第7章 【模型构建专题】 三角形中求角度的常见图形结构-【木牍中考●课时A计划】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（北师大版）

BS 数 学 8年级 上册 第七章　平行线的证明 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 类型1　“ A ”字型 　　如图是“ A ”字型的示意图，其存在等量关系： ∠1＋∠2＝∠3＋∠4. -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 1. 如图，在△ ABC 的边上有 D ， E ， F ， G 四点.根据 图中的符号和数据， x ＋ y 的值为(　B　) A. 110 B. 120 C. 160 D. 165 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 2. 如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是边 AB ， AC 上的 点.若∠ ABC ＋∠ ACB ＝α，请你用含α的代数式表示 ∠ ADC ＋∠ ABE ＋∠ AEB ＋∠ ACD 的结果. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 解：∵∠ ABC ＋∠ ACB ＋∠ A ＝180°，∠ ADC ＋ ∠ACD ＋∠ A ＝180°，∠ ABE ＋∠ AEB ＋∠ A ＝180°， ∴∠ ADC ＋∠ ACD ＝∠ ABE ＋∠ AEB ＝∠ ABC ＋ ∠ACB ＝α， ∴∠ ADC ＋∠ ABE ＋∠ AEB ＋∠ ACD ＝2α. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 类型2　“8”字型 　　如图是“8”字型的示意图，其存在等量关系： ∠1＋∠2＝∠3＋∠4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 3. 如图，点 D ， E 分别在线段 BC ， AC 上，连接 AD ， BE . 若∠ A ＝35°，∠ B ＝25°， AD ⊥ BC ，则∠ AEB 的度数为 ⁠. 80°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 4. 如图，则∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＝ ⁠°. 360　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 5. 如图， AC ， BD 相交于点 O ， BP ， CP 分别平分 ∠ABD ，∠ ACD ，且交于点 P . (1)若∠ A ＝35°，∠ ABD ＝40°，∠ D ＝45°，求∠ P 的度数. 解：(1)∠ P ＝40°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 (2)若设∠ A ＝ x ，∠ D ＝ y ，你能求出∠ P 与∠ A ，∠ D 之间的数量关系吗？用含 x ， y 的式子表示. 解：(2)由图可得∠ D ＋∠ DCP ＝∠ P＋∠ DBP 　①， ∠ A ＋∠ ABP ＝∠ P ＋∠ ACP 　②. ①＋②，得∠ D ＋∠ DCP ＋∠ A ＋∠ ABP ＝2∠ P ＋∠ DBP ＋∠ ACP . 又∵∠ DBP ＝∠ ABP ，∠ DCP ＝∠ ACP ， ∴∠ D ＋∠ A ＝2∠ P ，即∠ P ＝ ( x ＋ y ). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 类型3　“飞镖”型 　　如图是“飞镖”型的示意图，其存在等量关系： ∠ D ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 6. 如图， D 是△ ABC 内一点，已知∠ BDC ＝125°， ∠ ABD ＝30°，∠ ACD ＝20°，则∠ A 的度数 为 ⁠. 75°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 7. (1)如图1，已知∠ ABC ＝100°，∠ DEF ＝130°， 求∠ A ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ F 的度数； 解：(1)连接 AD . 易得∠ F ＋∠ FAD ＋∠ ADE ＋∠ BAD ＋ ∠ ADC ＋∠ C ＝∠ DEF ＋∠ ABC ＝230°， 即∠ BAF ＋∠ C ＋∠ CDE ＋∠ F ＝230°. 图1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 (2)如图2，已知 DE 平分∠ ADB ， CE 平分∠ ACB ，∠ A ＝24°，∠ B ＝66°，求∠ E 的度数. 　　　　　 图2　 解：(2)易得∠ ADB ＝∠ A ＋∠B ＋∠ ACB ， ∠ ADE ＝∠ A ＋∠ E ＋∠ ACE . ∵ DE 平分∠ ADB ， CE 平分∠ ACB ， ∴∠ ADB ＝2∠ ADE ，∠ ACB ＝2∠ ACE ， ∴∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝2∠ A ＋2∠ E ＋∠ ACB ， 整理得∠ E ＝ (∠ B －∠ A )＝21°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 类型4　“双角平分线”型 　　如图1， BO ， CO 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ，则 ∠ BOC ＝90°＋ ∠ A ；如图2， BO ， CO 分别平分∠ CBD 和∠ BCE ，则∠ BOC ＝90°－ ∠ A ；如图3， BO ， CO 分别平分∠ ABC 和∠ ACD ，则∠ BOC ＝ ∠ A . 图1 图2 图3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 8. 如图，在△ ABC 中， BO ， CO 分别是∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线.若∠ BOC ＝115°，则∠ A ＝ ⁠. 50°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 9. 如图，在△ ABC 中， BD ， CD 分别平分∠ ABC ， ∠ ACB ， BG ， CG 分别平分△ ABC 的两个外角∠ EBC ， ∠ FCB ，则∠ D 和∠ G 的数量关系为 ⁠ ⁠. ∠ D ＋∠ G ＝ 180°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 10. 如图1，在△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ，且与△ ABC 的外角∠ ACE 的平分线相交于点 D . (1)若∠ ABC ＝75°，∠ ACB ＝45°，则∠ D 的度数 为 ⁠； 30°　 图1　　　　　　　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 解：(2)2∠ D ＋180°＝∠ BMN ＋∠ CNM . 理由：由题易得∠ A ＝2∠ D . ∵∠ A ＋∠ AMN ＋∠ ANM ＝180°， ∴∠ A ＋∠180°－∠ BMN ＋180°－∠ CNM ＝180°， 即2∠ D ＋180°＝∠ BMN ＋∠ CNM . (2)若把∠ A 截去(如图2)，得到四边形 MNCB ，猜想 ∠ D ，∠ BMN ，∠ CNM 之间的关系，并说明理由. 图2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -‹#›- 【模型构建专题】　三角形中求角度的常见图形结构 $$