专题06 反比例函数常见几何模型归纳（七大模型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题06 反比例函数常见几何模型归纳（七大模型） 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【模型4：“喇叭三角形”】 【模型5：中点模型】 【模型6：比例模型】 【模型7：相等模型】 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【方法点拨】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式1-1】如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 【变式1-3】如图是反比例函数在第二象限内的图象，则图中矩形的面积为 ． 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【方法点拨】 【典例2】如图，是反比例函数和在轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，则的面积是（    ） A．7 B．14 C．18 D．28 【变式2-1】已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．    【变式2-2】如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是 ． 【变式2-3】如图，B、C两点分别在函数（）和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为 ． 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【方法点拨】 【典例3】如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且轴，点C．D在x轴上，若四边形为长方形，则它的面积为 ． 【变式3-1】如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【变式3-2】如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别相交于两点，分别连接，则的面积为 ． 【变式3-3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积是 ． 【模型4：“喇叭三角形”】 【方法点拨】 【典例4】如图，点A，B，在反比例函数的图象上，连接，，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为、；若，则 ． 【变式4-1】如图是一个反比例函数（x＞0）的图象，点A（2，4）在图象上，AC⊥x轴于C，当点A运动到图象上的点B（4，2）处，BD⊥x轴于D，△AOC与△BOD重叠部分的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式4-2】如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定 【变式4-3】如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【模型5：中点模型】 【方法点拨】 条件：A/B两点分别位上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点 结论： ①▲ACF~▲BDF，且相似比为。本质为BD十▲ACF中位线 ②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF ③ ④ 【典例5】如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为，D为OB的中点，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式5-1】如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 【模型6：比例模型】 【方法点拨】 条件：M是点反比例函数上一点，且满足，，AB与x轴交反比例与C点； 结论：作MH与X轴交于H，连接MC，OC，如上右图所示 ①， ②OMH~▲OAB，且相似比为 ③ 【典例6】如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（   ）    A．25 B．20 C．15 D． 【变式6-1】如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k值是（　　） A．3 B．2 C．4 D． 【变式6-2】如图，双曲线y＝与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝　　． 【变式6-3】如图，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D，S△BOD＝24，则k＝　　． 【模型7：相等模型】 【方法点拨] 条件：一函数与反比例函数交于点A和点B 结论：①AC=BD ② ③过点B作BE⊥x轴，作AF⊥y轴，则OE=FC 【典例7】如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 【变式7-1】如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是2和4，连接OA、OB，则△OAB的面积是 　　． 【变式7-2】如图，双曲线y＝经过点A（2，2）、B（4，m），则△AOB的面积为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数常见几何模型归纳（七大模型） 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【模型4：“喇叭三角形”】 【模型5：中点模型】 【模型6：比例模型】 【模型7：相等模型】 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【方法点拨】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，据此解答即可． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴， ∴矩形的面积． 故选：C． 【变式1-1】如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．作于H，根据平行四边形的性质得，则，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，所以有． 【详解】解：作于H，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数的图象上的一点， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-2】如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积的关系即，进行解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：6． 【变式1-3】如图是反比例函数在第二象限内的图象，则图中矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，再根据反比例函数的性质解答即可．本题考查了矩形的面积公式，反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数在图象上， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【方法点拨】 【典例2】如图，是反比例函数和在轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，则的面积是（    ） A．7 B．14 C．18 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可． 【详解】解：轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点．， 轴， 点、在反比例函数和的轴上方的图象上， ， 故选：A． 【变式2-1】已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，根据轴可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵轴 ∴ 故答案为：． 【变式2-2】如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：如图， ∵点A在函数的图象上， ∴， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式2-3】如图，B、C两点分别在函数（）和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】设，则，结合轴，得到，计算，根据平行线间的距离处处相等，得到的面积为计算即可． 本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】设，根据题意，得， ∵轴， ∴， ∴， 根据平行线间的距离处处相等，得到的面积为， 故答案为：3． 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【方法点拨】 【典例3】如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且轴，点C．D在x轴上，若四边形为长方形，则它的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先延长交y轴于点E，易得四边形与四边形是矩形，又由点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，即可得，继而求得答案． 【详解】解：延长交y轴于点E， ∵四边形为矩形，且轴，点C、D在x轴上， ∴轴， ∴四边形与四边形是矩形， ∵点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式3-1】如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别相交于两点，分别连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，设交轴于点，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解． 【详解】解：如图，设交轴于点， ，， 则， 故答案为：． 【变式3-3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于C，则轴，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，则． 【详解】解：如图所示，延长交轴于C， ∵轴， ∴轴， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴， ∴， 故答案为：． 【模型4：“喇叭三角形”】 【方法点拨】 【典例4】如图，点A，B，在反比例函数的图象上，连接，，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为、；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为是解答此题的关键．利用的几何意义求出、的面积，然后求出的面积，利用相似三角形的性质得到即可求解． 【详解】解：设交于点C， ∵分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【变式4-1】如图是一个反比例函数（x＞0）的图象，点A（2，4）在图象上，AC⊥x轴于C，当点A运动到图象上的点B（4，2）处，BD⊥x轴于D，△AOC与△BOD重叠部分的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∵点A（2，4），点B（4，2），AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， ∴点C的坐标为（2，0），点D的坐标为（4，0），AC∥BD， ∴△OCE∽△ODB， ∴， 即 解得CE＝1， ∴， 即△AOC与△BOD重叠部分的面积为1． 故选：A． 【变式4-2】如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定 【答案】B 【解答】解：由于A、B均在反比例函数y＝的图象上， 且AC⊥x轴，BD⊥x轴， 则S1＝； S2＝． 故S1＝S2． 故选：B． 【变式4-3】如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：把P（2，3），M（a，2）代入y＝得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3， 设直线OM的解析式为y＝mx， 把M（3，2）代入得3m＝2，解得m＝， 所以直线OM的解析式为y＝x，当x＝2时，y＝×2＝， 所以C点坐标为（2，）， 所以△OAC的面积＝×2×＝． 故选：B． 【模型5：中点模型】 【方法点拨】 条件：A/B两点分别位上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点 结论： ①▲ACF~▲BDF，且相似比为。本质为BD十▲ACF中位线 ②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF ③ ④ 【典例5】如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为，D为OB的中点，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E， ∵AC⊥x轴， ∴△OCD∽△OEB， ∴＝， 又∵D是OB的中点，△ODC的面积为， ∴S△OEB＝2＝|k|， ∴k＝4． 故选：A． 【变式5-1】如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E， ∵D为OB的中点，DC∥BE， ∴OC＝CE， ∴CD是△OBE的中位线，即CD＝BE． 设A（x，），则B（2x，），CD＝，AD＝﹣， ∵△ADO的面积为1， ∴AD•OC＝1，（﹣）•x＝1，解得k＝， 故选：B． 【模型6：比例模型】 【方法点拨】 条件：M是点反比例函数上一点，且满足，，AB与x轴交反比例与C点； 结论：作MH与X轴交于H，连接MC，OC，如上右图所示 ①， ②OMH~▲OAB，且相似比为 ③ 【典例6】如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（   ）    A．25 B．20 C．15 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再设点的坐标为，从而可得，然后利用矩形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ， 设点的坐标为，则， ， ∴， ∵点在反比例函数， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：A． 【变式6-1】如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k值是（　　） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】B 【解答】解：如图，过D点作DE⊥x轴，垂足为E． ∵Rt△OAB中，∠OAB＝90°， ∴DE∥AB， ∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D， ∴DE为Rt△OAB的中位线， ∵△OED∽△OAB， ∴＝． ∵双曲线的解析式是， ∴S△AOC＝S△DOE＝k， ∴S△AOB＝4S△DOE＝2k， 由S△AOB﹣S△AOC＝S△OBC＝3，得2k﹣k＝3， 解得k＝2． 故选：B． 【变式6-2】如图，双曲线y＝与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝　8　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵A，B，C三点横坐标的比为5：5：2， ∴设A、B的横坐标为5a，则C点的横坐标为2a， ∵S△OAB＝21， ∴， ∴AB＝， ∵双曲线y＝与△OAB交于点A，C， ∴CD＝，AE＝，OD＝2a，OE＝5a， ∴BE＝， ∵CD∥BE， ∴△OCD∽△OBE， ∴， 即， 解得，k＝8， 故答案为：8． 【变式6-3】如图，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D，S△BOD＝24，则k＝　16　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作AE⊥x轴， 则S△AOE＝S△DOC＝k， ∴S四边形BAEC＝S△BOD＝24， ∵AE⊥x轴，∠OCB＝90°， ∴△AOE∽△BOC， ∴＝（）2＝， ∴S△AOE＝8， ∴k＝16． 故答案为：16． 【模型7：相等模型】 【方法点拨] 条件：一函数与反比例函数交于点A和点B 结论：①AC=BD ② ③过点B作BE⊥x轴，作AF⊥y轴，则OE=FC 【典例7】如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ； 故选：C． 【变式7-1】如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是2和4，连接OA、OB，则△OAB的面积是 　6　． 【答案】6． 【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，设AD⊥x轴于点D，如图所示： ∵点A、B在反比例函数y＝的图象上， ∴△BOC的面积＝△AOD的面积＝＝4， ∴△OAB的面积＝四边形BCDA的面积， 将A、B的纵坐标2和4，分别代入反比例函数解析式， 得A、B的横坐标分别是4和2， ∴BC＝4，AD＝2，CD＝4﹣2＝2， ∴四边形BCDA的面积＝（4+2）×2÷2＝6， ∴△OAB的面积＝6， 故答案为：6． 【变式7-2】如图，双曲线y＝经过点A（2，2）、B（4，m），则△AOB的面积为　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， ∵双曲线y＝经过点A（2，2）， ∴k＝2×2＝4， 而点B（4，m）在y＝上， ∴4•m＝4，解得m＝1， 即B点坐标为（4，1）， ∴S△AOB＝S△AOC+S梯形ABDC﹣S△BOD ＝OC•AC+×（AC+BD）×CD﹣×OD×BD ＝×2×2+×（2+1）×（4﹣2）﹣×4×1 ＝3． 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$