范围是． 故选：B． 8．如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽米，小路的面积一个长32宽的矩形面积一个长20宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽米， 则． 故选：B 9．用换元法解方程时，设，则原方程化为的整式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 设，则，然后代入原方程，再将分式方程化为整式方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母，得， 移项，得， 故选：B． 10．如图，已知中，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，若，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、解一元二次方程、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，连接，延长交于点M；证明，得到，；则  ，得到，由勾股定理，解方程即可得到答案. 【详解】解：如图，连接，延长交于点M； 由题意得：， ∴为等边三角形， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 由题意得：  ， ∴， ∵， ∴ 解得，或（不合题意，舍去） 即的长为. 故选：D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．方程的一次项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，以及一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将化为一般形式即可求得出其一次项． 【详解】解：， 移项并合并同类项得：， 方程的一次项为， 故答案为：． 12．用公式法解方程，其中的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查判别式的计算，由一般式得到的值，代入计算即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13．若一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，且，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，根据根与系数的关系结合已知条件可得出，即可得出，最后再根据根的判别式即可求出a的取值范围． 【详解】解：，， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 14．定义运算：．例如：，则方程的根的情况为 【答案】没有实数根 【分析】本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后求出判别式的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴方程没有实数根， 故答案为：没有实数根． 15．如图，将边长为的正方形沿两边剪去宽相同的矩形，剩下的部分是一个边长为的正方形，已知剪去部分的面积为，则＝ ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形的面积公式，正确的识别图形是解题的关键．根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 解得：（负值舍去）， 故答案为：2． 16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍． 【答案】 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，解一元二次方程，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律及掌握解一元二次方程． 【详解】解：由第个图形中有个“●”和个“★”， 第个图形中有个“●”和个“★”， 第个图形中有个“●”和个“★”， ， ∴第个图形中有个“●”和个“★”， ∵图形中“★”的个数是“●”的个数的倍， ∴，解得：，（舍去）， 故答案为：． 17．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 【答案】2032 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 18．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动，当 秒时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，根据矩形的性质和勾股定理得到，进而列出一元二次方程求解，即可解题． 【详解】解：设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，即， 又四边形是矩形， 故， 故， ， ， ， 解得，， 当时，，故舍去， ． 故为3s时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间的距离的2倍． 故答案为：3． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可； （2）找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【详解】（1）解：方程整理得：， 分解因式得：， 解得：，； （2），整理得：， 这里，，， ， ， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自解法是解本题的关键． 20．已知：0是关于x的方程的解，求代数式的值． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，分式的化简求值．把代入方程，可得或，然后化简分式，再代入计算，即可求解． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得或， ， 当时，原式； 当时，原式． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 【答案】(1)见解析； (2)3 【分析】（1）先根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，则，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值． 【详解】（1）证明：， 所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ∵、是斜边长为5的直角三角形两直角边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， ∵，， ∴k的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键，对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根；若、是一元二次方程的两根时，，． 22．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算． 【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人， 列方程得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染巾平均一个人传染了个人． 23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求： (1)若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利多少元？ (2)若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答； （2）设每件衬衫应降价元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利元； （2）解：设每件衬衫应降价元， 根据题意，得：， 整理，得：， 分解因式，得：， 解得：，， 要“扩大销售量，减少库存”， 应舍去， ， 答：若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元． 24．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵， ∴， ∴， 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为 ． (2)已知，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解； （）先配方，再根据非负数的性质求值即可； 【详解】（1） ，得：， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，完全平方公式的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是解题的关键． 25．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 26．如图1，已知函数经过两点． (1)求B点的坐标； (2)如图2，点C是x轴正半轴上一点，横坐标为，的面积为S，试求S与t的函数关系式； (3)如图3，D是的角平分线上一点，与交于点F，当时，，，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，得，求解即可； （2）令，得，得，，，再根据即可求解； （3）由勾股定理得，过点作轴，根据，，得，在上取，过点作轴交于，则，，可知，可证四边形是矩形，得轴，，，由，知，则，进而可知，可知平分，由平分，可知点与点重合，得，，设，则，，由勾股定理可得，，列方程求解得（负值舍去），可知，，，求得的解析式为：，的解析式为：，联立，即可求解得点的坐标． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ∴点的坐标为； （2）当时，，则， ∴，， ∵点C是x轴正半轴上一点，横坐标为， ∴，则， 则的面积， ∴； （3）在中，， ∴， 过点作轴， ∵，即， 又∵， ∴， 在上取，过点作轴交于，则，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是矩形， ∴轴，，， 又∵， ∴，则， ∵轴， ∴， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴点与点重合， ∴，， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 则，，， 设的解析式为：，代入，，可得，解得：， ∴的解析式为：， 同理，的解析式为：， 联立，解得： 故点的坐标为． 【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求函数解析式，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，添加辅助线，构造全等三角形，证明点与点重合是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$