专题07 反比例函数图像性质及综合应用（六大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题07反比例函数图像性质及综合应用（六大题型） 【题型1：反比例函数性质】 【题型2：反比例函数性质图像】 【题型3：反比例函数大小比较】 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 【题型6：反比例函数应用】 【题型1：反比例函数性质】 1．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限 2．反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象不是轴对称图形 D．y随x的增大而增大 3．已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象关于对称 D．点在该反比例函数图象上 4．已知反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．点在函数图象上 B．随的增大而减小 C．该函数的图象分布在第一、三象限 D．若点和在该函数图象上，则 【题型2：反比例函数性质图像】 5．在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（    ） A．B． C． D． 7．已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 9．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（  ） A． B． C． D． 【题型3：反比例函数大小比较】 10．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．已知，，是反比例函数的图象上的三点，且则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．已知点三点都在函数的图象上，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 13．已知点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．已知为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．已知点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 18．如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．无解 19．反比例函数y1=和正比例函数y2=mx的图象如图，根据图象可以得到满足y1＜y2的x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．－＜x＜1或x＜－1 C．－1＜x＜0或x＞1 D．x＞2或x＜1 20．反比例函数的图像与一次函数的图像交与点与两点，则不等式的解集是（    ） A． B．C． D． 21．如图，一次函数与反比例函数相交于点和点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 22．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 24．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 25．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， (1)求反比例函数和一次函数的关系式． (2)根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； (3)若动点P在x轴上，求的最小值． 26．已知，一次函数与反比例函数图象交于、两点，且的横坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出满足的取值范围； (3)求的面积． 27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，求x的取值范围； (3)若点是轴上的点，的面积是4，求点的坐标． 28．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与轴交于点，与轴交于点 ． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标． 29．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)连接，，求的面积； 【题型6：反比例函数应用】 31．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 32．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)求出y与x之间的函数关系； (2)开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 33．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 34．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 35．2023年11月份，由于病毒性流传性疾病比较严重，桥区某中学“红马甲”爱心互助队对“星光养老院”进行药物消毒，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）之间成一次函数关系；燃烧完后y（mg）与时间x（min）之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题： (1)求药物燃烧完后y（mg）与时间x（min）的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于3mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在室内？ 36．研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 37．为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． (1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． (2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 38．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作AC⊥x轴，垂足为C． (1)求出一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P是一次函数图象上的动点，若把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07反比例函数图像性质及综合应用（六大题型） 【题型1：反比例函数性质】 【题型2：反比例函数性质图像】 【题型3：反比例函数大小比较】 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 【题型6：反比例函数应用】 【题型1：反比例函数性质】 1．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质：（）反比例函数的图象是双曲线；（）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．本题根据反比例函数的性质即可直接作出判断． 【详解】解：A.、把代入得，，则不在图象上，故A错误； B、∵，∴图象位于第一、三象限，故B错误； C、∵，∴当时，随的增大而减小，故C正确； D、∵，当时，图象在第一象限，故D错误． 故选：C． 2．反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象不是轴对称图形 D．y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】此题考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键． 通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由点的坐标满足反比例函数，故A错误； 由，双曲线位于二、四象限，故B正确； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于直线和对称，故C错误； 由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D错误． 故选：B． 3．已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象关于对称 D．点在该反比例函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、由，则图象位于第一、三象限，故不符合题意； 、由，则图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，即当时，随的增大而减小，故不符合题意; 、此函数图象关于对称，故不符合题意； 、当时，，则点不在该反比例函数图象上，故符合题意； 故选：. 4．已知反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．点在函数图象上 B．随的增大而减小 C．该函数的图象分布在第一、三象限 D．若点和在该函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得． 【详解】A、当时，，∴点不在函数图象上，故该选项不正确； B、∵，在每个象限内，随的增大而减小，故该选项不正确； C、∵，∴该函数的图象分布在第一、三象限，故该选项正确； D、∵，∴随的增大而减小，∵，∴，故该选项不正确； 故选：C． 【题型2：反比例函数性质图像】 5．在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，分别令和，分别找出函数图象所经过的象限，相同的即为本题的答案，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：可化为， 当时，经过第一、二、四象限，经过第一、三象限； 当时，经过第一、三、四象限，经过第二、四象限； 故选：A． 6．函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及一次函数一次项系数和常数项的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：∵当时，的图象经过第二、第四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限， 当时，的图象经过第一、第三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限， ∴C选项符合题意． 故选C 7．已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与系数间的关系，解题的关键是熟练掌握函数的性质． 先由函数中y随x的增大而减小得到，且函数的图象经过第二、四象限，然后可知函数的反比例系数大于零，从而得知反比例函数图象经过第一、三象限，即可得到结果． 【详解】解：函数中y随x的增大而减小， ，且函数的图象经过第二、四象限， 函数的反比例系数大于零， 反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：B． 8．在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断，张掌握函数图象与系数的关系是解题关键．由反比例函数图象，得出的取值范围，进而判断一次函数的图象，即可得出答案． 【详解】解：A、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象不符合，选项错误； B、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象符合，选项正确； C、反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，则，所以一次函数的图象经过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误； D、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象不符合，选项错误； 故选：B． 9．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，根据四个选项中的图象，先由反比例函数图象得到的正负，进而得到直线图象即可得到答案，熟记一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项不符合题意； B、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项符合题意； C、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； D、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； 故选：B． 【题型3：反比例函数大小比较】 10．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是正确判断的前提，把点的坐标代入是常用的方法．把点、、三点坐标代入反比例函数，求出的值，比较得出答案． 【详解】解：把点代入反比例函数得， ，，， ∴， 故选：C． 11．已知，，是反比例函数的图象上的三点，且则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的系数判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，判断出，，的大小．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的系数 函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 又∵， 点，在第一象限，点在第三象限， ∴． 故选：B． 12．已知点三点都在函数的图象上，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将点代入，分别求出，即可解答． 【详解】解：点三点都在函数的图象上， ， ， ， 故选：D． 13．已知点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：C． 14．已知为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查函数值大小比较，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数中， ∵， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． A、若，则可能大于0，可能小于0，本选项不符合题意； B、若，则可能大于0，可能小于0，本选项不符合题意； C、若，则可能大于0，可能小于0，本选项不符合题意； D、若，则，本选项符合题意． 故选：D． 15．已知点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握对反比例函数图象的影响，特别注意要在每个象限内求解是解题的关键．由，可知反比函数在每个象限内，随的增大而减小，、在第三象限内，在第一象限内，分别判断即可． 【详解】解：， 反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 、在第三象限内，在第一象限内， ， ， ， 故选：B 16．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 将点，，分别代入，求出，，的值，再比较即可． 【详解】解：将点，，分别代入，得 ，，， 解得：，，， ， 故选：D． 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 观察函数图象即可求解． 【详解】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 故选：A． 18．如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．无解 【答案】C 【分析】本题考查直线和双曲线的交点问题．根据观察图象来求解不等式的解集． 【详解】解：解集从图形上来看就是直线在双曲线的上方， 观察图象得，不等式的解集是或， 故选：C． 19．反比例函数y1=和正比例函数y2=mx的图象如图，根据图象可以得到满足y1＜y2的x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．－＜x＜1或x＜－1 C．－1＜x＜0或x＞1 D．x＞2或x＜1 【答案】C 【详解】试题分析：∵反比例函数y1=和正比例函数y2=mx的交点关于原点中心对称，且其中一个交点坐标为（1,2）， ∴反比例函数y1=和正比例函数y2=mx的另一个交点坐标为（﹣1，﹣2）， ∴当﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2． 故选C． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 20．反比例函数的图像与一次函数的图像交与点与两点，则不等式的解集是（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数交点的问题．根据题意利用待定系数法分别解出一次函数和反比例函数的解析式，然后根据图象交点来判断一次函数大于反比例函数的解集即可． 【详解】解：由题意可知反比例函数的图像与一次函数的图像交与点与两点，将与代入中得，解得：， ∴一次函数解析式为：， 将代入反比例函数中得，解得， ∴反比例函数解析式为， 要使，则应在的上方， ∴ 解集为， 故选：B． 21．如图，一次函数与反比例函数相交于点和点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像与交点问题，先求出m值，观察图象，在上方的函数图象所对应函数值较大，据此得到对应的自变量取值范围是不等式的解集，会利用函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】把点代入得： ， 解得， 由图象可得不等式的解集是或， 故选A． 22．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是或， 故选：． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质．依据题意，首先求出点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：在反比例函数上， ． 又在反比例函数上， ． ． 结合图象， 当时，或． 故选：A． 24．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 25．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， (1)求反比例函数和一次函数的关系式． (2)根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； (3)若动点P在x轴上，求的最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3)10 【分析】（1）将点代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出点，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据题意得到不等式，其x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，利用轴对称性质和两点之间线段最短可知， 的最小值为，利用勾股定理求出的长，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数过点， ， 解得， ， 一次函数的图象过点，， ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可知不等式， 即时， x的取值范围为或； （3）解：作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ， 由轴对称性质可知，， 根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，取值最小， 的最小值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径． 26．已知，一次函数与反比例函数图象交于、两点，且的横坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出满足的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． （1）把代入可确定点坐标为，然后利用待定系数法可确定反比例函数解析式； （2）解析式联立，解方程组求得B的坐标，根据图象求得即可． （3）先确定点坐标，再利用的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把代入，得：，解得， 反比例函数的解析式为． （2）解：联立，解得或， ∴， 当时， 根据图象可得：或； （3）解：设：与轴交于点， ， ． 27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，求x的取值范围； (3)若点是轴上的点，的面积是4，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数的解析式，坐标与图形面积，利用图象解不等式，掌握“数形结合的方法”是解本题的关键． （1）由A的坐标，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象要在反比例函数图象的上方，结合图象可得答案； （3）直线交x轴于点C，先求解，设，再利用，解方程即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴反比例函数为， 把代入得，， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得 ， ∴一次函数关系式为； （2）解：由图象可知：中x的取值范围是或． （3）解：直线交x轴于点C，如图， 在直线中，令，则， ∴， 设， ∵的面积是4， ∴， 解得或， ∴或． 28．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与轴交于点，与轴交于点 ． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，利用勾股定理，建立方程都是解本题的关键； （1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）分三种情况，当时， 当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得到， ∴ 把代入，得到， 把代入 ，得到 ， ∴； （2）解：∵为等腰三角形 ∴分情况讨论 第一种情况，当时，; 第二种情况，当时， ∵， ∴ ∴或 第三种情况，当时， 在中，设， 由得， 解得， ∴ 29．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：设点， ∵点是的中点，， ∴， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）设点D的坐标为， ∵点， ∴，， ， 由题意知，则分两种情况讨论： ①当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ②当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，与重合，故舍去， ∴点D的坐标为． 综上所述：点D的坐标为或． 30．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)连接，，求的面积； 【答案】(1)反比例函数为，直线的表达式为 (2)15 【分析】本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得反比例函数为，进而求得的坐标，然后吧的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）作轴，交于点，则，然后根据求得即可； 【详解】（1）解：点在反比例函数第一象限的图象上， ， 反比例函数为， 将点先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点， 点恰好落在反比例函数第三象限的图象上， ， ， ， 代入得， ， 直线的表达式为； （2）作轴，交于点，则， ， 点、关于原点对称， ， ； 【题型6：反比例函数应用】 31．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 32．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)求出y与x之间的函数关系； (2)开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 【答案】(1)； (2)第分钟注意力更集中； (3)能达到，理由见解析． 【分析】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）根据上题求出的和的函数表达式，再分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，， ∴． 当时，， 当时， 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系为：； （2）当时，， 当时， ∴， ∴第分钟注意力更集中． （3）能达到； 令， ∴， ∴， 令， ∴， ∴ ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 33．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 34．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)，直线的关系式为 (2)点 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提． （1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式即可; （2）求出点D关于轴的对称点的坐标，求出直线与x轴的交点即可满足的周长最小; （3）进行计算即可 【详解】（1）解：1.在矩形中，，， 点， 点D是边的中点， 点， 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的关系式为， 当时，即， 解得， 点 ， 设直线的关系式为，则， 解得， 直线的关系式为 （2）点关于x轴的对称点的坐标为， 直线与x轴的交点即为所求的点P，此时的周长最小， 设直线的关系式为，则 解得， 直线的关系式为 ， 当时，即， 解得， 直线与x轴的交点， 当的周长最小时，点， （3）如图，   由（1）（2）知 ，，，， ，，，， 1 的面积为． 35．2023年11月份，由于病毒性流传性疾病比较严重，桥区某中学“红马甲”爱心互助队对“星光养老院”进行药物消毒，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）之间成一次函数关系；燃烧完后y（mg）与时间x（min）之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题： (1)求药物燃烧完后y（mg）与时间x（min）的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于3mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在室内？ 【答案】(1)； (2)从消毒开始，第1分钟到第8分钟学生不能停留在室内． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法先求药物燃烧时与时间的函数表达式，再用待定系数法求药物燃烧完后与时间的函数表达式即可； （2）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 当时，， 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为， 把代入， ∴， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 解得：； 对于，当时， 解得：， 答：从消毒开始，第1分钟到第8分钟学生不能停留在室内． 36．研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． （1）根据图像经过点和点，利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式即可； （2）分当，即时，当，即时，两种情况根据眼疲劳系数恰好减少了4，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间不大于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， ∵图像经过点， ∴． 解得． ∴眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为； 当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， ∵图像经过点和， ∴， ∴解得， ∴眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，． 37．为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． (1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． (2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 【答案】(1)升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数） (2)个月 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用， （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论； 正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数， 设升级改造前y与x的函数表达式为， 当时，， ∴，即， ∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）； 当时，， ∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元， ∴， ∴升级改造后y与x的函数表达式为（ 且为整数）， ∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）； （2）在中， 当时，， ∵， ∴在该象限中，随的增大而减小， ∴时，， 在中， 当时，， ∴， ∴且为整数． ∴可取，，，，；共5个月． ∴资金紧张期共有个月． 38．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作AC⊥x轴，垂足为C． (1)求出一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P是一次函数图象上的动点，若把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)不等式的解集为或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法得出，计算，两点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）根据图象即可求得； （3）根据把分成面积比等于的两部分，可分情况讨论，①当时；②当时；代入三角形面积公式可解答． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上 ， 反比例函数为， ∵反比例函数的图象经过点， ，， ，，把A、B的坐标代入， 得，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，不等式的解集为：或． （3）解：作于M，轴于N，轴于F，则，设与y轴交于点E， ． ，，，， ． 把分成面积比等于2：3的两部分， 同理， 把分成面积比等于2：3的两部分， ∵直线交坐标轴于D、E， ，， ∵把分成面积比等于2：3的两部分， 或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$