专题1.4 有理数（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题1.4 有理数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【思路点拨】 本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【解题过程】 解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列语句正确的个数是（    ） ①不带“”号的数都是正数  ②如果a是正数，那么一定是负数  ③不带“”号的数都是负数  ④不存在既不是正数，也不是负数的数  ⑤非正数就是负数 A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 本题主要考查了有理数的分类，正、负数的意义，根据正负数的定义和有理数的分类方法，逐项进行判断即可，注意0既不是正数，也不是负数． 【解题过程】 解：①不正确，反例：0不带“”号，但它不是正数； ②正确，正数a前面加“”号一定是负数； ③不正确，反例：0不带“”号，但它不是负数； ④不正确，反例：0既不是正数，也不是负数； ⑤不正确，反例：0是非正数，但不是负数； 综上分析可知，正确的个数为1个． 故选：B． 3．（23-24七年级上·广东佛山·期中）新西兰南岛、墨西哥与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 当北京 6 月 15 日 23 时，新西兰南岛、墨西哥的 时间分别是（　） 城市 新西兰南岛 墨西哥 时差/时 +3 -14 A．6 月 15 日 20 时；6 月 15 日 9 时 B．6 月 15  日 20 时；6 月 16  日 12 时 C．6 月 16  日 2 时；6 月 15  日 9 时 D．6 月 16  日 2 时；6 月 14  日 9 时 【思路点拨】 根据题意按正负数的加减法计算即可． 【解题过程】 解：新西兰南岛同一时刻比北京时间早3个小时，即6月15日23时加3小时为6月16日2时； 墨西哥同一时刻比北京时间晚14个小时，即6月15日23时减14小时为6月15日9时； 故选：C． 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（       ）km． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 15 12 8 休息 0 0 0 0 0 A．35 B．36 C．37 D．38 【思路点拨】 根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可． 【解题过程】 解：“高强度”要求前一天必须“休息”， “高强度”的徒步距离前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时，选择“高强度”能使徒步距离最远. , 适合选择“高强度”的是第三天和第四天. 又第一天可选择“高强度”, 方案①：第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”, 此时，徒步的距离为(千米). 方案②：第一天选择“高强度”，第二天“低强度”，第三天选择“休息”，第四天“高强度”和第五天选择“低强度”, 此时，徒步的距离为(千米). 综上，徒步的最远距离为36千米． 故选：B． 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【思路点拨】 本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【解题过程】 解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【解题过程】 解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 7．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数轴，有理数的乘法加法，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．由数轴上表示的，，得出的结论，再根据已知条件，，判断字母，，表示的数的正负性即可． 【解题过程】 解：由图可知， ， ，， ， 故D正确； ，， 当时，， 当时，， 故A错误； 由得，， 当，0离近时，，0离远时，； 当时，， 故B错误； ， ，， 当0离近时，； 0离远时，， 故C错误； 故选：D． 8．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【思路点拨】 根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和． 【解题过程】 解： ， 或， 或， 当时，等价于，即， 或， 或； 当时，等价于，即， 或， 或， 故或或或， 所有满足条件的数的和为：． 故答案为：D 9．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题主要考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键． 先由数轴得出，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则分析，可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴结论①错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴结论③正确； ∵， ∴，又 ∴， ∴结论④错误； 综上，正确的个数为2个． 故选：B． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【思路点拨】 通过前面几次的分析、归纳，发现每4次一个循环，点C所对应的数有规律地变化；翻转为正整数）次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；于是令即可得解． 【解题过程】 解：翻转1次后，点C所对应的数为0； 翻转2次后，点C所对应的数为0； 翻转3次后，点C所对应的数为1； 翻转4次后，点C所对应的数为3； 翻转5次后，点C所对应的数为4； 翻转6次后，点C所对应的数为4； 翻转7次后，点C所对应的数为5； 翻转8次后，点C所对应的数为7； 翻转9次后，点C所对应的数为8； …… 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 余2， 令， ， 翻转2022次后，点C所对应的数为2020； 故选：A． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知点A，B在数轴上，点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16，则点A，B之间的距离为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了数轴上点、数轴上两点间的距离等知识点，掌握数轴上的点表示的数成为解题的关键． 先根据题意确定A、B在数轴上表示的数，然后根据数轴上两点间的距离求解即可． 【解题过程】 解：∵点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16， ∴点A表示，点B表示， 当点A表示，点B表示，则点A，B之间的距离为； 当点A表示，点B表示16，则点A，B之间的距离为； 当点A表示7，点B表示，则点A，B之间的距离为； 当点A表示7，点B表示16，则点A，B之间的距离为； 综上，点A，B之间的距离为23或9． 故答案为：23或9． 12．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）一动点A从原点出发，规定向右为正方向，连续不断地一右一左来回动(第一次先向右移动)，移动的距离依次为2，1；4，2；6，3；8，4；10，5；12，6；14，7；.....则动点A第一次经过表示 55的点时，经过了 次移动 【思路点拨】 根据题意，记向右为正，则向左为负，动点第一次经过表示55的点时，运动的次数应为奇数；运动18次，动点位于表示的点，第19次运动为向右20，得解为19． 【解题过程】 解：记向右为正，则向左为负，由题意知，当移动次数为奇数时，向右运动，移动次数为偶数时，向左运动；动点第一次经过表示55的点时，运动的次数应为奇数； ∵ ， 而第19次运动为向右20，， ∴第一次经过表示 55的点时，经过了19次移动． 故答案为：19 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 【思路点拨】 该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论． 根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【解题过程】 解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ∴的最小值是8． 故答案为：8． 14．（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 【思路点拨】 本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法． 利用分类讨论思想，当点在线段上时且时，设点表示的数为，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点在线段上时且时，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点运动到点的左边时，那只有，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数． 【解题过程】 解：设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示， ∵M，N两点所表示的数分别是1、， ，， ， ， 解得：； 当点在线段上时且时，如图所示， ， 解得：； 当点运动到点的左边时，那只有，如图所示， ， 解得：； 故点表示的数为，或． 故答案为：，或． 15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 【思路点拨】 本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则；根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可．熟知绝对值的意义是解题的关键． 【解题过程】 解：①已知，，是非零的有理数， 当时， 则，分两种情况：一是、、皆为负数，此时； 二是、、中只有一个负数，令，、此时，故①正确； ②， ，，， 则， 由于时， 当、、皆为负数，此时与矛盾，故不存在； 、、中只有一个负数， 令，，， 原式，故②错误； ③当时，分两种情况： 当时，， 当时，， 故时的最大值为7，最小值为，故③正确； ④由且， 、互为相反数， ， ， 不妨，， 则则式子 ，故④正确； ⑤当时， 、异号， 又， 负数的绝对值大于正数的绝对值， 又， ，， ， 根据，b}， ，，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（4分）（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正有理数集合：{_______________…}； 非负数集合：{_______________…}； 非正整数集合：{_______________…}； 分数集合：{_______________…}． 【思路点拨】 本题考查了正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【解题过程】 解：由，，，， 正有理数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}； 非正整数集合：{ …}； 分数集合：{ …} 故答案为： ； ； ； ． 17．（6分）（2024七年级上·江苏·专题练习）数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，，，，0，2.5， （1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E； （2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来； ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ （3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案； （3）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案． 【解题过程】 （1）解：如图； （2）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得 ， 故答案为：，，，0，2.5，3； （3）解：对． 与之间距离等于2.5与3之间距离都是0.5． 或者与之间距离等于2.5与0之间距离是2.5． 18．（6分）（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： （1）________； （2）找出所有符合条件的整数x，使得； （3）对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； （4）若时，求x的值． 【思路点拨】 本题考查数轴和绝对值．理解并灵活运用“两数之差的绝对值表示这两个数对应的点之间的距离”是解题的关键． （1）表示7与-3的两点之间的距离，据此解答即可； （2）根据表示x与-4的两点之间的距离和x与1的两点之间的距离之和是5可知，x表示的点位于-4表示的点与1表示的点之间，据此作答即可； （3）根据表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和可知，当x表示的点位于3表示的点与6表示的点之间时，有最小值，最小值为3表示的点与6表示的点之间的距离； （4）根据两点间的距离求解即可． 【解题过程】 （1）∵表示7与的两点之间的距离， ∴． 故答案为：10； （2）∵的意义是：表示x与的两点之间的距离和x与1的两点之间的距离之和是5． ∴（x为整数）， ∴． （3）对于任何有理数x，有最小值． ∵的意义是：表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和． ∴当时，取最小值，最小值为3． （4）的意义是：表示x与的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和是9， ∵， ， ， ∴x的值为或7． 19．（6分）（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）已知：如图所示，数轴上、、三点所对应的数分别为、、． （1）在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为______；由此可得数轴上点、之间的距离为______； （2）化简：； （3）若的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是，求：的值． 【思路点拨】 （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可解答； （3）根据、、在数轴上的位置，结合题目条件得出，，，再将其代入化简后的代数式即可求解． 【解题过程】 （1）解：在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为； 在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为； 在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为； 由此可得，数轴上点、之间的距离为； 故答案为：4；6；2；； （2）根据题意，，且， ∴，，， ∴ ； （3）根据题意，的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是， ∴，，， ∴ ． 20．（6分）（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ （3）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ 【思路点拨】 （1）根据有理数的加法运算法则进行计算，然后根据正数和负数意义进行解答即可； （2）首先计算冲锋舟航行的总路程，结合冲锋舟的耗油量和油箱容量，即可获得答案； （3）分别计算航行路程记录中各点离出发点的距离，比较大小即可获得答案． 【解题过程】 （1）解： ， 答：位于地正东方向，距离地20千米； （2） （千米） （升） （升） 答：至少还需9升油； （3）航行路程记录中各点离出发点的距离分别为： ①（千米）， ②（千米）， ③（千米）， ④（千米）， ⑤（千米）， ⑥（千米）， ⑦（千米）， ⑧（千米）， ∵， ∴离最远处有25千米． 21．（9分）（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【思路点拨】 本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和的两点距离；将化为，将化为，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离； 探索材料2（填空）： ①通过观察，比较可得点P设在与之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； 结论应用（填空）： ①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【解题过程】 解：探索材料1（填空）： ， 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，6，，，． 探索材料2（填空）： ①由题知， 材料供应点P应设在的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在与之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小； 故答案为：与之间，处，之间． 结论应用（填空）： ①代数式表示x到的距离与x到的距离之和， 的最小值是； ②代数式表示x到的距离与x到与x到的距离之和， 的最小值是； ③代数式表示x到的距离与x到与x到与x到的距离之和， 的最小值是． 故答案为：，，． 22．（9分）（23-24七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】 若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是的“妙点”．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的“妙点”.又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的“妙点”，但点D是的“妙点”． 【知识应用】 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． （1）数3 (填“是”或“不是”）的“妙点”，数2 (填“是”或“不是”） 的“妙点”. （2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是的妙点，求x的值. （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案） 【思路点拨】 本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，两点之间的距离，绝对值及有理数的绝对值，一元一次方程的实际应用． （1）根据题意直接计算和到点M、N的距离即可判断； （2）根据题意可得，两边同时平方再解方程即可； （3）根据题意可求得的取值范围为，，，，然后分别列出P，A和B分别为其余两点的“妙点”时的方程求解即可． 【解题过程】 （1）解： 点M所表示的数为，点N所表示的数为4， 数3到点M的距离为，到点N的距离为， 1和5不是2倍关系， 数3不是的“妙点”； 数2到点M的距离为，到点N的距离为， 数2是的“妙点”，不是的“妙点”， 故答案为：不是，不是． （2）解：点Q是的妙点， ， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 的值为或； （3）解：由题可知：， 电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止， 即， ，， ①为“妙点”时，则 ； ②为“妙点”时，则， ； ③为“妙点”时，则， （舍去）； ④为“妙点”时，则， ； ⑤为“妙点”时，则， （舍去）； ⑥为“妙点”时，则， ； ，，时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”． 23．（9分）（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． （1）求C点对应的数； （2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【思路点拨】 （1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【解题过程】 （1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 有理数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列语句正确的个数是（    ） ①不带“”号的数都是正数  ②如果a是正数，那么一定是负数  ③不带“”号的数都是负数  ④不存在既不是正数，也不是负数的数  ⑤非正数就是负数 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24七年级上·广东佛山·期中）新西兰南岛、墨西哥与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 当北京 6 月 15 日 23 时，新西兰南岛、墨西哥的 时间分别是（　） 城市 新西兰南岛 墨西哥 时差/时 +3 -14 A．6 月 15 日 20 时；6 月 15 日 9 时 B．6 月 15  日 20 时；6 月 16  日 12 时 C．6 月 16  日 2 时；6 月 15  日 9 时 D．6 月 16  日 2 时；6 月 14  日 9 时 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（       ）km． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 15 12 8 休息 0 0 0 0 0 A．35 B．36 C．37 D．38 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 9．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知点A，B在数轴上，点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16，则点A，B之间的距离为 ． 12．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）一动点A从原点出发，规定向右为正方向，连续不断地一右一左来回动(第一次先向右移动)，移动的距离依次为2，1；4，2；6，3；8，4；10，5；12，6；14，7；.....则动点A第一次经过表示 55的点时，经过了 次移动 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 14．（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（4分）（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正有理数集合：{_______________…}； 非负数集合：{_______________…}； 非正整数集合：{_______________…}； 分数集合：{_______________…}． 17．（6分）（2024七年级上·江苏·专题练习）数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，，，，0，2.5， （1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E； （2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来； ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ （3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由． 18．（6分）（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： （1）________； （2）找出所有符合条件的整数x，使得； （3）对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； （4）若时，求x的值． 19．（6分）（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）已知：如图所示，数轴上、、三点所对应的数分别为、、． （1）在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为______；由此可得数轴上点、之间的距离为______； （2）化简：； （3）若的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是，求：的值． 20．（6分）（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ （3）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ 21．（9分）（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 22．（9分）（23-24七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】 若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是的“妙点”．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的“妙点”.又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的“妙点”，但点D是的“妙点”． 【知识应用】 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． （1）数3 (填“是”或“不是”）的“妙点”，数2 (填“是”或“不是”） 的“妙点”. （2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是的妙点，求x的值. （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案） 23．（9分）（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． （1）求C点对应的数； （2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$