专题3.1 利用勾股定理解三角形（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题3.1 利用勾股定理解三角形 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、勾股定理 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=． · 典例分析 【典例1】如图，在中，，于点D，，分别交、于E、F．    （1）如图1，，，求的长度； （2）如图2，取中点G，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作于点N，并延长交延长线于点M，请直接写出的值． 【思路点拨】 （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论； （2）连接，由题意可知是的垂直平分线，可知，，可得，由勾股定理可得，结合，可得，由是的中点，可知，可得是的垂直平分线，易知，得，则，由，，可知，继而可得，利用即可证明，即可证得结论； （3）过点作于，过点作于，连接，连接，利用等腰三角形的性质可得，易知，，由，得，结合（2）中结论，可设，由勾股定理可得，，，，，由可得，进而求得，的长即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：连接，    ∵，， ∴，则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ， 中，， ∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）过点作于，过点作于，连接，连接，    ∵，， ∴，， ∴， ∵，，则， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，，， 则， 设，则， ∴，则， ，则， 则， ∵，即： ∴， 又∵， ∴，则， ∴． · 学霸必刷 1．（2023上·江西赣州·九年级统考阶段练习）已知，在中，，，点为边上一个动点，以为边作其右侧作等边．    （1）如图1，线段与线段之间的数量关系为__________； （2）如图2，过点作于点．求证：点是的中点； （3）若． ①如图3，当点是的中点时，过点作于点．求的长； ②当点从点运动到点，则点所经过的路径长__________（直接写出结果）．   2．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，分别以的两边、为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中，． （1）如图1，连接、．若，，求的长； （2）如图2，M为的中点，连接，过点M作，交的延长线于点N，连接，试猜想、、之间有何等量关系并证明你的结论． 3．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． （1）当秒时，求的面积； （2）若平分，求的值； （3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 4．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为秒. （1）求斜边上的高线长； （2）当在上时，的长为__________，的取值范围是__________.（用含的代数式表示）； 若点在的角平分线上，则的值为__________； （3）在整个运动过程中，当是等腰三角形时的值为__________. 5．（2023上·重庆南岸·八年级校考开学考试）如图，四边形中，，．    （1）把沿翻折得到，过点作，垂足为，求证：； （2）在（2）的条件下，连接，四边形的面积为45，，，求的长． 6．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长． 7．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在等腰中，，D为上一点，E为上一点，连接，，． （1）如图1，若，求证： （2）如图2，若，．求的长． （3）如图3，若，，点Q为外一点，且，求线段的长．   8．（2023下·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）定义：在，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题； （2）如图1，若等腰是“和谐勾股三角形”，其中，，求的度数； （3）如图2，在三角形中，，且． ①当时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由； ②请证明为“和谐勾股三角形” 9．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知中，． （1）如图1，若，则线段之间的数量关系为 ；    （2）若， ①如图2；线段满足怎样的数量关系？证明你的结论；    ②如图3，点在线段上，且，则 ．    10．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）在中，，E为平面内一点，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； （2）如图2，若点E在内部，，，求证：； （3）如图3，若点E在内部，连接，，，请直接写出的最小值． 11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）已知和都是等腰直角三角形，，，，连接、．    （1）如图1，若点、、在同一直线上，已知，，求线段的长度． （2）如图2，当时，过点作并交的延长线于点，与交于点，求证：． （3）如图3，已知若，直线与直线相交于点，过点作直线垂直于，点是直线上一点，直接写出的最小值． 12．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）如图，长方形纸片，，，点分别是边上的点，将沿着翻折得到．    （1）如图1，点落在边上，若，则______，______； （2）如图2，若，是边中点，连接，求的面积； （3）如图3，点是边上一动点，作，将沿着翻折得到，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．   13．（2023下·四川成都·八年级统考期末）在中，，点为直线BC上一动点，，．    （1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长； （2）如图2，延长至点使得，连接，求证：； （3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长． 14．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）在中，，，，为直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转60°得到，连接．        （1）______ （2）①如图1，当点与点重合时，______． ②如图2，当点在线段上时，若，求的长度． （3）若，直接写出的长度．   15．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考阶段练习）在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点．    （1）如图1，当点在点的右侧时， ①求证：；（提示：作垂直直线交于点．） ②试判定线段之间有何数量关系？写出你的结论，并证明； （2）若，，直接写出线段的长．   16．（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）如图，中，，，．点是射线上的动点，连接．与关于成轴对称，连接． （1）当时，求线段的长； （2）点从点开始在射线上以每秒1个单位的速度运动，当是以为直角边的直角三角形时，求的值． 17．（2024上·四川成都·八年级统考期末）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． （1）如图1，求证：； （2）当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． 18．（2023上·陕西·八年级陕西师大附中校考阶段练习）在中，是边上的高，，，，点M在上，且，动点P从点A出发向B运动，速度为每秒1个单位长度．连接，作点A关于直线的对称点，设点P的运动时间为t秒（）．    （1）连接，当时，求的面积． （2）当点在内部（不包括边缘）时，直接写出t的取值范围：______________ （3）若动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，当时，求t的值． 19．（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接． （1）如图1，若，．求的长度． （2）如图2，若，求证：． （3）如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值． 20．（2024上·重庆大渡口·八年级统考期末）在中，，以为斜边作，，再将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，点． （1）如图1，在右侧，，，求的面积； （2）如图2，在右侧，点是的中点，求证：； （3）如图3，在左侧，的延长线过的中点，当点在的中垂线上时，交于点，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 利用勾股定理解三角形 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、勾股定理 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=． · 典例分析 【典例1】如图，在中，，于点D，，分别交、于E、F．    （1）如图1，，，求的长度； （2）如图2，取中点G，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作于点N，并延长交延长线于点M，请直接写出的值． 【思路点拨】 （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论； （2）连接，由题意可知是的垂直平分线，可知，，可得，由勾股定理可得，结合，可得，由是的中点，可知，可得是的垂直平分线，易知，得，则，由，，可知，继而可得，利用即可证明，即可证得结论； （3）过点作于，过点作于，连接，连接，利用等腰三角形的性质可得，易知，，由，得，结合（2）中结论，可设，由勾股定理可得，，，，，由可得，进而求得，的长即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：连接，    ∵，， ∴，则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ， 中，， ∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）过点作于，过点作于，连接，连接，    ∵，， ∴，， ∴， ∵，，则， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，，， 则， 设，则， ∴，则， ，则， 则， ∵，即： ∴， 又∵， ∴，则， ∴． · 学霸必刷 1．（2023上·江西赣州·九年级统考阶段练习）已知，在中，，，点为边上一个动点，以为边作其右侧作等边．    （1）如图1，线段与线段之间的数量关系为__________； （2）如图2，过点作于点．求证：点是的中点； （3）若． ①如图3，当点是的中点时，过点作于点．求的长； ②当点从点运动到点，则点所经过的路径长__________（直接写出结果）．  【思路点拨】 （1）由，即可求解； （2）证，即可证明； （3）①作， ，， ，证， 进而可求；②为E所经过的路径，当D在B点时，点E恰落在的中点F处，当D在C点时，，进而可求． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴． 故答案为：． （2）∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3）作， ∵，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，为E所经过的路径， 当D在B点时，点E恰落在的中点F处，当D在C点时，， ∴． 2．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，分别以的两边、为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中，． （1）如图1，连接、．若，，求的长； （2）如图2，M为的中点，连接，过点M作，交的延长线于点N，连接，试猜想、、之间有何等量关系并证明你的结论．  【思路点拨】 （1）先根据证明≌，可得，再说明是直角三角形，然后根据勾股定理求出，进而求出答案即可； （2）延长至K，使，连接，，设交于点O，与的交点为J．先根据“”证明≌，可得，，进而判定，可说明，再根据勾股定理得，然后根据垂直平分线的性质得，即可得出答案． 【解题过程】 （1）∵等腰直角和等腰直角， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴≌， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，延长至K，使，连接，，设交于点O，与的交点为J． ∵≌， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴≌， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴． 3．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． （1）当秒时，求的面积； （2）若平分，求的值； （3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？  【思路点拨】 （）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 4．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为秒. （1）求斜边上的高线长； （2）当在上时，的长为__________，的取值范围是__________.（用含的代数式表示）； 若点在的角平分线上，则的值为__________； （3）在整个运动过程中，当是等腰三角形时的值为__________.  【思路点拨】 （）过点作于点，利用面积法求解； （）根据点的运动路径及速度可解；过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可； （）分和两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可； 本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【解题过程】 （1）在中，，，， ∴， 如图所示，过点作于点， ，即， ∴斜边上的高线长为； （2）∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，； 点在的角平分线上时，过点作于，如图所示， ∵平分，，， ∴. 又∵， ∴， ∴，则，由（）知， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴点在的角平分线上时， 故答案为：； （3）是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况： 当时，如图所示， 则， ∴； 当时，过点作于点，如图所示， 由（）知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 是以为底的等腰三角形时，的值为， 综上，是等腰三角形时的值为或或． 5．（2023上·重庆南岸·八年级校考开学考试）如图，四边形中，，．    （1）把沿翻折得到，过点作，垂足为，求证：； （2）在（2）的条件下，连接，四边形的面积为45，，，求的长．  【思路点拨】 （1）作于，由等腰三角形的性质可得，，由折叠的性质可得：，，，证明得到，即可得出结论； （2）作于，于，延长交于，则，，求出的面积为20，求出，由勾股定理可得，证明得到，求出的面积为15，得到的面积，求出，即可得出答案． 【解题过程】 （1）证明：如图，作于，   ， 则， ，， ， ，， ，，， 由折叠的性质可得：，，， 设，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：如图，作于，于，延长交于，   ， 由折叠的性质可得：，， ，， ， 是等腰直角三角形，， 的面积， 四边形的面积为45， 的面积， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积， 的面积， ， ， ． 6．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长．  【思路点拨】 （1）根据题意可证得，据此即可解答； （2）连接，可证得，据此即可证得，，，根据勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可证得，根据勾股定理即可证得结论； （3）过点O作于点E，利用勾股定理可求得，根据面积公式可求得，再分两种情况，分别计算即可求得． 【解题过程】 （1）解：与相等； 理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ； （2）解：结论：    理由如下： 如图：连接， ， ， 即 在和中 ， ，， ，，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图：过点O作于点E， ，， ， ， ， 如图：当点F在的延长线上时， ，， ， ， ； 如图：当点F在线段上时， ，， ， ， ， ， ， 解得， ， 综上，的长为或． 7．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在等腰中，，D为上一点，E为上一点，连接，，． （1）如图1，若，求证： （2）如图2，若，．求的长． （3）如图3，若，，点Q为外一点，且，求线段的长．  【思路点拨】 （1）作，交的延长线于，证明，得到，即可得证； （2）在上取点，使，作于，同（1）法可得，，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）以为边作等腰三角形，使，，连接， 证明，得到，过点作于点，勾股定理 求出的长，即可得解． 【解题过程】 （1）证明：作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）在上取点，使，作于， 则， 同（1）法可得，， ∴， 设， ∵， ∴， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得：（负值舍去）， ∴； （3）解：以为边作等腰三角形，使，，连接， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， ∵， ∴ ∵ ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 8．（2023下·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）定义：在，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题； （2）如图1，若等腰是“和谐勾股三角形”，其中，，求的度数； （3）如图2，在三角形中，，且． ①当时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由； ②请证明为“和谐勾股三角形”  【思路点拨】 （1）先假设是和谐勾股三角形，得出，再由勾股定理得，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形； （2）由“和谐勾股三角形”定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论； ②先求出，，，，，在与利用勾股定理分别求，建立方程即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：如图1，假设是和谐勾股三角形， ∴， 在中，，根据勾股定理， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形， 即原命题是假命题， 故答案为：假； （2）∵， ∴，， ∵是和谐勾股三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， （3）①在中，，， ∴， 根据三角形的内角和定理得，， ∵把这个三角形分成两个等腰三角形， 当射线经过点C， （Ⅰ）当时， ∵， ∴， ∴， ， ∴不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅱ）当时， ∴， ∴，， ∴不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅲ）当时， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 即：分割线和顶角标注如图2所示， 当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立； 当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立； ②如图3，在边上取点D，连接，使， 作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴为“和谐勾股三角形”． 9．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知中，． （1）如图1，若，则线段之间的数量关系为 ；    （2）若， ①如图2；线段满足怎样的数量关系？证明你的结论；    ②如图3，点在线段上，且，则 ．     【思路点拨】 （1）结论：．如图1中，将绕点顺时针旋转得到，连接．首先证明是等边三角形，再证明是直角三角形即可解决问题； （2）①结论：．如图2中，作交的延长线于，连接．由，推出，推出，推出，由，，即可证明；②如图3中，在图2的基础上将绕点顺时针旋转得到．则，，可得，设．，由，推出，，在中，根据，列出方程即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：结论：． 理由如下： 将绕点顺时针旋转得到，连接，如图1所示：    ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为； （2）解：①结论：． 理由如下： 作交的延长线于，连接，如图2所示：      ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②在图2的基础上将绕点顺时针旋转得到，如图3所示：    则，， ， 设，则， ， ，， 在中，由勾股定理知，则，解得， 故答案为． 10．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）在中，，E为平面内一点，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； （2）如图2，若点E在内部，，，求证：； （3）如图3，若点E在内部，连接，，，请直接写出的最小值．  【思路点拨】 （1）过点A作于F，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得，则可得，再设，则，在中由勾股定理建立方程即可求解；　 （2）过C作交的延长线于点G，在上取，连接；首先可证明，其次再证明，则得，从而由勾股定理即可证明结论成立； （3）过点B作，且，作，连接；分别取的中点D、F，连接，过A作交延长线于点P，连接；证明，则，由中点及中位线定理知，，，在中，由勾股定理得；则，则当点A、E、F、D四点共线时，的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：如图，过点A作于F， 则， ∴， ∴ 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 设，则， ∴； 在中，， 即， 解得：； （2）解：如图，过C作交的延长线于点G，在上取，连接； ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴； （3）解：如图，过点B作，且；作，连接；分别取的中点D、F，连接；过A作交延长线于点P，连接； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵的中点分别为D、F， ∴，，， 在中，由勾股定理得； ∴， ∴当点A、E、F、D四点共线时，取得最小值，且最小值为的长； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）已知和都是等腰直角三角形，，，，连接、．    （1）如图1，若点、、在同一直线上，已知，，求线段的长度． （2）如图2，当时，过点作并交的延长线于点，与交于点，求证：． （3）如图3，已知若，直线与直线相交于点，过点作直线垂直于，点是直线上一点，直接写出的最小值．  【思路点拨】 （1）如图1中，设与交于点，证明，推出，推出，可得结论； （2）连接，过点作于点，过点作与，则，依次证明，再求出，，，即可得出结论； （3）如图3，作点关于的对称点，连接，，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，．求出的最小值，可得结论． 【解题过程】 （1）解：如图1中，设与交于点    ∵和都是等腰直角三角形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）证明：如图，连接，过点作于点，过点作与，则，    ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∵,， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，，， ∴． （3）解：如图3，作点关于的对称点，连接，，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，．    ∵ ∴ ∴ ∵，，关于对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（）得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的最小值为 ∵，关于对称 ∴ ∴ ∴的最小值为． 12．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）如图，长方形纸片，，，点分别是边上的点，将沿着翻折得到．    （1）如图1，点落在边上，若，则______，______； （2）如图2，若，是边中点，连接，求的面积； （3）如图3，点是边上一动点，作，将沿着翻折得到，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．  【思路点拨】 （1）根据题意，折叠的性质可得，根据在中，，，设，则由等面积法列式求解，可得答案； （2）延长交于，设，，则，由勾股定理可得，结合面积法可得，可得，可得，由可得三角形面积，结合，从而可得答案； （3）分两种情况讨论：由是以为腰的等腰三角形，当′时，过作于，证明，可得，易得；当时，同理，设，可得，利用勾股定理可得，从而可得答案． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是长方形，， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，如下图，连接，    则由等面积法可得， 即， 解得， ∴． 故答案为：，； （2）∵四边形是长方形，，是边中点， ∴，， ∵沿着翻折得到， ∴， ∴， 如图2，延长交于，设，，    ∴， ∴由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得，经检验符合题意； ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴； （3）∵是以为腰的等腰三角形， 当时，如图3，过作于， ∴，    由折叠可得，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 当时，同理， 设，， ∴， ∴由勾股定理可得， 解得，即． 综上所述，或． 13．（2023下·四川成都·八年级统考期末）在中，，点为直线BC上一动点，，．    （1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长； （2）如图2，延长至点使得，连接，求证：； （3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．  【思路点拨】 （1）由同角的余角相等可得，由可证明，得到，由结合勾股定理得到，计算即可得到答案； （2）延长至，使，连接，由证明，得到，由证明，得到，从而得证； （3）取的中点，连接并延长交于，令与相交于点，由可证明，得到，由，可得，，点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，作交的延长线于，作交于，由含有角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，，由等面积法可得，从而得到， ，由对称的性质可得，，，当时，最小，在中，由含有角的直角三角形的性质、勾股定理以及等面积法可求得的长，从而得到答案． 【解题过程】 （1）解： 为中点，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接，令、交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时， 作交的延长线于， ， ，，， ，， ， 作交于， ， ， ， ，， ， ， 点关于直线的对称点， ，，， 当时，最小， ， ， ， ， ， ． 14．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）在中，，，，为直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转60°得到，连接．        （1）______ （2）①如图1，当点与点重合时，______． ②如图2，当点在线段上时，若，求的长度． （3）若，直接写出的长度．  【思路点拨】 （1）在中，由所对的直角边是斜边的一半，再由勾股定理得到，即可得到答案； （2）①利用旋转性质，证得，由全等性质即可得到；②在上截取，如图所示，由“手拉手模型”证得，则，根据（1）中，结合已知条件即可得到答案； （3）由于为直线上一动点，当，分两种情况：①在直线上方；②在直线下方；作图分析求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：在中，，则， ，则， ， 故答案为：； （2）解：①由（1）知， 将绕点顺时针旋转60°得到， 当点与点重合时，，， 在和， ， ， ， 故答案为：； ②在上截取，如图所示：    ， 是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转60°得到， 是等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 由（1）知， ，则； （3）解：由题意可知，分两种情况讨论：①在直线上方；②在直线下方； 由（1）知在中，， 当时，，即是的角平分线， 过作于，如图所示：      ， 在中，，则， 设，则，由勾股定理可得， ， ，即，解得，则， 当在直线上方，在上截取，如图所示：    由（2）②的求解过程可知，， 当时，， ； 当在直线下方，过作于，如图所示：    ， 由（1）知在中，，， 将绕点顺时针旋转60°得到，， ，， 在和中， ， ， ， 作点关于直线的对称点，如图所示：    则， 由（3）可知，，则， ， 在中，，，，则， 综上所述，若， 的长度为或． 15．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考阶段练习）在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点．    （1）如图1，当点在点的右侧时， ①求证：；（提示：作垂直直线交于点．） ②试判定线段之间有何数量关系？写出你的结论，并证明； （2）若，，直接写出线段的长．  【思路点拨】 （1）①过作，交于，由，，可得，是等腰直角三角形，所以，即可证明，得； ②由①知，是等腰直角三角形，故，即得； （2）分两种情况：当在右侧时，过作于；当在左侧时，过作交的延长线于，分别求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）①证明：过作，交于，如图所示，   ， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； ②解：， 由①可知：，是等腰直角三角形， ， ， ； （2）解：当在右侧时，过作于，如图所示，   ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， 由②可知，， ， ； 当在左侧时，过作交的延长线于，如图所示，   ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 综上所述，线段的长为：或． 16．（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）如图，中，，，．点是射线上的动点，连接．与关于成轴对称，连接． （1）当时，求线段的长； （2）点从点开始在射线上以每秒1个单位的速度运动，当是以为直角边的直角三角形时，求的值．  【思路点拨】 本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的应用属于综合题，读懂并理解题意针对不同的情况画图相应的图形，丰富了学生的空间想象能力． （1）中，，由勾股定理可得，当时，在上，利用面积法可求得，在中根据勾股定理可得，进而得，根据对称可得，结论即可求出； （2）总共分四种情况：当在线段上时，此时含两种情况：①，②当；当在延长线上时，分两种情况：③，④当，画出相应的图形，利用勾股定理即可解决． 【解题过程】 （1），，，    ， 当时，如图所示：， 与关于轴对称， ， ； （2）当在线段上时， 分两种情况： ①， 与关于成轴对称， 则， 过作， 由（1）知，， ， 则， ； ②当，如图所示：    与关于成轴对称， ，， 作于，于 ， ， ， ， 又，， ， ，， 在中，， ， ，， ， ， 在中，，即， 解得：； 当在延长线上时，分两种情况： ③，如图所示：    此时， 与关于成轴对称， ， 作于， ， ． ； ④当，如图所示：    ， 作于，于， 同理可得， 则，， 在中，， ， ， ， ，即， 解得：， 综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，或28或或． 17．（2024上·四川成都·八年级统考期末）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． （1）如图1，求证：； （2）当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长．  【思路点拨】 （1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出； （2）（i）根据四边形的面积为24得出，求出，设，则，，根据勾股定理得出，即，求出即可得出答案． （ⅱ）证明，得出，根据的面积是的面积的2倍，，，得出，设，则，分两种情况：当点H在点E的左侧时，当点H在点E的右侧时，画出图形，求出结果即可． 【解题过程】 （1）证明：根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（i）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 设，则， ∴， 根据折叠可知，，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． （ⅱ）根据题意得：，，， 由（1）得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍，，， ∴， 设，则， 当点H在点E的左侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 当点H在点E的右侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 综上分析可知，当的面积是的面积的2倍时，或． 18．（2023上·陕西·八年级陕西师大附中校考阶段练习）在中，是边上的高，，，，点M在上，且，动点P从点A出发向B运动，速度为每秒1个单位长度．连接，作点A关于直线的对称点，设点P的运动时间为t秒（）．    （1）连接，当时，求的面积． （2）当点在内部（不包括边缘）时，直接写出t的取值范围：______________ （3）若动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，当时，求t的值．  【思路点拨】 （1）根据等边对等角可求得，根据三角形内角和定理可求得，求得，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得和的值，即可求得，根据三角形的面积公式即可求解； （2）分别求出当点落在上和当点落在上的t值，结合图形即可得出答案； （3）分点在内和点在外两种情况讨论，当点在内时，根据平行线的性质可得，结合轴对称的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等腰三角形的判定和性质可得；当点在外时，延长与交于点，过点作交于点，根据平行线的性质可得，，根据三角形的内角和定理推得，根据等腰三角形的判定和性质可得，根据勾股定理求得，结合轴对称的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质可得，即可求得的值，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：当点落在上，如图：    ∵点A与点关于直线对称， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴； 当点落在上，如图：    ∵点A与点关于直线对称， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴； 在中，， ∴的取值范围为：． 故答案为：． （3）解：当点在内时，如图：    ∵， ∴， ∵点A与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 当点在外时，延长与交于点，过点作交于点，如图：    ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， 在中，， ∵点A与点关于直线对称， 即平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故点P的运动距离为， 即； 综上所述，满足条件的的值为或． 19．（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接． （1）如图1，若，．求的长度． （2）如图2，若，求证：． （3）如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值．  【思路点拨】 （1）取，连接,过点D作于M，证明可得，，继而得到，是含的直角三角形，从而求出，，再得到是等腰直角三角形，从而得解； （2）由得到，过点A作交于N，则是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，从而得到，即得证； （3）先求出，可知旋转的角度是，在的下方，作过点P作于Q，可得，继而得到当A、P、Q共线，且即为点A到的垂线段时取得最小值．作，于Q，交于P，则，将绕点B逆时针旋转度得到，此时点恰好在线段上，连接，过点作于H，过点作于R，连接，证明，，可得，从而得出，再用勾股定理求得， 再利用求得，利用，，，求得，最后用面积公式求解即可． 【解题过程】 （1）解：绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， 取，连接,过点D作于M， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴ ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解： ∵，，即， ∴， 过点A作交于N，则是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， 在的下方，作，过点P作于Q， 则，，， ∴， 由垂线段最短可知，当A、P、Q共线，且为点A到的垂线段时取得最小值． 如下图，作，于Q，交于P，则， 将绕点B逆时针旋转度得到，此时点恰好在线段上，连接，过点作于H，过点作于R，连接， ∵，，于Q ∴，， ∴，，， 又∵， ∴，，， ∴， 由旋转的知识可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的面积为：． 20．（2024上·重庆大渡口·八年级统考期末）在中，，以为斜边作，，再将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，点． （1）如图1，在右侧，，，求的面积； （2）如图2，在右侧，点是的中点，求证：； （3）如图3，在左侧，的延长线过的中点，当点在的中垂线上时，交于点，直接写出的值．  【思路点拨】 （1）本题过点作，由题知，为等腰直角三角形，得出，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，得出，利用勾股定理算出，由旋转的性质可知，为等腰直角三角形，得出，，为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可知，根据建立方程，求出，最后利用即可求解． （2）本题过点作交于点，连接，由题意得出为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，得到，由勾股定理推出，证明，推出，，证明，推出，再根据即可解题． （3）连接，作，，证明，为的角平分线，推出，设，利用等腰三角形直角三角形两腰相等和勾股定理表示出，，，，在利用，即可解题． 【解题过程】 （1）解：过点作，如图所示： ， 由题知，为等腰直角三角形，， ， 在中， ， ， 由旋转的性质可知，为等腰直角三角形， ，，， ，为等腰直角三角形， 设，则，由勾股定理可知， ， ，解得， ， ． （2）证明：过点作交于点，连接， 由旋转的性质可知，为等腰直角三角形， ， ， ，为等腰直角三角形， 由题知，为等腰直角三角形， ， ， ， 由勾股定理可知， 在与中， ， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ． （3）解：，理由如下： 连接，作，，如图所示： 由旋转的性质可知，为等腰直角三角形， ，，， ， ， 为等腰直角三角形， 点在的中垂线上， ， ， 由题知，为等腰直角三角形，又点是的中点， ，即，， 为等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ，， 为的角平分线， ， 设， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$