专题03有理数混合运算（5大压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

专题03 有理数的混合运算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、有理数加减乘除的混合运算 2 类型二、含乘方的有理数混合运算 4 类型三、有理数混合运算的找规律问题 6 类型四、有理数混合运算的应用 8 类型五、定义新计算问题 10 压轴能力测评（10题） 15 1：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 3：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 4：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 6：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 7：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 8：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 9：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 类型一、有理数加减乘除的混合运算 例1．计算： (1) (2) 变式1-1．用简便方法计算：． 变式1-2．​数学老师布置了一道思考题，“计算： ”小明的计算方法如下： ， ， ， ． 请判断小明的做法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．​ 类型二、含乘方的有理数混合运算 例2．小兰在计算：时，步骤如下： 解：原式① ② ③ (1)小兰的计算过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），错误的原因是______； (2)请给出正确的解题过程． (3)计算：． 变式2-1．（1）计算： （2）计算： 变式2-2．计算下列各式 (1)； (2)； (3)． 类型三、有理数混合运算的找规律问题 例3．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 变式3-1．观察式子，，，… (1)猜想并写出：＝　 　； (2)填空：＝　 　； (3)尝试解决：． 变式3-2．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 类型四、有理数混合运算的应用 例4．甲、乙两个同学分别在长方形围墙外的两角．如果他们同时开始绕着围墙逆时针方向跑，甲每秒跑米，乙每秒跑米，那么甲最少要跑( )秒才能看到乙． 变式4-1．一次数学测试有三道题，某班学生作对第一道题的有38人，作对第二道题的有41人，作对第三道题的有27人，同时作对第一、二道题的有32人，同时作对第一、三道题的有21人，同时作对第二、三道题的有20人，全对的有17人，没有全错的．求全班的人数． 变式4-2．小明从家到学校上课，开始时以每分钟走60米的速度，走了2分钟，这时他想：若根据以往的经验，再按这个速度走下去，将要迟到2分钟，于是他立即加快了速度，每分钟多走10米，结果小明早到了5分钟，请问小明家到学校的路有多远？ 类型五、定义新计算问题 例5．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1) ______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 变式5-1．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：7513是一个“差同数”．所以：，，则：． (1)请判断是否是“差同数”．如果是，请求出的值； (2)若自然数，都是“差同数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被11整除时，求的最小值． 变式5-2．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 1．对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 2．定义运算：．下列结论：①；②；③若，则或；④若，则．其中正确的是 ．（填序号即可）． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 4．对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 5．求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 6．两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m的个位数字和十位数字分别与n的个位数字和十位数字相乘，按照这种方式产生的所有的积的和记为F（m，n）． 例如：F（13，24）=1×2+1×4+3×2+3×4=2+4+6+12=24． 又如：F（35，16）=3×1+3×6+5×1+5×6=3+18+5+30=56． (1)计算：F（17，23）= ．F（31，72）= ． (2)若一个两位数m=21a+b，两位数n=53+b（1≤a≤4，1≤b≤5，且a，b都取整数），交换m的十位数字和个位数字得到新两位数，当与n的个位数字的5倍的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“最美数对”，求所有“最美数对”F（m，n）的最大值． 7．简便计算： (1)； (2)． 8．某通讯公司推出A、B两种话费套餐，套餐详情如表一． 表一 月基本费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 被叫 免费数据流量/ 600 0.15 免费 15 99 500 0.15 免费 20 套餐补充说明： （1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费． （2）数据流量． （3）流量超出后，A套餐按5元标准收取，不满按0.03元/收取． （4）流量超出后，B套餐按5元标准收取，满15元后按3元收取，不满按计算． 表二是小张今年六月份手机流量使用情况的统计表，每个时间段以为标准，超出部分记为正数，不足部分记为负数（单位：）． 表二 1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日 200 100 300 200 根据以上材料回答下列问题： （1）已知小王使用A套餐，某月主叫时间为，使用流量，共产生109元月结话费，求的值； （2）若小张今年六月份主叫时间不超过，根据表二计算并判断哪种套餐更合算． 9．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． （1）若小明依次输入3，4，5，则最后输出的结果是 ； （2）若小明将1到2011这2011个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，则m的最大值为 ； （3）若小明将1到n（n≥3）这n个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．探究m的最小值和最大值． 10．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的混合运算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、有理数加减乘除的混合运算 2 类型二、含乘方的有理数混合运算 4 类型三、有理数混合运算的找规律问题 6 类型四、有理数混合运算的应用 8 类型五、定义新计算问题 10 压轴能力测评（10题） 15 1：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 3：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 4：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 6：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 7：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 8：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 9：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 类型一、有理数加减乘除的混合运算 例1．计算： (1) (2) 【答案】(1)−7 (2) 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握混合运算顺序并运用简便方法是解答本题的关键． 变式1-1．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了用乘法运算律进行有理数运算，利用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 变式1-2．​数学老师布置了一道思考题，“计算： ”小明的计算方法如下： ， ， ， ． 请判断小明的做法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．​ 【答案】小明的做法不正确，正确解法见解析． 【分析】此题考查了有理数的加减法和除法运算，先通分括号内的式子，再计算括号外的除法即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：小明的做法不正确，正确解法如下： ， ， ， ． 类型二、含乘方的有理数混合运算 例2．小兰在计算：时，步骤如下： 解：原式① ② ③ (1)小兰的计算过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），错误的原因是______； (2)请给出正确的解题过程． (3)计算：． 【答案】(1)①，运算顺序出错；去负括号时，括号内第二项没有变号 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）观察解题过程可知，在第①步计算时，先计算了乘法，而不是先计算的乘方，并且在去括号时，括号内第二项没有变号，据此可得答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，在第①步计算时，先计算了乘法，而不是先计算的乘方，并且在去括号时，括号内第二项没有变号；从而导致后续计算错误， 故答案为：①，运算顺序出错；去负括号时，括号内第二项没有变号； （2）解：原式 ； （3）解： ． 变式2-1．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． （1）先将乘方化简，再进行计算即可； （2）先将乘方化简，再进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 变式2-2．计算下列各式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方、乘法、绝对值，再算除法，后算加减； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减； （3）先算乘方、括号、绝对值，再算乘法，后算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） 类型三、有理数混合运算的找规律问题 例3．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果． 【详解】解：①， ， ， ②， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据题意发现规律进行解答． 变式3-1．观察式子，，，… (1)猜想并写出：＝　 　； (2)填空：＝　 　； (3)尝试解决：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式特点，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再求和即可； （3）通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再求和即可． 【详解】（1）解：＝， 故答案为：； （2）解： ， （3）解： ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式运算的一般规律是解题的关键． 变式3-2．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）1；（2）1；（3） 【分析】（1）根据同分母的分数相加，分母不变分子相加得出结论； （2）利用（1）中规律相加即可； （3）根据（1）规律加，再减，然后作和即可． 【详解】解：（1） ； （2） …… ； （3） …… ． 【点睛】本题考查数字变化类，关键是找到式子中的规律进行求和． 类型四、有理数混合运算的应用 例4．甲、乙两个同学分别在长方形围墙外的两角．如果他们同时开始绕着围墙逆时针方向跑，甲每秒跑米，乙每秒跑米，那么甲最少要跑( )秒才能看到乙． 【答案】 【分析】本题考查了特殊的追及问题，解题的关键是理清题意，知道不用追上，只要处在同一条直线上即可． 根据题意分析，甲要看到乙，则甲和乙只需同时在一条直线上就可以看见，结合长方形围墙的两边长，可知甲要看到乙，甲乙间的最大距离为米，即甲最少要比乙多跑米，利用时间路程甲乙的速度之差，可求出甲乙相距米时甲跑的时间，结合各边长度，可得出此时甲所在位置，再结合甲乙要在同一条直线上，即可求出结论． 【详解】解：给图中各角标上字母，如图所示： 甲要看到乙，甲乙间的最大距离为米，即甲最少要比乙多跑米，这需跑（秒）， （米），（米），（米）， 所以甲跑秒时，他在边上，距点米处， 所以甲只要再跑（秒），即可到达点，此时甲乙间的距离已小于米，乙在边上， 所以甲最少要跑（秒），才能看到乙， 故答案为：． 变式4-1．一次数学测试有三道题，某班学生作对第一道题的有38人，作对第二道题的有41人，作对第三道题的有27人，同时作对第一、二道题的有32人，同时作对第一、三道题的有21人，同时作对第二、三道题的有20人，全对的有17人，没有全错的．求全班的人数． 【答案】全班的人数为 【分析】根据题意，画出三个互相交叉的圆表示各部分的关系，列式计算即可． 【详解】解：由题意，画出三个互相交叉的圆，如图所示：    所以全班的人数为人； 答：全班的人数为． 【点睛】本题考查有理数加减的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 变式4-2．小明从家到学校上课，开始时以每分钟走60米的速度，走了2分钟，这时他想：若根据以往的经验，再按这个速度走下去，将要迟到2分钟，于是他立即加快了速度，每分钟多走10米，结果小明早到了5分钟，请问小明家到学校的路有多远？ 【答案】小明家到学校的路有3060米远 【分析】求出每分钟多走10米，按规定的时间多走的路程为米，求出按开始的速度到达学校还需要的时间，然后求出小明到学校的路程即可． 【详解】解：迟到2分钟，离学校还有（米）， 后来每分钟走：（米），则早到5分钟， 超过学校：（米）， 按开始的速度到达学校还需要： （分钟）， 因为开始走了2分钟，所以到学校需要时间为： （分钟）， 小明到学校的路程为： （米）， 答：小明家到学校的路有3060米远． 【点睛】本题主要考查了数的运算，根据分配对象（盈+亏）两次分得的差，求出原来需要的时间，是解题的关键． 类型五、定义新计算问题 例5．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1) ______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值； （2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值； （3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：，； （2）依题意， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 变式5-1．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：7513是一个“差同数”．所以：，，则：． (1)请判断是否是“差同数”．如果是，请求出的值； (2)若自然数，都是“差同数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被11整除时，求的最小值． 【答案】(1)是“差同数”， (2) 【分析】（1）根据“差同数”的定义和的定义即可得； （2）根据“差同数”的定义和已知条件，用一个字母的代数式表示，再根据此字母的取值范围即可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴是“差同数”， ∴， ∴． （2）解：∵，，且，都是整数， ∴的千位数为，百位数为6，十位数为，个位数为6， ∵是“差同数”， ∴ 即， ， ， ∴， ∵，，且，都是整数， ∴的千位数为3，百位数为，十位数为4，个位数为， ∵是“差同数”， ∴，即， ， ， ∴ ， ∴， ∵且，， ∴， ∵且，， ∴， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴或0或11， ①当时，则， 此时， ②当时，则， 此时， ③当时，则， 结合，，有， 此时，不存在， 综上，的最小值为． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用、有理数加减乘除运算的应用．理解“差同数”的定义，善于把新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键． 变式5-2．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 【答案】(1)， (2)：，， (3) (4) 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （4）先将原式化成乘方形式，再按含乘方的有理数混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解：依题意得：，， 故答案是：，； （2）依题意得：， ， ； 故答案为：，，； （3）依题意得：． 故答案为：； （4） 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 1．对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【答案】A 【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 2．定义运算：．下列结论：①；②；③若，则或；④若，则．其中正确的是 ．（填序号即可）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握新定义是解本题的关键． 原式各项利用题中的新定义计算得到结果，即可判断． 【详解】①原式，正确； ②原式，错误； ③因为，即， 可得或，正确； ④根据题意得∶ ，即， 则原式，正确， 故答案为∶①③④． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法分配律求解即可； （3）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （4）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键；本题先计算括号内的，再进行下一步的计算，从而可得答案． 【详解】解： ． 5．求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 【答案】 【分析】仿照例题可令，从而得出，二者做差后即可得出结论． 【详解】解：令， 则， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出是解题的关键． 6．两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m的个位数字和十位数字分别与n的个位数字和十位数字相乘，按照这种方式产生的所有的积的和记为F（m，n）． 例如：F（13，24）=1×2+1×4+3×2+3×4=2+4+6+12=24． 又如：F（35，16）=3×1+3×6+5×1+5×6=3+18+5+30=56． (1)计算：F（17，23）= ．F（31，72）= ． (2)若一个两位数m=21a+b，两位数n=53+b（1≤a≤4，1≤b≤5，且a，b都取整数），交换m的十位数字和个位数字得到新两位数，当与n的个位数字的5倍的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“最美数对”，求所有“最美数对”F（m，n）的最大值． 【答案】(1)40，36 (2)求所有“最美数对”F（m，n）的最大值为120 【分析】（1）根据给定的规则即可求出； （2）由m=21a+b， n=53+b得出m'+5 (3+b)的表达式，根据m'+5 (3+b)能被11整除及1≤a≤4， 1≤b≤5，讨论出a和b的值，从而可得F ( m， n)的最大值 【详解】（1）解∶ F(17， 23) =12+13+72+73=40， F (31， 72) =37+32+17+12=36， 故答案为∶40，36； （2）∵一个两位数m=21a+b，两位数n=53+b ( 1≤a≤4， 1≤b≤5，且a， b都取整数)， ∴m'=10 (a+b) +2a， n的个位数字是3+b， ． ∴m'+5 (3+b) =10 ( a+b) +2a+5 ( 3+b) =12a+ 15b+15， ∵m'+3 (3+b)能被11整除，m'+5(3+b)=12a+ 15b+15=11(a+b+1)+(a+4b+4)， ∴a+4b+4能被11整除， ∵1≤a≤4， 1≤b≤5， ∴9a+4b+4 28， ∴当a+4b+4=11时， a=3， b=1 ； 当a+4b+4=22时， a=2， b=4 ； ∴当a=3， b=1时，m=64， n=54，此时F (m，n) =F (64， 54) = ， 当a=2，b=4时， m=46， n=57，此时F ( m，n) =F ( 46， 57) =， 所有“最美数对”F (m， n)的最大值为∶ 120． 【点睛】本题考查了新定义，通过给定的条件求出a和b的值是解决本题的关键． 7．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 8．某通讯公司推出A、B两种话费套餐，套餐详情如表一． 表一 月基本费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 被叫 免费数据流量/ 600 0.15 免费 15 99 500 0.15 免费 20 套餐补充说明： （1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费． （2）数据流量． （3）流量超出后，A套餐按5元标准收取，不满按0.03元/收取． （4）流量超出后，B套餐按5元标准收取，满15元后按3元收取，不满按计算． 表二是小张今年六月份手机流量使用情况的统计表，每个时间段以为标准，超出部分记为正数，不足部分记为负数（单位：）． 表二 1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日 200 100 300 200 根据以上材料回答下列问题： （1）已知小王使用A套餐，某月主叫时间为，使用流量，共产生109元月结话费，求的值； （2）若小张今年六月份主叫时间不超过，根据表二计算并判断哪种套餐更合算． 【答案】（1）；（2）B套餐更合算 【分析】（1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费，由此列方程即可求解； （2）根据主叫时间不超过，可知使用两种套餐均无主叫超时费；根据表二计算出六月份使用流量，根据计费规则计算出两种套餐的月结话费，比较大小即可． 【详解】解：（1）由题意知，小王使用流量，流量免费， 则， 解得； （2）主叫时间不超过，因此使用两种套餐均无主叫超时费； 由表二知，小张六月份使用流量为：， 使用A套餐费用为：（元）， 使用B套餐费用为：（元）， ， 因此B套餐更合算． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是看懂两个套餐的计费规则． 9．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． （1）若小明依次输入3，4，5，则最后输出的结果是 ； （2）若小明将1到2011这2011个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，则m的最大值为 ； （3）若小明将1到n（n≥3）这n个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．探究m的最小值和最大值． 【答案】（1）4（2）2010；（3）最小值为1，最大值为n−1． 【分析】（1）根据已知得出输入与输出结果的规律求出即可； （2）根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，转化为奇偶性的性质然后讨论最大值． （3）根据分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按（*）式结构计算分别得出最大值与最小值． 【详解】解：（1）根据题意可以得出：||3−4|−5|＝|1−5|＝4；       故答案为：4． （2）由于输入的数都是非负数．当x1≥0，x2≥0时，|x1−x2|不超过x1，x2中最大的数． 对x1≥0，x2≥0，x3≥0，则||x1−x2|−x3|不超过x1，x2，x3中最大的数． 小明输入这2011个数设次序是x1，x2，...，x2011， 相当于计算：||||x1−x2|−x3|−...−x2011|＝P．因此P的值≤2011． 另外从运算奇偶性分析，x1，x2为整数． |x1−x2|与x1＋x2奇偶性相同．因此P与x1＋x2＋…＋x2011的奇偶性相同． 但x1＋x2＋…＋x2011＝1＋2＋2011＝偶数．于是断定P≤2010．我们证明P可以取到2010． 对1，2，3，4，按如下次序|||1−3|−4|−2|＝0． |||（4k＋1）−（4k＋3）|−（4k＋4）|−（4k＋2）|＝0，对k＝0，1，2，均成立． 因此，1−2008可按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||2009−2010|−2011|＝2010． 所以P的最大值为2010． 故答案为：2010；         （3）对于任意两个正整数x1，x2，|x1−x2|一定不超过x1和x2中较大的一个，对于任意三个正整数x1，x2，x3， ||x1−x2|−x3|一定不超过x1，x2和x3中最大的一个， 以此类推，设小明输入的n个数的顺序为x1，x2，…xn，则m＝|||…|x1−x2|−x3|−…−xn|， m一定不超过x1，x2，…xn，中的最大数，所以0≤m≤n，故m与1＋2＋…＋n的奇偶性相同； 1，2，3可以通过这种方式得到0：||3−2|−1|＝0； 任意四个连续的正整数可以通过这种方式得到0：|||a−（a＋1）|−（a＋3）|−（a＋2）|＝0（*）； 下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按（*）式结构计算． 当n＝4k时，1＋2＋…＋n为偶数，则m为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n，则最大值为n； 当n＝4k＋1时，1＋2＋…＋n为奇数，则m为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n，则最大值为n； 当n＝4k＋2时，1＋2＋…＋n为奇数，则m为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n和n−1， 则最小值为1， 从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n，最大值为n−1； 当n＝4k＋3时，1＋2＋…＋n为偶数，则m为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0， 则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n， 则最大值为n−1． 【点睛】此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力． 10．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三： 图见见解析； 解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式 (2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解； (3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式： ， 两边同除以3，得 ； 解决问题： （1） 故答案为： （2） ， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$