特训02 二次函数 压轴题（浙江精选，三大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训02 二次函数 压轴题（浙江精选，三大模块） 目录： 模块一、代数应用 模块二、图表素材类 模块三、几何综合应用 模块一、代数应用 1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 2．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 3．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心都在直线上，所以称这两个函数为关于直线的“相依函数”． 例如：和为关于直线的“相依函数” (1)已知点是直线上一点，请求出点关于点成中心对称的点的坐标； (2)若直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为，求的值； (3)若二次函数和为关于直线的“相依函数”． ①请求出、的值； ②已知点、点，连接，当和两条抛物线与线段有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 模块二、图表素材类 4．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 5．（2024·浙江宁波·一模）根据下列素材，探索完成任务． 如何设计跳绳的方案 素材1 参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，绳子最高点距离地面2米．    素材2 某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人为米高，两人都为米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少米． 问题解决 任务1 确定长绳在最高点时的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究站队的方式 若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？ 任务3 设计位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，完成探索任务： 设计喷水器的高度 素材1 为了灌溉某花田，需要安装一台可旋转灌溉的喷水器（即喷头可顺、逆时针往返喷洒）．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计） 素材2 为了方便计算该喷水器的灌溉范围，如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米． 素材3 为了美观，现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知米． 素材4 为了适应多种灌溉环境，这款喷水器除原装喷头外，还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同． 任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式． 任务2 计算喷水口高度 若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？ 任务3 设计方案 园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，请你利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案． 7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）根据下列素材，完成相应任务 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数 表示 素材2 图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域． 要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米， 米，仓库最大仓储品容量为 件． 模块三、几何综合应用 8．（2023·浙江·模拟预测）已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：    (1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； (2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方： ①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标； ②若时，求出点D的坐标； ③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标． 9．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造，延长交抛物线于点．    (1)若，如图． ①求该抛物线的表达式． ②求点的坐标． (2)如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 10．（2021·浙江嘉兴·一模）已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别力，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线． (1)如图所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图所示，若抛物线的伴随直线是，伴随四边形的面积为求此抛物线的解析式； (3)如图所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． ①用含的代数式表示，的值． ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标用含的代数式表示；若不存在，请说明理由． 11．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，经过原点的抛物线交轴正半轴于点A，过点作直线轴于点，交抛物线于点，记点关于抛物线对称轴的对称点为，连结，． (1)用含的代数式表示的长； (2)连结，当为何值时，？ (3)过点作于点，交延长线于点． ①当时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②延长交于点，在上取一点，连结，若，且与的面积相等，则的值是______． 12．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知拋物线的对称轴为直线，且经过点，，连接，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，连接，，设运动时间为秒． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上一点，若以、、、为顶点的四边形（为边）是平行四边形，求的值； (3)以为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，若点落在的内部，请直接写出的取值范围_____________． 13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且、直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．    (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连结，判断线段与线段有何关系，请说明理由． (3)如图2．若点是直线上方的抛物线上的一动点，设点的横坐标为． ①连结、，当为何值时，． ②在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 14．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．    (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 15．（2020·浙江·模拟预测）抛物线过，两点，交轴于点，连结．    （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，点，，的对应点分别为，，，交抛物线于点．当点为的中点时，求的值； （3）如图2，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，直接写出点的坐标． 16．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 二次函数 压轴题（浙江精选，三大模块） 目录： 模块一、代数应用 模块二、图表素材类 模块三、几何综合应用 模块一、代数应用 1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）将已知两点代入求出，，再表示出，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据增减性分析，解不等式（组）即可． 【解析】（1）解：函数图象经过点， ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）证明：函数图象经过点，， ，， ， ， ； （3）解：， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况：设函数图象经过点，，． 情况1，如图1，当时， 则关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴，且， ∴有，解得； 情况2，如图2， 当时， ∵点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴，且， 可得，解得：， 综上所述，或． 2．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1.5 【分析】（1）由可知图象过，则图象不过点，将点，代入抛物线，即可解答； （2）根据根与系数的关系即可得证； （3）将代入得①，根据抛物线的对称轴为直线，可得，整理得②，由①②得到，整理得到，，根据题意，将，代入得，即可解答． 【详解】（1）解：， 图象过， 图象不过点， 将点，代入抛物线， 得， 解得， ； （2）证明：抛物线与轴两个交点的横坐标为、， ，， ， ， ， ； （3）解：将代入得①， 抛物线的对称轴为直线， ， ②， 由①②得到， ， ， ， ， ． 且， ，， ，，， ， ， 将，代入得， 当时，符合， 有最小值1.5． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 3．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心都在直线上，所以称这两个函数为关于直线的“相依函数”． 例如：和为关于直线的“相依函数” (1)已知点是直线上一点，请求出点关于点成中心对称的点的坐标； (2)若直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为，求的值； (3)若二次函数和为关于直线的“相依函数”． ①请求出、的值； ②已知点、点，连接，当和两条抛物线与线段有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)①， ； ②或 【分析】（1）先求出点的坐标，根据点与点关于成中心对称，即可求出点的坐标； （2）设点和点分别是直线与它的“相依函数”的图象上的任意一点，根据相依函数的定义，可得：直线关于直线的相依函数是：，结合“直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为”，列出关于的方程，即可求解； （3）①由相依函数的定义，得：，化简整理后，即可求解；②分四种情况画出二次函数，的图象，即可得到答案． 【解析】（1）∵点是直线上一点， ∴，即：， ∵点与点关于成中心对称， ∴； （2）设点和点分别是直线与它的“相依函数”的图象上的任意一点， ∴， ， ∴直线关于直线的相依函数是：， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点的横坐标为， ∵直线与直线与y轴的交点坐标分别是：， 由题意得：，解得：； （3）①由题意得：， ∴，对于任意的x都成立， ∴，解得：； ②由第①小题，可知：，， ∵， 当时，如图1， 当时，如图2， 当时，如图3， 当时，如图4， 综上可知∶或时，抛物线与线段有且只有两个交点．      【点睛】本题主要考查新定义下的函数问题，涉及一次函数，二次函数的图象和性质以及中点坐标公式，熟练掌握一次函数，二次函数的图象和性质，函数图象上的点的坐标特征，学会数形结合的思想方法，是解题的关键． 模块二、图表素材类 4．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 【答案】任务1： 任务2：的高度为米 任务3： 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用， 任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论； 任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解． 任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论． 【解析】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示． ∵， ∴． ∵水柱距水池中心处到达最高，高度为， ∴左侧抛物线顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， ∴即． 任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系 ∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线． 设的最高高度为． ∴设图3中抛物线解析式为 由（1）可得图2中的抛物线解析式为: 令，得， 解得（舍去），， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点G的坐标为． 将代入 解得： ∴的最高高度为米 任务3：如图． 设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 ∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为， 又∵抛物线形状相同， ∴抛物线表达式为， 把代入得， 解得或（舍去）， ∴， ∵喷出的水柱高度不低于， ∴ ∴ 又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面． 由（2）可得 代入 即 解得： ∴ ∴喷水装置高度的变化范围为． 5．（2024·浙江宁波·一模）根据下列素材，探索完成任务． 如何设计跳绳的方案 素材1 参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，绳子最高点距离地面2米．    素材2 某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人为米高，两人都为米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少米． 问题解决 任务1 确定长绳在最高点时的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究站队的方式 若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？ 任务3 设计位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；任务三： 【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的建立坐标系求解函数解析式是解本题的关键； 任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，，建立直角坐标系，如图：再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； 任务二：如图，名同学，以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，再求解对应的函数值与身高比较即可； 任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧对称排列，再计算当或时， 当或时， 当或时，得到站队方式符合要求，再求解左边第一个的横坐标是取值范围即可． 【解析】解：任务一： 以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： 由已知可得，，在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 任务二： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，名同学，以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边， 对称轴两侧的2位男同学所在位置横坐标分布是，， ∴有1个米的女生的横坐标为或， 当时或时，， 当或时， 当或时，， ∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，绳子不能顺利的甩过女队员的头顶； ∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶； 任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧排列， 当或时，， 当或时，， 当或时，， ∴站队方式符合要求， 当时，则， ∴，， ∴左边第一个队员的横坐标的范围为：． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，完成探索任务： 设计喷水器的高度 素材1 为了灌溉某花田，需要安装一台可旋转灌溉的喷水器（即喷头可顺、逆时针往返喷洒）．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计） 素材2 为了方便计算该喷水器的灌溉范围，如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米． 素材3 为了美观，现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知米． 素材4 为了适应多种灌溉环境，这款喷水器除原装喷头外，还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同． 任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式． 任务2 计算喷水口高度 若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？ 任务3 设计方案 园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，请你利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案． 【答案】任务1：；任务2：喷水口P至少需要升高米；任务3：会影响，设计见解析． 【分析】任务1：以所在直线为轴，以地平面所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到抛物线所过点的坐标m设抛物线解析式为，将点代入解析式求解，即可解题． 任务2：连接，，交于点，为正六边形的中心，根据题意证明为等边三角形，四边形为菱形，利用勾股定理求得米，推出米，使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，则喷水器应在处，且喷洒水平距离为米，设喷水口P至少需要升高米，再结合抛物线解析式，即可解题． 任务3：本题将米，即代入，满足任务2中的解析式，可得其会影响任务2灌溉要求，根据“S”型号的喷头条件，设更换喷头后的抛物线解析式为，且，根据灌溉要求可知当时，，据此求解，即可解题． 【解析】任务1：解：以所在直线为轴，以地平面所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 根据题意可知抛物线过点，，， 有，解得， 抛物线解析式为； 任务2：解：连接，，交于点，正六边形的中心，如图所示： ，为等边三角形， 为等边三角形，米， 米，， 四边形为菱形， ，， ， ， 米， 米， 米， 同理可得，米， 使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田， 喷水器应在处，且喷洒水平距离为米， 设喷水口P至少需要升高米， 即抛物线解析式变为，过点， 有， 解得， 使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高米． 任务3：解：园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树， 满足任务2的抛物线解析式为，且米， （米）， ， 种植后会影响任务2中的灌溉要求， 更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同， 更换喷头后的抛物线可看作原抛物线向右平移，向上平移， 的边，， 设更换喷头后的抛物线解析式为，， 点P到地面的距离最大可达2米，即， 有当时，， 即，解得， 即当时，使用“S”型号的喷头可达到多边形花田灌溉要求． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用、二次函数的平移规律、二次函数与不等式、正多边形性质、30度所对直角边等于斜边一半、菱形的性质与判定、勾股定理、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）根据下列素材，完成相应任务 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数 表示 素材2 图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域． 要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米， 米，仓库最大仓储品容量为 件． 【答案】任务1：仓库离地的最大距离为6.35；任务2：可以从右边取出，理由见解析；任务3：2，4，1900 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用—几何问题；二次函数的实际应用—拱桥问题： 任务一：利用已知条件可得到点A，B的坐标，再把A、B两点的坐标代入二次函数解析式中可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出y的最大值． 任务二：分别将代入函数解析式，分别求出对应的y的值，再比较大小，可作出判断． 任务三：为求仓储区面积最大，故反面则为过道区尽可能小，结合函数对称性及整数位置对应函数值进行高度判断，找出最小的过道布置即可 【解析】解：任务1：∵米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分 ， ∴点，点， ∵点A，B在函数上， ∴解得：， 所以函数解析式为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时． ∴仓库离地的最大距离为6.35． 任务二：∵ ．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出，； 当时，， ∴无法从左边取出， 当时，， 当时，， ∴可以从右边取出； 任务3：为使得仓储区越大，过道区所占平面应尽可能小，即三块2米的过道，尽可能布设在较小的区域内， 记表示不超过y的最大整数． 由（1）得：， 可计算整数格大致高度，如下， x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 5 5 6 6 6 6 5 5 5 仓储数/件 4 5 5 5 6 6 6 6 5 5 5 在时，由对称可知，结合计算与对称性， 当时与时其对应y值相同，即仓库高度相同； ∴有时，；或时，；时，； 故最少的过道占地为： ①第一块过道，即时，根据题意，此时必然是仓储区， 故至少剩余， 同理，为使得过道尽可能少，此时和所占高度为5米，其余所占高度为6米， ②第二块过道，即及第三块过道为即， 故最后仓储区剩余空间最大，其仓储平面区域为放4件，放5件，或放6件，放5件． 综上所述，仓储区容量为：(件) 故设计要求为：，最大容量为1900件． 故答案为：2，4，1900 模块三、几何综合应用 8．（2023·浙江·模拟预测）已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：    (1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； (2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方： ①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标； ②若时，求出点D的坐标； ③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)① 或 ② ③最大值为，此时点的坐标为 【分析】 （1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）①根据是以为底边的等腰三角形，可得，建立方程求解即可得出答案； ②过点作轴于点，则，证得，可得，即，解方程即可； ③设，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，即可得出：，，即，，再运用三角形面积公式即可求得，再利用二次函数的性质即可求得答案． 【解析】（1） 解：抛物线，经过，两点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点的坐标为； （2） 令，得， 解得：，， ，， 设，且， ①， ， ， ， 是是以为底边的等腰三角形， ∴，即， ， 整理得：， 解得：或， ∴ 或； ②如图，过点作轴于点，则，    ， ， ，即， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； ③设，如图，    ， 直线的解析式为， 令，得， ， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 令，得， ， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性． 9．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造，延长交抛物线于点．    (1)若，如图． ①求该抛物线的表达式． ②求点的坐标． (2)如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；② (2)是， 【分析】（1）①将的值代入一次函数解析式，可求出点的坐标，利用待定系数法可得出结论；②由抛物线的对称性可得点的坐标，根据平行四边形的性质可求出点的坐标，进而求出直线的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论； （2）根据待定系数法可求出点的坐标，从而可得抛物线的解析式为：；由抛物线的对称性可得，由平行四边形的性质可知，进而求出直线的表达式，联立求出点的坐标，进而求出的长度，求出比值即可得出结论． 【解析】（1）解：①当时，一次函数为， 令，则；令，则， ，， 设抛物线的表达式为：， 将代入可得，， 解得； 抛物线的解析式为：； ②由抛物线的对称性可得，， 由平行四边形的性质可知，， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令， 解得舍或， ； （2）解：是定值，理由如下： 对于， 令，则；令，则， ，， 设抛物线的表达式为：，， 将代入可得，， 解得； 抛物线的解析式为：； 由抛物线的对称性可得，， 由平行四边形的性质可知，， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令， 解得舍或， ； ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识点，表达出点的坐标是解此题的关键． 10．（2021·浙江嘉兴·一模）已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别力，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线． (1)如图所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图所示，若抛物线的伴随直线是，伴随四边形的面积为求此抛物线的解析式； (3)如图所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． ①用含的代数式表示，的值． ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标用含的代数式表示；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，；②存在，或或或 【分析】（1）利用抛物线的与y轴交于点，它的顶点为点，求出直线解析式即可； （2）首先得出点A的坐标为以及点C的坐标为，进而求出，得出顶点B的坐标求出解析式即可； （3）①由已知可得A坐标为，C点坐标为，以即点B点的坐标为，利用勾股定理求出；②利用①中B点坐标，以及的长度即可得出P点的坐标． 【解析】（1）解：由抛物线与轴交于点，它的顶点为点， 抛物线的与轴交于点，它的顶点为点， 设所求直线解析式为， ， 解得：， 所求直线解析式为； （2）解：如图，作于点，由题意得四边形是平行四边形，点的坐标为， 点的坐标为， 可得：， 平行四边形的面积为， 即， ， ，即顶点在轴的右侧，且在直线上， 顶点的坐标为， 又抛物线经过点， ， ； （3）解：如图，作轴于点 由已知可得坐标为，点坐标为， 顶点在直线上， ，即点点的坐标为， 在矩形中，． ， ， ， ； 存在． 点坐标为，即， ， ， 当， ， 点的坐标为； 如图，当时， 过点作，于点， 点坐标为， 点坐标为， ，，设， ， ， ， 解得：， ， 此时点坐标为：； 同理可以为或， 故点坐标为：或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理和点的坐标性质，一次函数的性质、二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握． 11．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，经过原点的抛物线交轴正半轴于点A，过点作直线轴于点，交抛物线于点，记点关于抛物线对称轴的对称点为，连结，． (1)用含的代数式表示的长； (2)连结，当为何值时，？ (3)过点作于点，交延长线于点． ①当时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②延长交于点，在上取一点，连结，若，且与的面积相等，则的值是______． 【答案】(1)； (2)为； (3)①在，理由见解析；②． 【分析】先确定和抛物线的对称轴，利用对称性得到，即可用表示的长； 解方程得，再利用两点间的距离公式得到，，，根据勾股定理的逆定理得到，再解方程即可得到的值； 当时，抛物线的解析式为，点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点是否在抛物线上；②作于，利用等腰三角形的性质得，根据，，得到，得到四边形是正方形，根据，推出，根据，推出，根据，求出直线的解析式为，当时，求出，求出，得到，即的值为． 【解析】（1）当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ， ； （2）当时，， 解得，， ∴， ∴， ， ， 当，为直角三角形，， 即， 整理得， 解得，舍去， 即当为时，； （3）①在．理由如下： 当时，抛物线的解析式为， ∴点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∵时，， 点在抛物线上； ②过点C作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，设边长为z， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 即的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，勾股定理的逆定理判定直角三角形，等腰三角形的性质，正方形判定和性质，全等三角形判定和性质，待定系数法求函数解析式，两点之间的距离公式，是解决问题的关键． 12．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知拋物线的对称轴为直线，且经过点，，连接，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，连接，，设运动时间为秒． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上一点，若以、、、为顶点的四边形（为边）是平行四边形，求的值； (3)以为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，若点落在的内部，请直接写出的取值范围_____________． 【答案】(1) (2)①②或 (3) 【分析】（1）由拋物线的对称轴得，将点，代入，即可求解； （2）①过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ②同理可求：，，可得，，(ⅰ)当构成以为对角线的平行四边形，设，由平移得向右平移个单位，再向上平移个单位得到，向右平移个单位，再向上平移个单位得到，由平移得到与平移得到的方式相同，即可求解；(ⅱ)当构成以为对角线的平行四边形，同理可求； （3）过轴交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，(ⅰ)当在直线上时，代入可求的值；(ⅱ) 当在直线上时，同理可求． 【解析】（1）解：拋物线的对称轴为直线， ， ， ， 将点，代入， ， 解得：， ， 抛物线的解析式：； （2）解：①当时， ， ，， ，， ， 过作轴交于， 轴， ， ， ， 解得：， ， ， ， ； ②由题意得 ，， 由①同理可得： ， ， 解得：， ， ， ， ， ， (ⅰ)如图，当构成以为对角线的平行四边形， 设， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 四边形是平行四边形， ， ， 平移得到与平移得到的方式相同， ， 解得：； (ⅱ)如图，当构成以为对角线的平行四边形， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 同理可得：， 解得：； 综上所述：的值为或； （3）解：过作轴交于，过作交于， ， ， 由旋转得：， ， ， ， 在和中， ， ()， ， ， 由②得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， (ⅰ)当在直线上时， ， 解得：； (ⅱ) 当在直线上时， 同理可求直线的解析式为， ， 解得：，， 经检验：，是此方程的解， ， ， 点落在的内部， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质；掌握待定系数法，相关的判定方法及性质，能根据平行四边形的对角线不同和点的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且、直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．    (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连结，判断线段与线段有何关系，请说明理由． (3)如图2．若点是直线上方的抛物线上的一动点，设点的横坐标为． ①连结、，当为何值时，． ②在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)①0或1；②0 【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点的坐标代入即可求解； （2）过点Q作与点G，过点C作于点M，利用点的坐标以及等腰等腰三角形的性质可求，即可得出结论； （3）①直线与抛物线解析式联立即可求出D的坐标，则可求的面积，过P作于点R，交直线于点K，过点D作于点F，设，则，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论； ②利用分类讨论的思想分三种情况解答，设点，点，当时，过点P作轴，分别交过点Q、H的平行于x轴的直线于点G，M，通过证明得，，即可求得m；当时，利用已知条件可得轴，同理可得m的值；当时，点P在的下方，与题意不符． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：过点Q作与点G，过点C作于点M，交于点N，    则，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 对于，令，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①联立方程组， 解得或， ∴， 过P作于点R，交直线于点K，过点D作于点F    则， 设，则， ∴， 当时， 则， 解得或1； ②存在，理由如下： 设点，点， Ⅰ、当时， 过点P作轴，分别交过点Q和H的平行于x的直线于点G，M，    ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴，， 解得或（舍去）； Ⅱ、当时，如图，    当时，则点P、H关于抛物线的对称轴对称， 即垂直于抛物线的对称轴， ∴轴， ∴， 同Ⅰ可得或（舍去）； Ⅲ、当时，点P在的下方，与题意不符． 综上，m的值为0． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 14．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．    (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)满足条件的E、F两点存在，，， (3)当时，的最大值为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解； （3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解． 【解析】（1）解：把，，代入 得     解得     ∴     把代入得 ∴ （2）满足条件的、两点存在，，，     解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.    过点作轴于. ∵， 又， ∴， ∴， ∴ 同理可得， ②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形， 过点作轴于点，过点作于点    ∵， 又 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 解得或4 当时，，此时点在点右侧故舍去； 当时，. 综上所述：，， （3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线 当，即 解得： ∴， ∵过，，三点 ∴     在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点    ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ 又 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵点在抛物线上，且横坐标为 ∴ ∴     ∵ ∴ ∴ ∴     ∴ ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2020·浙江·模拟预测）抛物线过，两点，交轴于点，连结．    （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，点，，的对应点分别为，，，交抛物线于点．当点为的中点时，求的值； （3）如图2，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）E（0，） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由已知得：OC=2OB，连接OD，过D作DF⊥x轴，垂足为F，求出点D坐标，从而得到点P坐标，即可得到点M坐标，代入抛物线表达式即可解出t值； （3）利用待定系数法求得直线BC的解析式，如图3，在BC上方的抛物线图象取点E的对称点E′，过点E′作y轴的平行线交直线BC于点G．构造等腰三角形E′CG，则E′C=E′G．故设点E（n，-2n2+4n+6），则G（n，-2n+6）．由此得到方程：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+6n）2．通过解方程求得n的值，代入求得E的坐标即可． 【解析】解：（1）∵抛物线过，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵，，， ∴OC=2OB， 连接OD，过D作DF⊥x轴，垂足为F， 由题意可知：BC∥OD， ∴∠OBC=∠FOD， 即tan∠OBC=tan∠FOD， 则， ∴DF=2OF， ∵△OCB以每秒个单位长度沿射线BC方向运动， ∴BP=OD=t， 在△ODF中，DF2+OF2=OD2， ∴（2OF）2+OF2=（t）2， 解得：OF=2t， ∴DF=4t， 当运动时间为t秒时，则D（-2t，4t）， ∵DP∥x轴， ∴P（3-2t，4t）， ∵点M为DP的中点， ∴M（，4t）， ∵M点在抛物线上，代入， ∴， 解得：t=或（舍）；    （3）∵B（3，0），C（0，6）， 设直线BC的表达式为：y=mx+n， 则， 解得：， ∴直线BC的表达式为y=-2x+6， 如图3，在BC上方的抛物线图象取点E的对称点E′，过点E′作y轴的平行线交直线BC于点G． 由题意得：∠ECB=∠E′CB，E′C=EC． ∵CO∥E′G， ∴∠ECB=∠CGE′． ∵∠ECB=∠E′CB，∠ECB=∠CGE′． ∴∠E′CB=∠CGE′． ∴E′C=E′G． 设点E′（n，-2n2+4n+6），则G（n，-2n+6）． ∴E′G=-2n2+6n，E′C2=n2+（-2n2+4n）2． ∵E′C=E′G， ∴E′C2=E′G2， 即：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+6n）2． 解得：n=或0（舍）， ∴E′G=， ∴E′C=E′G=EC=， ∴E（0，）．    【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数的解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力的培养；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 16．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【解析】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$