精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二年级第一学期开学数学活动 一、填空题 1. 设集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据集合交集的概念与运算，可得. 故答案为：. 2. 等比数列中，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案． 【详解】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以， 故答案为：． 3. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的意义,被开方数大于等于零,结合正弦函数的图象及性质即可求解. 【详解】由题意知,,即, 因为正弦函数有, 所以,解得， 所以函数的定义域为. 故答案为: 【点睛】本题考查函数定义域的求解;属于基础题.函数定义域的求解一般从三个方面考虑: 当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; 当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为; 当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 4. 已知向量，满足，则，的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及其运算律计算即可. 【详解】由题意可知：， ∴， . 故答案为： 5. 函数的部分图像如图所示，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，再求出，再结合，从而可求解. 【详解】由题中图象可得，周期，则， 又，则，所以，， 又因为，所以可得，则. 故答案为：. 6. 已知函数是上的奇函数，当时，，当时，的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时,,由题意求出的表达式,再利用奇函数的性质即可求解. 【详解】当时,，因为时，， 所以,即, 因为，所以, 故答案为: 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式;属于基础题、常考题型. 7. 设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__． 【答案】 【解析】 【详解】由已知, 是与的等比中项，则 则 ，当且仅当时等号成立 故答案为2 【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键． 8. 在中，，，则面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合余弦定理推论可求得,进而求得,利用平面向量数量积的定义可求得的值,再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】在中因为， 所以由余弦定理的推论知,, 因为，所以, 因为，即,解得, 所以的面积. 故答案为: 【点睛】本题主要考查三角形的余弦定理和三角形的面积公式;其中余弦定理与平面向量数量积结合是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 9. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 【答案】； 【解析】 【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1． 考点:等比数列的通项公式． 10. 若、、均为平面单位向量，且，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用平面向量数量积的运算律，辅助角公式及三角函数的有界性计算即可. 【详解】设，则， ， 其中， 因为、均为平面单位向量，所以， 则， 即， 而根据三角函数的有界性知，所以， 此时， 即. 故答案为：. 11. 设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是_____（写出所有真命题的代号）． 【答案】BC 【解析】 【详解】试题分析：因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合.A.由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，中所有直线均经过一个定点不可能，故A不正确；B.存在定点不在中的任一条直线上,观察点即符合条件,故B正确；C.由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线, 所以对于任意整数,存在正边形,其所有边均在中的直线上,故C正确；D.如图,中的直线所能围成的正三角形有两类,其一是如是圆的外切三角形,此类面积都相等,另一类是在圆同一侧,如型,此一类面积相等,但两类之间面积不等,所以面积大小不一定相等,故本命题不正确,故选BC. 考点：1、直线系的性质；2、圆的外切多边形的性质. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察直线系的性质、以及圆的外切多边形的性质、数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，考查知识跨度较大，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 12. 函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，然后可得当时不合题意，进而即得；或等价于恒成立，即恒成立，进而即得. 【详解】法一：令，解得（负值舍去）， 当时，， 当时，， 且当时，总存在，使得， 故， 若，易得， 所以， 即实数的取值范围为； 法二：原命题等价于任意， 所以恒成立， 即恒成立，又， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 二、选择题 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解. 【详解】由题意1i是关于的实系数方程 ∴，即 ∴，解得. 故选：D． 15. 已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得，再根据两直线的位置关系判断即可. 【详解】解：因为，，成等差数列，所以，即， 对于直线与直线，满足， 所以直线与直线重合. 故选：D 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（ ） A. ①和②都为真命题 B. ①和②都为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得，结合可得，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可. 【详解】对于①：设等差数列的公差为， 则，所以， 即为公差为的等差数列， 若为和谐数列，则， 即，则， 所以关于的二次函数，开口向上， 所以在上一定存在最小值，所以①正确； 对于②：取， 则，且, 为和谐数列等价于， 证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列， 即证，即证， 当时，上式左边为负数，显然成立； 当时，即证，即证，（*） 设，， 则在上单调递增，可得， 即（*）式成立，所以②正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：命题②的关键点在于取一个公比为负数的等比数列说明其存在性. 三、解答题 17. 已知（为常数），且方程有两个实根为，. （1）求函数的解析式； （2）当时，解关于的不等式：. 【答案】; 【解析】 【分析】将分别代入方程,构造关于的方程组，解方程组求出的值即可; 利用中函数的解析式将不等式化为一个分式不等式的形式，然后转化为同解的整式不等式即可求解． 【详解】将分别代入方程得 , 解得， 所以函数的解析式为; 因为函数的解析式为， 所以不等式即为,可化为, 当时，不等式的解集为, 即原不等式解集为. 【点睛】本题考查函数解析式的求法和分式不等式的解法；把分式不等转化为同解的整式不等式是求解本题的关键;在解答时，易忽略的符号不确定，而错解为;属于中档题. 18. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以有，即求出的值；（2）分离参数，因为，所以不等式等价于，使得不等式恒成立，只要即可求出的范围． 试题解析（1）因为函数是定义域为的偶函数，所以有， 即，即，故. （2），且在上恒成立， 故原不等式等价于在上恒成立， 又，所以，所以，从而， 因此，. 19. 某公园有三个警卫室A、B、C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. （1）保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x、y的值； （2）若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时） 【答案】（1），； （2）小时. 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量模的公式结合题意进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因此建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设保安甲从C出发小时后达点D，所以有， 设，由， 即， 当时，， 由 ； 【小问2详解】 设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为， 于是有， 因为对讲机在公园内的最大通话距离超过3千米，两人不能通话， 所以有，所以 ，或， 而，所以有， 因为， 所以两人约有小时不能通话. 20. 如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线的方程，得到答案； （2）联立直线方程求出直线交点的坐标，进而求得的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，由，即可得到答案； （3）根据有解问题最值法，先分离变量，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解． 【详解】（1）依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． （2）由题意，因为， 可得直线OA方程为，直线AB方程为， 联立方程组，解得， 因为，所以或， 又由，解得，∵，∴ 所以 由弦长公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． （3）由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且， 所以，可得的最大值为， 因为关于S的不等式有解， 所以实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题，属于难题． 21. 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列. （1）求； （2）求证：在数列中、但不在数列中的项恰为； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）① 任意，设， 则，即; ② 假设（矛盾），∴ ∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为. （3） 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ，，, ∵, ∴当时，依次有，……, ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第一学期开学数学活动 一、填空题 1. 设集合，则___________. 2. 等比数列中，若，，则_____． 3. 函数的定义域是__________. 4. 已知向量，满足，则，的夹角为________． 5. 函数的部分图像如图所示，则___________． 6. 已知函数是上的奇函数，当时，，当时，的解析式为__________. 7. 设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__． 8. 在中，，，则面积为__________. 9. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 10. 若、、均为平面单位向量，且，则的坐标为________． 11. 设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是_____（写出所有真命题的代号）． 12. 函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________. 二、选择题 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（ ） A. ①和②都为真命题 B. ①和②都为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题 17. 已知（为常数），且方程有两个实根为，. （1）求函数的解析式； （2）当时，解关于的不等式：. 18. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 某公园有三个警卫室A、B、C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. （1）保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x、y的值； （2）若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时） 20. 如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 21. 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列. （1）求； （2）求证：在数列中、但不在数列中的项恰为； （3）求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $