第1章 勾股定理 综合练习-【木牍中考●课时A计划】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（北师大版）

BS 数 学 8年级 上册 第一章综合练习 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角 三角形的是(　B　) A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 9，12，15 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 2. 已知一个直角三角形的木板，其三边长的平方和为 1800 cm2，则斜边长为(　A　) A. 30 cm B. 80 cm C. 90 cm D. 120 cm A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 3. 如图，分别以直角三角形三边向外作正方形，其中 数字表示该正方形的面积，那么正方形 A 的面积是(　C　) A. 60 B. 164 C. 360 D. 400 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 4. 已知一个三角形的三边长分别为 a ， b ， c ，且它们 满足( a ＋ b )2－ c2＝2 ab ，则该三角形的形状为(　B　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 5. 如图，为了求出分别位于池塘两岸的点 A ， B 的距 离，小亮在点 C 处立一标杆，使∠ ABC ＝90°，测得 AC 的长为85 m， BC 的长为75 m，则点 A 与点 B 的距离 是(　D　) A. 55 m B. 50 m C. 45 m D. 40 m 第5题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 6. 某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美 化环境，全校师生一起动手，在空地的三条边上栽上了 树苗(如图).已知三边上的树苗数分别为6，14，13，空 地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗间距均为1 米，那么这块空地的形状为(　A　) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 第6题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 7. 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾 股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直 角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一 个正方形组成.若设图1中空白部分的面积为 S1，图2中 空白部分的面积为 S2，则下列等式成立的是(　C　) C 图1 图2 A. S2＝ c2 B. S2＝ c2＋ ab C. S1＝ a2＋ b2＋ ab D. S1＝ a2＋ b2＋2 ab 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 8. 一个无盖的圆柱形杯子，底面直径长为12 cm、高为 16 cm，将一根长24 cm的竹筷子放入其中，杯口外面露 出一部分.甲、乙、丙、丁四名同学测量露在外面一部 分的长度，他们测量的结果分别是：甲：3 cm，乙：6 cm，丙：9 cm，丁：12 cm，则测量结果正确的可能是 (　B　) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 9. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，底边上的高 AD ＝ 4， AB ＋ AC ＋ BC ＝16，这个三角形的边长为(　A　) A. AB ＝ AC ＝5， BC ＝6 B. AB ＝ AC ＝4.5， BC ＝7 C. AB ＝ AC ＝6， BC ＝2 D. AB ＝ AC ＝4， BC ＝8 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 10. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙 CD 的距离为2寸，点 C 和点 D 距离门槛 AB 都为1尺(1尺＝10寸)，则 AB 的长是(　C　) C A. 50.5寸 B. 52寸 C. 101寸 D. 104寸 图1 图2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11. 若3，4， a 和7， b ，25是两组勾股数，则 a ＋ b 的值 是 ⁠. 12. 如图，∠ BAC ＝90°， AB ＝4， AC ＝4， BD ＝7， DC ＝9，则∠ DBA 的度数为 ⁠. 29　 45°　 第12题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 13. 如图，圆柱底面的周长为8 dm，圆柱高为3 dm，在 圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈 金属丝的周长最小是 dm. 第13题图 10　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 14. 如图，点 E ， F 分别在 AB ， CD 上， AF ⊥ CE ，垂 足为点 O ，∠ BFD ＝∠ C . 已知 AF ＝4， BF ＝3. (1)线段 AB 的长为 ⁠； (2)点 F 到直线 AB 的距离为 ⁠. 5　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 如图，从帐篷支撑竿 AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子 AC 固定帐篷，若绳子的长度为6米，固定点 C 到帐篷支 撑竿底部 B 的距离是4.8米，求帐篷支撑竿 AB 的长. 解：在Rt△ ABC 中， AC ＝6米， BC ＝4.8米， AC ＝ ＝3.6(米). 答：帐篷支撑竿 AB 的长为3.6米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 16. 如图，在△ ABC 中， AB ＝3， AC ＝4， BC ＝5. (1)直接写出△ ABC 的形状： ⁠； 直角三角形　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 (2)若 P 为线段 AC 上一点，连接 BP ，且 BP ＝ CP ，求 AP 的长. 解：(2)在Rt△ ABP 中，∠ A ＝90°， 所以 AB2＋ AP2＝ BP2， 因为 BP ＝ CP ， AP ＋ CP ＝ AC ＝4， AB ＝3， 所以32＋ AP2＝(4－ AP )2，所以 AP ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 图1是由20个边长为1的正方形组成的，按如图所示 的方法分割成5个部分(内部的粗实线表示分割线).若图1 中分割成的直角三角形两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，请你利用图1中的5个部分在图2中拼接成一个能够证 明勾股定理的大正方形. 图2 图1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 解：如图所示即为拼接成的大正方形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 18. 在某段公路的正上方有一个摄像头 A 距离地面7 m， 一天李叔叔驾驶的汽车沿公路笔直匀速行驶，当行驶到 B 点时，第一次摄像，此时 A ， B 两点相距25 m，1.5 s 后第二次摄像，此时恰好行驶到 A 点正下方 C 点处，已 知该路段限速60 km/h，请判断李叔叔是否超速？并说 明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 解：李叔叔没有超速.理由如下： 在Rt△ ABC 中，由勾股定理得 BC ＝ ＝24， v ＝24÷1.5＝16(m/s)＝57.6(km/h). 因为57.6＜60，所以李叔叔没有超速. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 观察下列等式： 第1个等式：(12－1)2＋22＝22； 第2个等式：(22－1)2＋42＝52； 第3个等式：(32－1)2＋62＝102； 第4个等式：(42－1)2＋82＝172； 第5个等式：(52－1)2＋102＝262； …… 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 (1)写出你猜想的第 n 个等式： ⁠ (用含 n 的等式表示， n 为正整数)，并证明. 解：(1)证明：左边＝ n4－2 n2＋1＋4 n2＝ n4＋2 n2＋1， 右边＝( n2＋1)2＝ n4＋2 n2＋1， 所以左边＝右边，所以等式成立. ( n2－1)2＋(2 n )2＝( n2＋ 1)2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 (2)我们知道，若三个整数能构成直角三角形的三条边 长，则称这三个数为勾股数(如：3，4，5).现有一直角 边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若 能，请利用(1)中得出的等式算出这组勾股数；若不能， 请说明理由. 解：(2)它的三边长能为勾股数.理由如下： 因为35＝36－1＝62－1， 当 n ＝6时，(62－1)2＋(2×6)2＝(62＋1)2， 即352＋122＝372， 所以它的三边长能为勾股数，为12，35，37. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 20. 如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落 在 BC 边上 F 点处.已知 CE ＝3 cm， AB ＝8 cm，求图中 阴影部分的面积. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 解：由折叠可知△ ADE 和△ AFE 关于 AE 成轴对称， 所以 AF ＝ AD ， EF ＝ DE ＝ DC － CE ＝5， 所以 CF ＝4. 设 BF ＝ x cm，则 AF ＝ AD ＝ BC ＝ x ＋4. 在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得82＋ x2＝( x ＋4)2， 解得 x ＝6，所以 BC ＝10. S阴影＝ S矩形 ABCD －2 S△ ADE ＝80－50＝30(cm2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 六、(本题满分12分) 21. 阅读下列解题过程： 已知 a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，且满足 a2 c2－ b2 c2＝ a4－ b4，试判断△ ABC 的形状. 解：因为 a2 c2－ b2 c2＝ a4－ b4，　第一步 所以 c2( a2－ b2)＝( a2－ b2)( a2＋ b2)， 第二步 所以 c2＝ a2＋ b2， 第三步 所以△ ABC 是直角三角形. 回答下列问题： (1)上述解题过程，从第 步开始出现错误，错误的 原因为 ⁠. 三　 忽略了 a2－ b2＝0的情况　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 (2)请你将正确的解答过程写下来. 解：(2)因为 a2 c2－ b2 c2＝ a4－ b4， 所以 c2( a2－ b2)＝( a2－ b2)( a2＋ b2)， 所以 c2( a2－ b2)－( a2－ b2)( a2＋ b2)＝0， 所以( a2－ b2)[ c2－( a2＋ b2)]＝0， 所以 a2－ b2＝0或 c2－( a2＋ b2)＝0. 所以 a ＝ b 或 c2＝ a2＋ b2， 所以△ ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 七、(本题满分12分) 22. 如图1，圆柱形容器的高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点 A 处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁点 A 处沿着最短路径到 达内壁点 B 处. 图1 图2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 (1)如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿 CD 上确定一 点 P ，使蚂蚁沿 A — P — B 路线爬行，路程最短. 解：(1)如图所示，点 P 即为所求. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 (2)结合图形，求出蚂蚁爬行的最短距离. 解：(2)过点 B 作 BE ⊥ AC 于点 E . 在Rt△ A1 BE 中，由勾股定理， 得 A1 B2＝ A1 E2＋ BE2＝162＋122＝400， 所以 A1 B ＝20 cm. 答：蚂蚁爬行的最短距离是20 cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 八、(本题满分14分) 23. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝10 cm， AC ＝6 cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以2 cm/s的速 度移动，设运动的时间为 t s. (1)求 BC 边的长； 解：(1) BC ＝8 cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 (2)当△ ABP 为直角三角形时，求 t 的值； 解：(2)由题意知 BP ＝2 t cm，有两种情况： ①当∠ APB 为直角时，点 P 与点 C 重合， BP ＝ BC ＝8 cm，即 t ＝4； ②当∠ BAP 为直角时， BP ＝2 t cm， CP ＝(2 t －8)cm， 在Rt△ ACP 中， AP2＝ AC2＋ CP2， 在Rt△ BAP 中， AP2＝ BP2－ AB2， 所以62＋(2 t －8)2＝(2 t )2－102，解得 t ＝ . 故当△ ABP 为直角三角形时， t ＝4或 t ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 (3)当△ ABP 为等腰三角形时，求 t 的值. 解：(3)有三种情况： ①当 AB ＝ BP ＝10 cm时， t ＝5； ②当 AB ＝ AP 时， BP ＝2 BC ＝16 cm，所以 t ＝8； ③当 BP ＝ AP 时， AP ＝ BP ＝2 t cm， CP ＝(8－2 t )cm， AC ＝6 cm，在Rt△ ACP 中， AP2＝ AC2＋ CP2， 所以(2 t )2＝62＋(8－2 t )2，解得 t ＝ . 综上所述，当△ ABP 为等腰三角形时， t ＝5或 t ＝8或 t ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 -‹#›- 第一章综合练习 $$