专题01 勾股定理（考题猜想，易错必刷30题6种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

专题01 勾股定理（易错必刷30题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 勾股定理 · 勾股定理的证明 · 勾股定理的逆定理 · 勾股数 · 勾股定理的应用 · 平面展开-最短路径问题 一．勾股定理（共13小题） 1．如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DCE＝（　　） A．75° B．90° C．120° D．135° 2．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 3．在△ABC中，，AC＝2，∠B＝30°，求BC的长（　　） A．4 B．2 C．4或6 D．2或4 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则线段CE的长为（　　） A． B．2 C． D． 5．如图，Rt△ABC的两条直角边BC＝6，AC＝8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3﹣S1的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 7．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（　　） A． B．2018 C． D．1 8．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为　 　cm． 9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　． 10．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD．若CD＝6，则BE的长为 　 　． 11．如图，由图中的信息可知点P表示的数是 　 　． 12．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2． （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 证明：由图可知S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH， ∵S正方形ABED＝c2，S△ABC＝　 　， 正方形CFGH边长为 　 　， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即a2+b2＝c2． 【深入思考】 如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB＝BD，∠ABD＝90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E． （2）求证：DE＝a，BE＝b； （3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2＝c2； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”．若a＝12，b＝9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 13．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 二．勾股定理的证明（共1小题） 14．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 三．勾股定理的逆定理（共6小题） 15．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15 16．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 17．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 18．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系（a2﹣c2+b2）2+|a﹣b|＝0，则△ABC的形状为 　 　． 19．如图，∠ADC＝90°，AD＝16cm，CD＝12cm，AB＝29cm，BC＝21cm． （1）求AC的长度； （2）求阴影部分面积． 20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． （Ⅰ）直接写出线段AC、CD、AD的长； （Ⅱ）求∠ACD的度数； （Ⅲ）求四边形ABCD的面积． 四．勾股数（共4小题） 21．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 22．若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　） A． B．5 C．5或7 D．5或 23．满足a2+b2＝c2的三个正整数a、b、c，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（　　） A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D． 24．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　 　． 五．勾股定理的应用（共4小题） 25．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（　　）cm． A．10 B．15 C．20 D．25 26．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 27．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 　 　米． 28．3月13日，微电影城的吴桥国际马戏团宣传车从O处出发，以3m/s的速度向北偏东30度的方向移动（如图所示），宣传车在移动过程中进行无中断宣传播报，距宣传车方圆15m范围内会受到宣传车噪音的严重影响．已知凤凰中学位于点O的正北方向点A处且相距24m． （1）凤凰中学的学生是否会受到该宣传车噪音的严重影响？写出你的结论并予以说明． （2）若受到的影响，求出严重影响的时间． 六．平面展开-最短路径问题（共2小题） 29．已知长方体的长、宽、高分别为6，3，5，一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为（　　） A．14 B． C．10 D． 30．如图为某教学楼楼梯，测得楼梯的底为5米，高为3米，为使学生在上下楼时有序上下，想在楼梯表面中间贴上隔离条，隔离条的长度至少需要 　 　． $$专题01 勾股定理（易错必刷30题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 勾股定理 · 勾股定理的证明 · 勾股定理的逆定理 · 勾股数 · 勾股定理的应用 · 平面展开-最短路径问题 一．勾股定理（共13小题） 1．如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DCE＝（　　） A．75° B．90° C．120° D．135° 【答案】D 【解答】解：连接BD， 由题意得：BD2＝12+22＝5， CD2＝12+22＝5， BC2＝12+32＝10， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝90°， ∵BD＝CD＝， ∴∠DBC＝∠DCB＝45°， ∴∠ACB+∠DCE＝180°﹣∠DCB＝135°， 故选：D． 2．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6， ∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 3．在△ABC中，，AC＝2，∠B＝30°，求BC的长（　　） A．4 B．2 C．4或6 D．2或4 【答案】D 【解答】′解：①如图：△ABC为锐角三角形． 过点A作AD⊥BC于点D． ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵∠B＝30°，AB＝2， ∴AD＝． ∴BD＝＝3． ∵AC＝2， ∴CD＝C′D＝＝1． ∴BC＝BD+CD＝3+1＝4． ②如图：△ABC为钝角三角形． 过点A作AD⊥BC于点D． 由①可得：BD＝3，CD＝1． ∴BC＝BD﹣CD＝2． 故选：D． 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则线段CE的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：连接BE， ∵ED是AB的垂直平分线， ∴EB＝EA， ∵AC＝8， ∴设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x， ∵∠C＝90°，CB＝6， ∴CB2+CE2＝BE2， ∴62+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝， ∴CE＝， 故选：A． 5．如图，Rt△ABC的两条直角边BC＝6，AC＝8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3﹣S1的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【解答】解：由题意得，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAB，AD＝AB， ∴△EAD≌△CAB（SAS）． ∴S4＝S△ABC． 又∵∠ABK＝∠BGH，∠KAB＝∠HBG，AB＝BG， ∴△ABK≌△BGH（ASA）． ∴S△ABK＝S△BGH． ∴S△ABC+S△BCK＝S1+S△BCK． ∴S△ABC＝S1＝S4． 又由题意可设S四边形ADHC＝x，S△BCK＝y， ∴，，． ∵AC2+BC2＝AB2， ∴S3+S4+x+S2+y＝S1+x+y+S△ABC． ∴S3+S4+S2＝S1+S△ABC． 又∵S△ABC＝S1＝S4， ∴S3+S2＝S1． ∴S2+S3＝S1． ∴S2+S3﹣S1＝0． 故选：D． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝＝4， ∵A'B+A'C≥BC， ∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1， ∴A'B的最小值为1， 故选：B． 7．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（　　） A． B．2018 C． D．1 【答案】C 【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，OP4＝， …， 以此类推，OP2018＝． 故选：C． 8．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为　8　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为S＝SA+SB+SC+SD＝64cm2，则最大的正方形的边长为＝8cm． 9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　34　． 【答案】34． 【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形， ∴BD⊥AC， ∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°， 在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9， 在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25， ∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34， 在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2， 在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2， ∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34， 故答案为：34． 10．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD．若CD＝6，则BE的长为 　9.6　． 【答案】9.6． 【解答】解：∵AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴AC2+BC2＝82+62＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵CD＝6， ∴AD＝＝＝10， ∵BE⊥AD， ∴△ABD的面积＝BD•AC＝AD•BE， ∴BD•AC＝AD•BE， ∴12×8＝10BE， 解得：BE＝9.6， 故答案为：9.6． 11．如图，由图中的信息可知点P表示的数是 　﹣2﹣　． 【答案】﹣2﹣． 【解答】解：∵＝＝， ∴点P表示的数是﹣2﹣， 故答案为：﹣2﹣． 12．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2． （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 证明：由图可知S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH， ∵S正方形ABED＝c2，S△ABC＝　ab　， 正方形CFGH边长为 　（a﹣b）　， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即a2+b2＝c2． 【深入思考】 如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB＝BD，∠ABD＝90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E． （2）求证：DE＝a，BE＝b； （3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2＝c2； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”．若a＝12，b＝9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）ab；（a﹣b）；（2）证明见解析；（3）第一种方法：S梯形ACED＝ab++c2；第二种方法：S梯形ACED＝（a+b）2；证明解析；（4）393． 【解答】（1）解：由题意得，S△ABC＝ab． ∵图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形， ∴BF＝AC＝b． ∴正方形CFGH边长为：BC﹣BF＝a﹣b． 故答案为：ab；（a﹣b）． （2）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DBE+∠BDE＝90°． ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABC+∠DBE＝90°． ∴∠ABC＝∠BDE． 又∠C＝∠BED＝90°，AB＝BD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）． ∴BC＝DE＝a，AC＝BE＝b． （3）证明：由题意，第一种方法：S梯形ACED＝S△ABC+S△ABD+S△BED ＝ab+c2+ab ＝ab++c2． 第二种方法：S梯形ACED＝（AC+DE）（CB+BE） ＝（a+b）（a+b） ＝（a+b）2． ∴（a+b）2＝ab++c2． ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2． ∴a2+b2＝c2． （4）解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ∴AD+BD＝108÷4＝27． 又设AD＝x， ∴BD＝27﹣x． 在△BCD中，BC2+CD2＝BD2， ∴a2+（b+x）2＝（27﹣x）2． 将a＝12，b＝9代入可得，（9+x）2+144＝（27﹣x）2， ∴x＝7． 由（1）得小正方形的边长等于a﹣b＝12﹣9＝3， ∴风车的面积为：BC×CD×4+3×3＝×12×（9+7）×4+9＝393． 13．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，理由见解答； （4）30． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c． ∴S2＝π2＝，S3＝π（）2＝，S1＝π（）2＝， ∵+＝， ∴S1+S2＝S3； （4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． ∴阴影部分的面积＝直角三角形面积 ∴阴影部分的面积＝5×12÷2＝30． 二．勾股定理的证明（共1小题） 14．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①， ∵（m+n）2＝21， ∴m2+n2+2mn＝21②， ①+②得2（m2+n2）＝26， ∴大正方形的面积为：m2+n2＝13， 故选：B． 三．勾股定理的逆定理（共6小题） 15．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15 【答案】B 【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵12+（）2＝3，（）2＝3， ∴12+（）2＝（）2， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； C、∵42+62＝52，82＝64， ∴42+62≠82， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵122+52＝169，152＝225， ∴122+52≠152， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 16．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】D 【解答】解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形； B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC为直角三角形； C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形； D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形． 故选：D． 17．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 【答案】B 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∵CD＝8m，AD＝17m， ∴AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积 ＝AB•BC+AC•CD ＝×9×12+×15×8 ＝54+60 ＝114（m2）， ∴这块菜地的面积为114m2， 故选：B． 18．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系（a2﹣c2+b2）2+|a﹣b|＝0，则△ABC的形状为 　等腰直角三角形　． 【答案】等腰直角三角形． 【解答】解：∵（a2﹣c2+b2）2+|a﹣b|＝0， ∴a2﹣c2+b2＝0，a﹣b＝0， ∴a2+b2＝c2，a＝b， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 19．如图，∠ADC＝90°，AD＝16cm，CD＝12cm，AB＝29cm，BC＝21cm． （1）求AC的长度； （2）求阴影部分面积． 【答案】（1）AC的长度为20cm； （2）阴影部分面积为114． 【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，AD＝16cm，CD＝12cm， ∴AC＝＝＝20（cm）， ∴AC的长度为20cm； （2）∵AB＝29cm，BC＝21cm，AC＝20cm， ∴AC2+BC2＝202+212＝841，AB2＝292＝841， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴阴影部分面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积 ＝AC•BC﹣AD•CD ＝×20×21﹣×16×12 ＝210﹣96 ＝114， ∴阴影部分面积为114． 20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． （Ⅰ）直接写出线段AC、CD、AD的长； （Ⅱ）求∠ACD的度数； （Ⅲ）求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）由题意得： AC＝＝2， CD＝＝， AD＝＝5， ∴线段AC的长为2，线段CD的长为，线段AD的长为5； （Ⅱ）由（1）得： AC2＝（2）2＝20， CD2＝（）2＝5， AD2＝52＝25， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴∠ACD的度数为90°； （Ⅲ）如图： 由题意得： 四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积 ＝BC•AE+AC•CD ＝×4×4+×2× ＝8+5 ＝13， ∴四边形ABCD的面积为13． 四．勾股数（共4小题） 21．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 22．若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　） A． B．5 C．5或7 D．5或 【答案】B 【解答】解：∵3、4、a为勾股数， ∴当a最大时，此时a＝＝5， 当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数， 故选：B． 23．满足a2+b2＝c2的三个正整数a、b、c，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（　　） A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D． 【答案】A 【解答】解：A．7，24，25是满足a2+b2＝c2的三个正整数，故本选项符合题意； B．32，42，52是不满足a2+b2＝c2的三个正整数，故本选项不符合题意； C．1.5，2，2.5不全是正整数，故本选项不符合题意； D．，，不全是正整数，故本选项不符合题意； 故选：A． 24．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　（11，60，61）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 五．勾股定理的应用（共4小题） 25．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（　　）cm． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【解答】解：根据题意可得图形：AB＝8cm，BC＝6cm， 在Rt△ABC中：AC＝＝＝10（cm）． ∴10+5＝15（cm）． 则这只铅笔的长度为15cm． 故选：B． 26．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故选：D． 27．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 　7.5　米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设树的高度为x米． ∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15， ∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x， 在Rt△ACD中根据勾股定理得， CD2+AC2＝AD2， x2+100＝（20﹣x）2， x＝7.5， 故答案为：7.5． 28．3月13日，微电影城的吴桥国际马戏团宣传车从O处出发，以3m/s的速度向北偏东30度的方向移动（如图所示），宣传车在移动过程中进行无中断宣传播报，距宣传车方圆15m范围内会受到宣传车噪音的严重影响．已知凤凰中学位于点O的正北方向点A处且相距24m． （1）凤凰中学的学生是否会受到该宣传车噪音的严重影响？写出你的结论并予以说明． （2）若受到的影响，求出严重影响的时间． 【答案】（1）凤凰中学的学生会受到该宣传车噪音的严重影响，理由见解析；（2）6s． 【解答】解：（1）凤凰中学的学生会受到该宣传车噪音的严重影响，理由如下： 如图，过点A作AG⊥OB于点G， ∵∠AOB＝30°，OA＝24m， ∴在Rt△AOG中，AG＝OA＝12m＜15m． ∴凤凰中学的学生会受到该宣传车噪音的严重影响． （2）如图，设宣传车移动到点C，D时，AC＝AD＝15m， ∴CD＝2CG． 在Rt△ACG中，CG＝＝9m， ∴CD＝18m． ∴严重影响的时间为＝＝6（s）． 答：严重影响的时间为6s． 六．平面展开-最短路径问题（共2小题） 29．已知长方体的长、宽、高分别为6，3，5，一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为（　　） A．14 B． C．10 D． 【答案】C 【解答】解：分三种情况： ①若蚂蚁沿前面和上面爬行，将前面和上面展平，连接PA，如图， 由题意，可知此时PA为爬行的最短路线，∠B＝90°，AB＝6，PB＝3+5＝8， 由勾股定理，得PA＝＝＝10； ②若蚂蚁沿前面和右面爬行，将前面和右面展平，连接PA，如图， 由题意，可知此时PA为爬行的最短路线，∠B＝90°，AB＝6+3＝9，PB＝5， 由勾股定理，得PA＝＝＝； ③若蚂蚁沿左面和上面爬行，将左面和上面展平，连接PA，如图， 由题意，可知此时PA为爬行的最短路线，∠B＝90°，AB＝3，PB＝5+6＝11， 由勾股定理，得PA＝＝＝． ∵10＜＜， ∴蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为10． 故选：C． 30．如图为某教学楼楼梯，测得楼梯的底为5米，高为3米，为使学生在上下楼时有序上下，想在楼梯表面中间贴上隔离条，隔离条的长度至少需要 　8米　． 【答案】8米． 【解答】解：∵隔离条铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴隔离条的长度至少是3+5＝8（米）． 故答案为：8米． $$