1.2 子集、全集、补集（8大题型）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

1.2 子集、全集、补集 【考点归纳】 考点一:子集、真子集的个数问题 考点二:判断集合的包含关系 考点三:根据集合包含关系求参数 考点四:根据集合相等关系求参数 考点五:与空集有关的问题 考点六:根据补集运算求集合 考点七:根据补集运算求参数问题 考点八:子集、真子集和补集的综合性问题 【知识梳理】 知识点一:子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等 A=B 知识点二:空集 1.定义:不含任何元素的集合叫做空集,记为∅. 2.规定:空集是任何集合的子集.考点 三:全集与补集 知识点三:.全集 (1)定义:如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集. (2)记法:全集通常记作U. 知识点四:.补集 自然语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 【题型归纳】 题型一:子集、真子集的个数问题 1.(24-25高一上 广东梅州)集合的真子集的个数是( ) A.4 B.3 C.8 D.7 2.(23-24高一上 江苏南京 阶段练习)满足集合为的真子集且的集合的个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.15 3.(2024 宁夏 一模)已知集合,,则集合B的真子集个数是( ). A.4 B.7 C.8 D.15 题型二:判断集合的包含关系 4.(23-24高一上 福建南平 期末)下列Venn图能正确表示集合和关系的是( ) A. B. C. D. 5.(23-24高一上 安徽蚌埠 期末)设集合,则下列选项中正确的是( ) A.⫋ B.⫌ C. D. 6.(23-24高一上 湖南长沙 期末)以下五个式子中,错误的个数为( ) ①;②;③;④;⑤. A.5 B.2 C.3 D.4 题型三:根据集合包含关系求参数 7.(23-24高一下 浙江 期中)设集合,若,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.(24-25高一上 上海 随堂练习)已知非空集合,集合,,则实数的取值范围是( ). A. B. C. D.无解 9.(23-24高一下 贵州遵义 阶段练习)已知集合,,若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型四:根据集合相等关系求参数 10.(23-24高一上 全国 期末)已知,,若集合,则的值为( ) A. B. C.1 D.2 11.(23-24高一上 湖北孝感 期中)已知集合,其中,则实数( ) A. B. C. D.2 12.(23-24高一上 广东惠州)若集合,集合,且,则( ) A. B. C. D. 题型五:与空集有关的问题 13.(23-24高一上 重庆 期中)下列关于0与说法不正确的是( ) A. B. C. D. 14.(22-23高一上 天津和平 阶段练习)下列四个说法中,正确的有( ) ①空集没有子集; ②空集是任何集合的真子集; ③若,则; ④任何集合至少有两个子集. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 15.(23-24高一上 河南安阳 阶段练习)设集合,集合,若,则实数取值集合的真子集的个数为( ). A.2 B.4 C.7 D.8 题型六:根据补集运算求集合 16.(2024 北京房山 一模)已知全集,集合,则( ) A. B. C. D. 17.(2024 山西 模拟预测)已知全集,,则( ) A. B. C. D. 18.(23-24高一上 云南德宏 期末)设全集,集合满足,则( ) A. B. C. D. 题型七:根据补集运算求参数问题 19.(22-23高一上 福建宁德 期末)设全集,集合,则的值为( ) A. B.和 C. D. 20.(23-24高一上 江苏南通 开学考试)设全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 21.(22-23高一上 福建泉州 阶段练习)设全集,集合,,则的值为( ) A. B.和 C. D. 题型八:子集、真子集和补集的综合性问题 22.(23-24高一下 上海杨浦 期中)已知集合,集合. (1)若,求实数的取值范围 (2)若,求实数的值 23.(24-25高一上 上海 课堂例题)指出下列各对集合之间的关系: (1),; (2),; (3)为正整数},,为正整数}. 24.(2024高一上 全国 专题练习)已知集合. (1)若,为常数,求实数m的取值范围. (2)若,为常数,求实数m的取值范围. (3)若为常数,是否存在实数m,使得?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 【高分演练】 一、单选题 25.(25-26高一上 全国)下列关系式错误的是( ) A. B. C. D. 26.(24-25高三上 湖南长沙 阶段练习)设集合,则集合的真子集个数为( ) A.7 B.8 C.15 D.16 27.(24-25高一上 全国)已知全集,,若,则的值为( ) A. B.2 C. D.5 28.(24-25高一上 全国 课堂例题)已知集合,,若,则( ) A. B.0 C.1 D.2 29.(2024 青海西宁 二模)设集合,若,则( ) A. B. C.1 D.3 30.(23-24高一上 上海 期末)已知A、B为非空数集,为平面上的一些点构成的集合,集合,集合,给定下列四个命题,其中真命题是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 31.(23-24高一上 湖北十堰 期末)集合,,的关系是( ) A. B. C. D. 二、多选题 32.(23-24高一下 全国 课后作业)下列命题中,正确的有( ) A.集合的所有真子集为 B.若(其中),则 C.是菱形是平行四边形 D. 33.(23-24高一下 河北张家口)若集合,且,则实数的取值为( ) A. B. C.0 D.2 34.(23-24高一上 陕西西安 开学考试)已知集合,若,则实数a的值可以是( ). A. B. C.0 D. 35.(22-23高一上 福建福州 阶段练习)已知a,,集合,,若,则的可能取值为( ) A.1 B.4 C.6 D.7 36.(23-24高一上 四川成都 期中)下列说法正确的是( ) A.任何集合都是它自身的真子集 B.集合共有16个子集 C.集合 D.集合 三、解答题 37.(24-25高一上 上海 单元测试)已知集合,或. (1)是否存在实数,使得是成立的充分条件? (2)是否存在实数,使得是成立的必要条件? 38.(23-24高一上 广东佛山 期末)设集合 (1)若,试判断集合与的关系; (2)若⫋,求的值组成的集合. 39.(23-24高一上 湖南益阳 期末)已知全集,集合,. (1)求; (2)若,求实数a的取值范围. 40.(23-24高一上 四川)关于的方程()的解集为(),关于的方程()的解集为 (1)对于集合,,若,,则.求证: (2)若,求实数的取值范围. 41.(23-24高一上 福建泉州)已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 2 学科网(北京)股份有限公司 $$ 1.2 子集、全集、补集 【考点归纳】 · 考点一：子集、真子集的个数问题 · 考点二：判断集合的包含关系 · 考点三：根据集合包含关系求参数 · 考点四：根据集合相等关系求参数 · 考点五：与空集有关的问题 · 考点六：根据补集运算求集合 · 考点七：根据补集运算求参数问题 · 考点八：子集、真子集和补集的综合性问题 【知识梳理】 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集．考点 三：全集与补集 知识点三：．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 知识点四：．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【题型归纳】 题型一：子集、真子集的个数问题 1．（24-25高一上·广东梅州）集合的真子集的个数是（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】求出集合，再求其真子集的个数. 【详解】由题可得：，所以集合的真子集个数为； 故选：D 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）满足集合为的真子集且的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为集合， 则集合可以为，，，，，，共7个， 故选：B 3．（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】先求出集合B，再求真子集个数即可. 【详解】由题意得， 故集合B的真子集个数为. 故选：B 题型二：判断集合的包含关系 4．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【分析】求出，即可得出两集合之间的关系. 【详解】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 故选：B. 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系以及空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集选择即可. 【详解】对于①，集合与集合的关系是包含和包含于的关系，根据子集的定义知，错误； 对于②，两集合元素相同，所以两集合相等，即，正确； 对于③，由子集性质知，任意集合是本身的子集，所以，正确； 对于④⑤，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以，，错误， 综上，五个式子中错误的个数为3个. 故选：C 题型三：根据集合包含关系求参数 7．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系利用数轴即可得解. 【详解】如图，若，则. 故选：C. 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】由可知是的子集，解不等式可得的取值范围. 【详解】由可知是的子集， 结合数轴可知，， 即， 解得， 故选：A 9．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】集合，，由，得， 所以的取值范围是. 故选：A 题型四：根据集合相等关系求参数 10．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 11．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 12．（23-24高一上·广东惠州）若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为,根据题意,故, 所以, 则,即, 当时,与集合的互异性矛盾,故舍去; 当,时,,符合题意, 所以. 故选：B. 题型五：与空集有关的问题 13．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 14．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 15．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 题型六：根据补集运算求集合 16．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：B. 17．（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 18．（23-24高一上·云南德宏·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 题型七：根据补集运算求参数问题 19．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 20．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 21．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用集合补集的定义求解即可. 【详解】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意， 综上， 故选：C 题型八：子集、真子集和补集的综合性问题 22．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1)(2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可；（2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 23．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 24．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【高分演练】 一、单选题 25．（25-26高一上·全国）下列关系式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据子集的定义分析判断，对于B，根据相等集合的定义分析判断，对于C，根据元素与集合的关系分析判断，对于D，根据空集的定义分析判断. 【详解】对于A，由集合间的关系和集合中元素的无序性知，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知，故B正确； 对于C，0是集合的元素，所以，故C正确； 对于D，是集合的子集而非元素，故D错误. 故选：D. 26．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 27．（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据补集的定义求出，从而求出、的值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，所以. 故选：C 28．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 29．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据A是B的子集，分类讨论的值，然后检验是否符合题意. 【详解】由已知得,若,解得， 此时，符合题意; 若,解得, 此时,不符合题意; 若,解得,此时,不符合题意, 综上所述,. 故选:C. 30．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 31．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 二、多选题 32．（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中，正确的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是菱形是平行四边形 D． 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系判断各个选项； 【详解】对于A，集合真子集是，共3个，所以A错误； 对于B，由，知，，则，则B正确； 对于C，菱形是特殊的平行四边形，所以C正确； 对于D，，所以，所以D错误. 故选：BC. 33．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值． 【详解】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 34．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 35．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知a，，集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】利用相等集合的概念及集合元素的性质即可得出结论. 【详解】，，， 或，解得或或， 当，时，，，符合题意，， 当，时，，不符合集合元素的互异性，故舍去， 当，时，，，符合题意， 故选：CD. 36．（23-24高一上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有16个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可. 【详解】A：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确； B：集合中有四个元素，所以它的子集个数为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以与均表示4的倍数与2的和所组成的集合， 所以，因此本选项说法正确； D：对于，当时，， 即，但， 所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确. 故选：BC. 三、解答题 37．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合，或． (1)是否存在实数，使得是成立的充分条件？ (2)是否存在实数，使得是成立的必要条件？ 【答案】(1)存在 (2)不存在 【分析】（1）根据集合之间关系的判定，即可求解； （2）根据集合之间关系的判定，即可求解. 【详解】（1）欲使是成立的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时使是成立的充分条件； （2）欲使是成立的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数，使是成立的必要条件． 38．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若⫋，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 39．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 40．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，将带入方程等式成立． ∴是方程的解， ∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论 且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵， ∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出无实根或其根为方程的根. 41．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】(1)；； (2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集； (3)个子集，个真子集，个非空真子集. 【分析】利用子集、真子集、非空真子集的定义计算即可. 【详解】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$