精品解析：河北省邯郸市魏县2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

数学 本试卷4页.总分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，复数满足，则（ ） A. B. 复数在复平面内所对应的点的坐标是 C. D. 复数在复平面内所对应的点为，则 3. 已知向量满足，则（ ） A. 5 B. C. D. 20 4. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ） ①，②，③，④． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若一组数据的方差为0.2，则的方差为1 B. 68，60，62，78，70，84，74，46，73，82这组数据的第80百分位数是80 C. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关 D. 若变量，则 10. 已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在区间上的最大值和最小值之和为 C. 为的极小值点 D. 方程有两个不同的根（e为自然对数的底） 11. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上任意一点，当双纽线过点时，下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 当时，与曲线只有一个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为_______． 13. 已知，则的最小值为______． 14. 若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值． 16. 已知是上的动点，点，线段的中垂线交直线于点． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知直线的方程为，过点的直线（不与轴重合）与曲线相交于两点，过点作，垂足为．证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 17. 如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动． （1）当时，试确定点的位置并证明； （2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）证明：当时，成立. 19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率． （1）若这个人开始时位于点处，且． （ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率； （ⅲ）已知，若，求； （2）已知是关于的连续函数． （ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）； （ⅱ）求关于的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷4页.总分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式求得，进而求得. 【详解】由解得， 因为，， 所以. 故选：B 2. 已知复数，复数满足，则（ ） A. B. 复数在复平面内所对应的点的坐标是 C. D. 复数在复平面内所对应的点为，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念求，结合复数的乘法公式求，根据复数的模的公式求，判断A，根据复数的几何意义求复数在复平面内所对应的点的坐标，判断B，根据复数的模的几何意义确定复数所对应的点的轨迹，由此判断C，结合复数的模的公式，由条件求点的轨迹方程，判断D. 【详解】因为，所以， 所以，又，A错误； 对应的点的坐标为，B错误； 由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上， 又，因此，C正确； 对应的点的坐标为，因此，D错误， 故选：C． 3. 已知向量满足，则（ ） A. 5 B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由，求得，再由即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C 4. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧 ； ； . 5. 用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过圆锥侧面展开图的两种情况①侧面展开图最大为半径为2的半圆，②侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，计算比较即可. 【详解】根据题意有两种方式可以得到这样的几何体， 方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆， 因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，高为， 所以两个圆锥体积的最大值为． 方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为的四分之一圆， 因此一个圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 所以两个圆锥体积的最大值为． ， 故选：A． 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合结论若，则，证明，由此可得，再证明，由此可得结论. 【详解】若，则，且， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以， 故选：D． 7. 已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据任意角的正切定义得出再根据两角和的余弦公式化简，最后结合二倍角的正切公式计算即可. 【详解】因为为角终边上一点，所以 而，且当时，， 所以， 故选:D． 8. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ） ①，②，③，④． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析，不难得到，按照规律写出各项，即可判断①，②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出即可判断. 【详解】由题意可知， 则，， 则①正确；显然，故②正确； 因为，经过数字5的路线共有条. 理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条， 利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有条. 则，故③正确； 同理可得即有，故④错误. 故选:A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若一组数据的方差为0.2，则的方差为1 B. 68，60，62，78，70，84，74，46，73，82这组数据的第80百分位数是80 C. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关 D. 若变量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方差的性质计算方差判断A,应用百分位数定义计算判断B,根据相关系数判断C,应用正态分布对称性计算概率判断D. 【详解】对于A，的方差为，故A错误； 对于B，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，82，84，又， 第8位数字是78，第9位数字是82，故这组数据的第80百分位数是，故B正确； 对于C，样本相关系数的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确， 故选:BCD． 10. 已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在区间上的最大值和最小值之和为 C. 为的极小值点 D. 方程有两个不同的根（e为自然对数的底） 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据导数的几何意义列式求解即可；对于BC：求导，利用导数求极值点和最值，进而分析判断；对于D：整理可得，构建函数，结合函数单调性分析函数零点，即可判断. 【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，且， 则，解得， 所以，故A错误； 对于选项C：因为，， 令，解得；令，解得； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则为的极小值点，故C正确； 对于选项B：若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可知的最小值，且，即的最大值， 所以在区间上的最大值和最小值之和为，故B正确； 对于选项D：令，整理可得， 令， 因为函数与在区间内单调递增， 则在区间内单调递增，且， 所以有且仅有一个零点，即方程有一个解，故D错误. 故选：BC． 11. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上任意一点，当双纽线过点时，下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 当时，与曲线只有一个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A,根据定义列式再将点代入得出参数，对B,根据的面积范围证明即可,对C,根据向量关系平方后结合余弦定理计算即可求解；对D,化简得出函数与直线联立结合判别式判断即可. 【详解】根据双纽线的定义可得，，则，将点代入方程可得，因此A正确； 根据三角形的等面积法可知，，即，即，因此B错误； 因为，所以， 由余弦定理可得，，则， 所以的最大值为，因此C正确； 由化简可得与曲线一定有公共点， 则，当实数时，，该方程无解，则与曲线只有一个公共点，D正确． 故选;ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，，，，解方程即可求解. 【详解】由题意得，，， 由题得， ∴， 整理得，即， ∴，，即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题. 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据用1的活用，结合常值代换应用基本不等式计算即可. 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 14. 若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于，求导确定斜率，求得切线方程，再结合此直线与圆也相切，即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于， 当时，，则由可知，曲线在点处的切线方程为， 即，该方程即为直线的方程， 因为直线与圆相切，所以，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 当时，，同理可求得直线的方程为， 故直线的方程为或． 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，运用三角形内角关系与和角公式化简即可求得； （2）利用等面积推理得到，由基本不等式求出的最小值，代入三角形面积公式即可求出最小值. 【小问1详解】 由，及正弦定理得， 因，代入可得，， 因为，所以，又，所以． 【小问2详解】 由（1）得，因为，所以． 由， 可得． 又，可得，即． 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由，可得， 所以， 所以的面积的最小值为． 16. 已知是上的动点，点，线段的中垂线交直线于点． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知直线的方程为，过点的直线（不与轴重合）与曲线相交于两点，过点作，垂足为．证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2） 设直线的方程为， 联立得①， 如图，设， 显然， 所以，且． 因为，所以直线的方程为， 令，得②， 将代入②，得， 故直线过定点，即定点． 【解析】 【分析】（1）根据，可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而可得，由点斜式求解直线方程，即可令，代入化简求解. 【小问1详解】 的圆心，半径，如图， 由中垂线的性质得， 所以， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 设该椭圆的方程为， 则，所以， 所以点的轨迹方程为． 【小问2详解】 略 17. 如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动． （1）当时，试确定点的位置并证明； （2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）为线段的中点，证明如下： 在中，， 由余弦定理得，则， 有，又平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 由，得，解得，即， 所以当时，点为线段的中点． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、面面垂直的性质证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用垂直关系的向量表示求解即得. （2）求出平面的法向量，再用面面角的向量求列式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）证明：当时，成立. 【答案】（1） （2）当时，， 设， 当时，， 又由（1）知，故， 当时，， 设，则， 则在单调递增，， 所以，则在单调递增， ， 综上，，即当时，. 【解析】 【分析】（1）解法一：根据，可得是的极小值点求出，再利用导数检验即可；解法二：求出，分、讨论，利用导数判断单调性可得答案； （2）当时，设，利用导数判断出单调性可得答案. 【小问1详解】 解法一：由，得， 又，所以是的极小值点， 故，而，故， 若，则， 当；当， 所以在单调递减，在单调递增， 故是唯一的极小值点，也是最小值点， 由，所以当且仅当时， 解法二：由，得，又， 当时，有恒成立，所以在上单调递减， 又，则不成立， 当时，令，得， 则时，有时，有， 即在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为， ， 函数在单调递减，单调递增， ，当且仅当取等号， 故； 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：在证明不等式时构造函数，利用导数判断出单调性结合最值的正负是常用的方法. 19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率． （1）若这个人开始时位于点处，且． （ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率； （ⅲ）已知，若，求； （2）已知是关于的连续函数． （ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）； （ⅱ）求关于的表达式． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ） （2）（ⅰ）当时，；当时，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式分互斥事件计算概率，再根据递推公式构造数列，计算得出等比数列结合累加法得出通项公式； （2）针对定义域分段求解函数表达式. 【小问1详解】 （ⅰ）设事件：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件：“这个人在第5步掉入陷阱”， 则他在5步内掉入陷阱的概率． （ⅱ）他从开始，最终掉入陷阱的概率为，则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱， 若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由先到达处， 而这个概率和他从开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以， 由此可得（舍去）或． （ⅲ）由（ⅱ）可知，， 方法一：由，得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则． 则 累加得，所以． 方法二：由，得，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，当时，；当时，． （ⅱ）这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱， 若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由先到达处， 而这个概率和他从开始，最终掉入陷阱的概率相同， 所以，即，得或． 因为是关于的连续函数，所以当时，， 当时，． 所以 【点睛】关键点点睛：根据递推公式构造数列，计算得出等比数列，结合累加法得出通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $