河南省周口市恒大中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年（上）高三数学开学考试卷 数学试题 试卷考试时间：120分钟 满分：150 第I卷（选择题） 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（    ） A． B． C． D． 2．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 3．随机变量服从正态分布，，则等于（    ） A．0.84 B．0.16 C．0.36 D．0.34 4．某班有名学生，其中正、副班长各人，现要选派人参加一项社区活动，要求正、副班长至少人参加，问共有多少种选派方法？下列算式中错误的是（　　） A． B． C． D． 5．2022年11月30日，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念．假设6人站成一排，要求神舟十四号3名航天员互不相邻且刘洋不站在两端，不同站法共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．144种 6．的展开式中的系数为（    ） A．25 B．15 C． D． 7．的展开式中各项二项式系数之和为，则展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 8．在某项测试中，测量结果与服从正态分布，若，则（    ） A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.21 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列说法中正确的是（    ） A．已知随机事件A，B满足，，则 B．已知随机变量，若，则 C．若样本数据，，…，的平均数为10，则数据的平均数为3 D．随机变量X服从二项分布，若方差，则 10．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 11．下列判断正确的是（    ） A． B．由数字1，2，3，4可以组成24个无重复数字的四位数 C．由数字0，1，2，3，4可以组成120个无重复数字的五位数 D．若有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有70种不同的方法 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知随机变量，若，则 ． 13．第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人，共有15人报了名．其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为 ． 14．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ． 四、解答题（共5小题，共计77分.） 15．（13分）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示. 年龄x(岁) 1 2 3 4 5 6 身高y(cm) 78 87 98 108 115 120 （1）画出散点图； （2）判断y与x是否具有线性相关关系. 16．（15分）为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所需数据调查整理后，画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1:2:3，其中第二组的频数为12. （1）求该校高三毕业班报考飞行员的总人数； （2）以该校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设表示体重超过60的学生人数，求的分布列和数学期望. 17．（15分）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.  系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 18．（17分）第19届亚运会组委会消息，亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.为此某校举办了以“迎亚运”为主题的篮球和排球比赛，每个学生只能报名参加一项，某调研组在校内参加报名的学生中随机选取了男生､女生各100人进行了采访，其中参加排球比赛的归为甲组，参加篮球比赛的归为乙组，调查发现甲组成员96人，其中男生36人. 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 (1)根据以上数据，补充上述列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢排球还是篮球是否与“性别”有关； (2)现从调查的男生中，按分层抽样选出25人，从这25人中再随机抽取3人发放礼品，发放礼品的3人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 19．（17分）某研究机构对某校高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据． 6 8 10 12 2 3 5 6 （1）根据表中的数据可知具有较强的线性相关性，求出关于的线性回归方程； （2）预测记忆力为19的同学的判断力．（附参考公式：，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A C A D B BC ABC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可. 【详解】[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”， 由全概率公式： ． 又由贝叶斯公式： ． 故选：B 2．B 【分析】由已知可得出，写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】， 的展开式通项为，的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 其中，，且、， 令，可得或或， 因此，的展开式中的系数为. 故选：B. 【点睛】结论点睛：的展开式通项为. 3．D 【分析】根据正态分布性质求解给定区间概率 【详解】∵随机变量服从正态分布，， ∴. 故选：D. 4．A 【分析】利用间接法和分类加法原理求出满足题意的组合情况，依次判断选项即可. 【详解】B：先从60人选5人，有种情况， 选出班干部2人，从余下的58人选5人，有种情况， 所以正、副班长至少1人参加的有种情况，故B正确； C：先在2个班干部选1人，从余下的59人选4人，有种情况， 再排除正、副班长2人参加的情况，有种情况， 所以正、副班长至少1人参加的有种情况，故C正确，A错误； D：当一个班长参加时，有种情况， 当2个班长参加时，有种情况， 所以正、副班长至少1人参加的有种情况，故D正确； 故选：A. 5．C 【分析】利用插空法和间接法可求出结果. 【详解】神舟十四号3名航天员互不相邻的排法种数有种， 其中刘洋站在两端的排法种数有种， 故符合题意的排法种数有. 故选：C 6．A 【分析】首先将原式变形为，再写出展开式的通项，即可得解； 【详解】解：因为，又展开式的通项为，所以含的项有，故的系数为， 故选：A 7．D 【分析】先求出，利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得. 故展开式的通项为， 令，所以，所以，所以展开式中的常数项为． 故选：D． 8．B 【分析】根据已知条件,求出正态分布曲线的对称轴为,根据对称性可求出的值,进而可求 【详解】解: 测量结果与服从正态分布正态分布曲线的对称轴为 故选:B. 【点睛】本题考查了正态分布中概率问题的求解.在解此类问题时,结合正态分布曲线图像进行求解,其关键是找到曲线的对称轴. 9．BC 【分析】由条件概率的公式可得A错误；由正态分布的方差公式和方差的性质可得B正确；由平均数的计算公式可得C正确；由二项分布的性质可判断D错误. 【详解】A：由条件概率的公式可得，所以，故A错误； B：因为随机变量，所以， 又，所以， 所以，故B正确； C：因为样本数据，，…，的平均数为10， 所以， 化简可得， 所以的平均数为，故C正确； D：由题意可得，解得或， 则或，故D错误； 故选：BC. 10．ABC 【分析】根据最高位不能为，利用间接法、分步、分类法计算可得. 【详解】用到这个数字组成没有重复数字的三位数， 若不考虑最高位是否为，则有个，又最高位不能为，故当最高位为时有个， 故可以组成没有重复数字的三位数的个，故C正确； 首先排最高位，有种，再排十位、个位，有种，故共有个没有重复数字的三位数，故B正确； 若选到的数字没有，则有个，若选到的数字有，先排，有种方法， 再从其余个数字选个排到其余位置，故有个， 综上可得共有个没有重复数字的三位数，故C正确； 故选：ABC 11．ABD 【分析】根据排列数公式判断A，根据全排列判断B，首先排最高位，其余数字全排列即可判断C，利用组合数判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：由数字1，2，3，4可以组成个无重复数字的四位数，故B正确； 对于C：由数字0，1，2，3，4可以组成个无重复数字的五位数，故C错误； 对于D：有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有种不同的方法，故D正确. 故选：ABD 12．0.3/ 【分析】根据正态曲线的对称性即可求得答案. 【详解】由题意随机变量，即正态曲线关于直线对称， ，则， 故答案为：0.3 13． 【分析】根据分组分配问题，结合古典概型的概率公式求解. 【详解】该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为， 15人选10人分两组的分法种数为， ∴两人都被选中且被分在不同组的概率． 故答案为： 14． 【分析】将样本中心代入可得，即可根据残差定义求解. 【详解】将，代入可得， 所以， 故当时，， 所以残差为， 故答案为： 15．（1）图见解析；（2）具有. 【分析】（1）利用表中数据描点可得出散点图. （2）观察散点图可得y与x具有线性相关关系 【详解】(1)散点图如图所示. (2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系. 16．（1）48；（2）分布列见解析；. 【分析】（1）根据前3组的频率之比设出前3组的频率，根据频率分布直方图中的数据计算后两组的频率，根据频率和为1，计算出各组的频率，利用第2 组的频数为12，计算总人数； （2）表示体重超过60的学生人数，利用直方图求出体重超过60的学生的频率，写出X的可取值，符合二项分布，根据二项分布数学期望公式求出数学期望. 【详解】（1）设该校高三毕业班报考飞行员的人数为，前三组的频率分别为，，， 则，解得. 又，所以， 即该校高三毕业班报考飞行员的总人数为48. （2）由（1），可得报考飞行员的学生的体重超过60的概率为， 易知， 则，，，. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 . 【点睛】易错点睛：超几何分布的本质是“不放回抽样”，而二项分布的随机试验是“独立重复试验”，强调每次试验的结果发生的概率相同，可认为是“有放回抽样”.本题中，“若从全省高三毕业班报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人”，特别强调人数很多，意味着试验可以看作是“有放回抽样”，所以是一个二项分布. 17．(1) (2)①可靠性为，增加一个元件后系统的可靠性会提高；②当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 【分析】（1）直接根据题目条件及给定的正态分布数据求解； （2）利用二项分布的概率性质求解可靠性，并比较不同的取值下可靠性的大小关系即可，当然也可以采取其它的思路求解. 【详解】（1）技术改造前，易知，，则其优品率为； 技术改造后，，，则其优品率为. 所以优品率之差为. （2）①记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数. 由条件知，，. ，. 因为，所以可靠性提高. ②方法一： 根据上一问的假设，易知，. 当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性降低. 当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性提高. 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 方法二： 当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， 于是， ， 这说明可靠性降低. 当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， 于是， . 这说明可靠性提高. 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 方法三： 设两两独立且均服从二项分布，记，则该系统配置有个元件时，系统的可靠性为. 则 ，且 . 这就得到，. 这表明，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 注意到服从二项分布，故. 进行完以上准备工作后，我们回到原题. ①若控制系统原有个元件，则系统的可靠性为. 而是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高； ②根据上面的结论，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 【点睛】关键点点睛：第2小问②的结果本质上是因为：当是偶数时，若添加一个元件，那么要求的正常工作的元件的最小数量不变，还是，但是元件多了一个，所以正常工作的元件数目必然有更大的机会达到要求的值，所以可靠性一定更大了； 而当是奇数时，若添加一个元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大数量不变，还是，但是元件多了一个，所以未能正常工作的元件数目必然有更大的机会突破允许的最大值，所以可靠性一定更小了. 第2小问的方法三的关键在于：构造一列独立同分布随机变量来比较不同的概率，相比构造单个二项分布随机变量，构造一列独立同分布随机变量会更加便于比较不同的概率，因为此时每个随机变量的取值范围都非常有限，而进行比较时只需要研究多出的一个随机变量即可.  这就避免了花费力气对两个取值范围很广的随机变量进行比较，那样太过困难. 18．(1)列联表答案见解析，认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关. (2)分布列答案见解析，数学期望：. 【分析】（1）补充分布列计算卡方进行独立性检验即可； （2）利用超几何分布的概念得到分布列并计算数学期望即可. 【详解】（1）列联表补充如下： 甲组 乙组 合计 男生 36 64 100 女生 60 40 100 合计 96 104 200 零假设为：学生选择排球还是篮球与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关. （2）按分层抽样，甲组中男生9人，乙组中男生16人，则的可能取值为， ， 的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 19．（1）；（2）记忆力为19的同学的判断力约为11． 【分析】（1）根据表中数据求出、、、，进而求出、，即求. （2）将代入线性回归方程即可求解. 【详解】解：（1）由题意， ，，， 所以，， 故线性回归方程为 （2）当时，解得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$