专题05 相似三角形重难点模型（五大模型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题05 相似三角形重难点模型（五大模型） 【题型01：(双)A字型相似】 【题型02：(双)8型相似】 【题型03：母子型相似】 【题型04：旋转相似】 【题型05：K字型相似】 【题型01：(双)A字型相似】 【典例1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【变式1-1】如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于 ． 【变式1-2】图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【变式1-3】一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【变式1-4】如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为，求AP的长． 【题型02：(双)8型相似】 【典例2】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【变式2-1】如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，等腰△CDE，CD＝DE，∠BAC＝∠EDC，DE交BC于点M，连接BE． （1）如图1，若∠BAC＝30°，AC＝3，AD，求DE的长度； （2）如图2．若DM⊥BC求证：2MB+EB＝BC． （3）如图3，∠A＝30°，AC∥DE，CN⊥AB，EF⊥CE，延长DB至点H，使得DH＝DE，试判断FM与FN的数量关系，并写出证明过程． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【变式2-3】如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【题型03：母子型相似】 【典例3】如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形． 【变式3-1】如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【变式3-3】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【题型04：旋转相似】 【典例4】某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【变式4-1】如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M． (1)判断△APF的形状，并说明理由； (2)连接EF，求EF:PM的值． 【变式4-2】如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【题型05：K字型相似】 【典例5】综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段、之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【变式5-2】（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【变式5-3】如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【变式5-4】如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形重难点模型（五大模型） 【题型01：(双)A字型相似】 【题型02：(双)8型相似】 【题型03：母子型相似】 【题型04：旋转相似】 【题型05：K字型相似】 【题型01：(双)A字型相似】 【典例1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式1-1】如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于 ． 【答案】4.5 【分析】设之间的距离为x米，根据题意可得，，即，，代入数值解得x=2，进而求得AB，即可求得路灯的高度． 【详解】如图，设之间的距离为x米， 根据题意可得，， ∴ ∴，， ∴，， 即，， ∴， 解得，经检验是所列方程的解， ∴，解得， 经检验是所列方程的解， 故路灯的高为4.5米． 故答案为：4.5． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键． 【变式1-2】图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】解：∵， ∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC， ∴△CGH∽△CAB， ∴， ∵， ∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB， △BGH∽△BDC， ∴， ∴， ∵AB=2，CD=3， ∴， 解得：GH=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1-3】一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析． 【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求． 【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵DE∥AC ∴ ∴，解得 设正方形的边长为x米，如图乙 ∵DE∥AB ∴ ∴，解得 ∵ ∴乙木匠的加工方法符合要求． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 【变式1-4】如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为，求AP的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论； （2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC，PB，求得AP 【详解】解：（1）连接OC， ∵AC平分∠EAP， ∴∠DAC＝∠OAC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AE∥OC， ∴∠E＝∠OCP＝90°， ∵OC是圆O的半径 ∴PE是⊙O的切线； （2）∵PB：PC＝1：2， ∴设PB＝x，PC＝2x， ∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（x）2， ∴x， ∴PC，PB， ∴AP， 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，熟记切线的判定是解题的关键． 【题型02：(双)8型相似】 【典例2】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 【变式2-1】如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，等腰△CDE，CD＝DE，∠BAC＝∠EDC，DE交BC于点M，连接BE． （1）如图1，若∠BAC＝30°，AC＝3，AD，求DE的长度； （2）如图2．若DM⊥BC求证：2MB+EB＝BC． （3）如图3，∠A＝30°，AC∥DE，CN⊥AB，EF⊥CE，延长DB至点H，使得DH＝DE，试判断FM与FN的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）如图1中，过点D作DH⊥AC于H．解直角三角形求出AH，DH，CH，利用勾股定理求出CD即可． （2）如图2中，在MC上截取MT，使得MT=BM，连接DT．想办法证明△DCT≌△DEB，推出CT=BE，可得结论． （3）如图3中，结论：FM=2FN．证明△FEH是等边三角形，FM=FB，∠FBN=30°，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AC于H． 在Rt△ADH中，∠BAC＝30°，AC＝3，AD， ∴DH=AD=， AH=， ∵AC=3， ∴CH=AC-AH=， ∴CD= ， ∵DE=CD， ∴DE=． （2）证明：如图2中，在MC上截取MT，使得MT=BM，连接DT． ∵∠A=∠CDE，AC=AB，DC=DE， ∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD=∠BCE， ∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=∠A+∠ACD， ∴∠ACD=∠BDE， ∴∠BDE=∠BCE， ∵∠BMD=∠EMC， ∴△BMD∽△EMC， ， ∵∠CMD=∠BME， ∴△BME∽△DMC， ∴∠BEM=∠DCM，∠EBM=∠CDM， ∵∠DCE+∠CDE+∠CED=180°，∠CDE=∠EBM，∠CED=∠CBD， ∴∠DCE+∠EBM+∠CBD=180°， ∴∠DCE+∠DBE=∠DBC+∠DBE=180°， ∵DE⊥BT，MT=MB， ∴DT=DB， ∴∠DTB=∠DBC， ∵∠DTB+∠DTC=180°， ∴∠DTC=∠DBE， ∵DC=DE， ∴△DCT≌△DEB（AAS）， ∴CT=BE， ∴BC=BT+CT=2BM+BE． （3）解：如图3中，结论：FM=2FN．理由如下： 连接DF，BF，FH． ∵AC=AB，DC=DE，∠A=∠CDE=30°， ∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=75°， ∵DE∥AC， ∴∠DMB=∠ACB=∠CME=∠ABC=75°，∠EDB=∠A=30°，∠ACD=∠CDE=30°， ∴∠CDE=∠HDE=30°， ∵DC=DE=DH， ∴△DEC≌△DEH（SAS）， ∴EC=EH， ∵CN⊥AH， ∴∠ACN=60°， ∴∠ACD=∠DCN=30°， ∵∠DCE=75°， ∴∠ECF=45°， ∵EC⊥EF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EC=EF=EH， ∵∠FEH=75°+75°-90°=60°， ∴△EFH是等边三角形， ∴FE=FH， ∵DE=DH，DF=DF， ∴△DFE≌△DFH（SSS）， ∴∠EDF=∠HDF=15°， ∴∠MDF=∠MCF=15°， 同理可得∠DCM+∠DFM=180°， ∵∠DCM=45°， ∴∠DFM=∠DFB=135°， ∴∠BFM=90°， ∵DF=DF，∠FDM=∠FDB，DM=DB， ∴△DFM≌△DFB（SAS）， ∴FM=FB， ∴∠FBM=45°， ∵∠CBN=90°-15°=75°， ∴∠FBN=30°， ∴BF=2FN， ∴FM=2FN． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，含30度角的直角三角形的性质，添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）24． 【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证； （2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为DC的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2-3】如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解； （2）根据题意分别证明，问题可证． 【详解】解：（1）是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）当，时， 由（1）可得 ，，， ， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似． 【题型03：母子型相似】 【典例3】如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似 (3)或或时，为等腰三角形 【分析】(1)根据三角函数解得即可； (2)分①当时和②当时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可； (3)分①当时，②当时，③当时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可． 【详解】（1）解： （2）解：解：①当时， ， 即， 解得：， ②当时， ， 即， 解得：， 综上所述，或时，以点、、为顶点的三角形与相似， （3）解：①如图3，当时，， 解得：， ②如图4，当时，过点作于， 则∠，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ③如图，当时，过点作于， 则， ， ， ， ， 即， 解得：， 综上所述，或或时，为等腰三角形 【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用． 【变式3-1】如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 【答案】(1)AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） (2)或 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）分两种情况：当时，当6≤t≤16时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） （2）解：当时 ①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵， ， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 【变式3-3】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 【题型04：旋转相似】 【典例4】某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 【变式4-1】如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M． (1)判断△APF的形状，并说明理由； (2)连接EF，求EF:PM的值． 【答案】(1)△APF是等腰直角三角形，理由见解析 (2)EF：PM=2：． 【分析】（1）过点P作PG⊥BC于点G，交AD于点H，根据正方形的性质证明△APH≌△PFG，即可得结论； （2）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，利用全等三角形的性质证明∠AFN=∠AFE，然后证明△APM∽△AFE，可得EF：PM=AP：AF，根据△APF是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：△APF是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点P作PG⊥BC于点G，交AD于点H， ∴GH=CD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB=45°，AD=CD， ∵∠PHD=90°， ∴∠HPD=45°， ∴HD=HP， ∴AH=GP， ∵PF⊥AE， ∴∠APF=90°， ∴∠APH+∠FPG=90°， ∵∠PAH+∠APH=90°， ∴∠PAH=∠FPG， 在△APH和△PFG中， ， ∴△APH≌△PFG（ASA）， ∴AP=FP， ∴△APF是等腰直角三角形； （2）解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABN， ∵∠ADE=∠ABN=90°，∠ABC=90°， ∴∠ABC+∠ABN=180°， ∴C，B，N共线， ∵∠EAF=45°， ∴∠NAF=∠FAB+∠BAN=∠FAB+∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠FAN， 在△FAN和△FAE中， ， ∴△FAN≌△FAE（SAS）， ∴∠AFN=∠AFE， ∵∠FMB=∠AMP，∠MBF=∠PAM=45°， ∴∠BFM=∠APM， ∴∠APM=∠AFE， ∴△APM∽△AFE， ∴EF：PM=AP：AF， 由（1）知：△APF是等腰直角三角形， ∴AF：AP=2：， ∴EF：PM=2：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考题的压轴题． 【变式4-2】如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 【题型05：K字型相似】 【典例5】综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段、之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)时，；时，；时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出即可，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，，， 则， 则点、的坐标分别为：、， 当时，，则， 即点， ∴； （2）解：，理由： 设直线的表达式为：，将、代入得： ，解得：． ∴直线的表达式为：， 联立上式和得 ，解得， 即点， 同理（1）可得，点， ∴ ∵， ∴； （3）分别过点、作轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则，，，当时， ∴， ∴． ∴，， 联立方程组： ，解得： ∴时，， ②若，，，，如图3，当时， ∴ ∴ ∴，， 联立方程组： ，解得． ∴时， ③若，当时，如图4，，，， ∴， ∴， ∴ ∴，， 联立方程组： ，解得： ∴， ④，的情况不存在， 综上，时，；时，；时， 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键． 【变式5-1】如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，    ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 【变式5-2】（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 【变式5-3】如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【变式5-4】如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； 如图2，延长交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），，理由如下： 如图3，延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图4，设与的交点为， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上，如图5， ， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）知，， ， 即， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$