精品解析：湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题

湖北省2025届高三（9月）起点考试 数学试卷 命题单位：荆州市教科院 审题单位：恩施州教科院 宜昌市教科院 2024.9 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合间的运算即可求解. 【详解】解：， ， ， 故. 故选：C. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数后可求，从而可得复数在复平面中的对应点，故可得正确的选项. 【详解】，故，其对应的点为， 该点在第四象限， 故选：D. 4. 将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得总体平均数，然后利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，总体平均数为97， 从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，情况如下： 选到95，96，则样本平均数为95.5，所以， 选到95，97，则样本平均数为96，所以， 选到95，98，则样本平均数为96.5，所以， 选到95，99，则样本平均数为97，所以， 选到96，97，则样本平均数为96.5，所以， 选到96，98，则样本平均数为97，所以， 选到96，99，则样本平均数为97.5，所以， 选到97，98，则样本平均数为97.5，所以， 选到97，99，则样本平均数为98，所以， 选到98，99，则样本平均数为98.5，所以， 所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为． 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. 或7 B. 或 C. 7或-7 D. -7或 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式可求，故可求的值. 【详解】因为，故， 故，故，故， 故选：B. 6. 已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 设的中点为，连接，则， 故即，故为的中点， 因为三点共线，故存在实数，使得， 故，而， 因为不共线，故即， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：C. 7. 一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】几何体为两个半圆锥构成，根据圆锥的体积可求该几何体的体积. 【详解】 ，而为三角形内角，故， 故，故，故， 故几何体的体积为 故选：A. 8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，依题意可得恒成立，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】令，则恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而得到. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为 C. 函数的所有零点构成的集合为 D. 函数在上是增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】利用倍角公式求出，再求其周期判断A的真假；利用辅助角公式化简与，分析函数的性质，判断B，C，D的真假. 【详解】对A：，所以.故A错误； 对B：因为， 当即时，函数有最大值，故B正确； 对C：由，故C正确； 对D：， 由，故D错误. 故选：BC 10. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解. 【详解】对A，满足， 令， 则，即， 又为偶函数，，故A对； 对B，， ， 故的周期， 再根据，即， 的图象关于点成中心对称，故B对； 对C，由B知：的周期， 故， ， 令， 则， 又当时， ， 即， 即， ， 故，故C错误； 对D，满足， 关于中心对称， 又当时， 在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， ，故D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 11. 在平面直角坐标系中，已知点是曲线上任意一点，过点向圆引两条切线，这两条切线与的另一个交点分别为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 的周长的最小值为 D. 的面积的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】分别对直线，的斜率是否存在进行讨论，对各种情况下各选项的内容进行判断即可. 【详解】如图，不妨设点位于第一象限，直线在圆的左边，直线在圆的右边. 首先，若直线的斜率不存在，则，， 设直线的方程为：即. 因为直线与圆相切，所以， 此时直线：与曲线只有1个交点，不合题意； 其次，若直线的斜率不存在，则，， 设直线的方程为：即. 因为直线与圆相切，所以， 此时直线：，所以. 此时：，，，. 所以，故A不成立； 直线：，由得直线与圆相切，故B成立； 因为，所以的周长为，满足C选项； ，满足D选项. 最后，直线，的斜率都存在时： 设（且），，. 所以， 所以直线的方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以：. 同理可得：. 所以为方程的两根. 所以：，. 又直线的方程为：， 点到直线的距离为：. 所以直线与圆相切，故B正确； 又， 又，点到直线的距离为：. 所以. 令，， . 设 当时，恒成立. 所以当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 又因为，，所以. 所以，符合D. 综上可知，的面积的最小值为，故D正确. 又的内切圆半径为1，所以， 所以. 即周长的最小值为，故C错误. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：若的内切圆半径为，三边长分别为，则，故求周长的最小值，可以利用三角形面积的最小值来求. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知某种商品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的对应数据如下表： 1 3 4 5 7 14 18 30 42 46 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当广告费为10万元时，销售额预测值为__________万元. 【答案】66 【解析】 【分析】先根据经验回归方程过样本中心点求出，再将代入经验回归方程即可求解. 【详解】解：由题意知：， ， 将样本中心点代入， 即，解得：，故， 将代入， 即. 故答案为：66. 13. 过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出过焦点的直线方程和渐近线方程后可求三角形的面积. 【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为的直线过右焦点， 由双曲线可得渐近线方程为， 双曲线的半焦距为，故右焦点坐标为， 过倾斜角为的直线方程为， 由可得交点坐标为， 由可得交点坐标为， 倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为， 故答案为：. 14. 已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得. （1）__________；（写出所有可能的取值） （2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则__________. 【答案】 ①. ②. 1047 【解析】 【分析】①根据题意代入即可求解；②先根据题意分析出具有性质的 项，易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ，再根据等差数列求和即可求解. 【详解】当时，， 当时，，或 ， 当时，，或，或时有或， 当时，，或，或时有或，或时有或或， 综上所述：的所有可能取值为：. 中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故， ，即具有性质， 则易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ， . 故答案为：；1047. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义问题的求解，涉及到根据新定义求解数列中的项、数列求和等知识；关键是能够准确理解所给的新定义，得到所给数列性质与等差数列之间的关系. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【小问1详解】 由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 . ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 16. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 又且，平面，所以平面， 且平面，故，同理，， 平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 在平面中， 设平面的一个法向量为， 则，可取 由（1）知，平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则 故所求的夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和椭圆上一点，求的值，确定椭圆的标准方程. （2）分类讨论.当直线存在斜率不为0或不存在时，设直线方程，与椭圆处联立，消去，得到关于的一元二次方程，用韦达定理表示出与，再把转化成的关系，求出的值即可. 【小问1详解】 联立 得，故所求椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图： 易知. ①当斜率为0时，或，不符合题意. ②当斜率不为0或不存在时,设，设，， 联立 消去得. 所以， 由得，代入以上两式消去得. 故，化为一般方程为. 18. 如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为. （1）已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； （2）求的分布列和数学期望； （3）设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 【答案】（1）或 （2） X 0 1 2 P . （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得. （2）根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望. （3）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 故，解得或. 【小问2详解】 由题知， 时分3类情形， ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态； ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态， 通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态， 所以， 同理， ， 所以所求的分布列为 X 0 1 2 P 所以所求数学期望. 【小问3详解】 设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”， 则， ， 则. 故. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（Pade approximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示. （i）当且时，试比较与的大小； （ii）当时，求证：. 【答案】（1）减区间为，无增区间 （2） （3）（i）答案见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，判断导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）采用分离常数的方法得（），设，求在上的最小值即可. （3）（i）构造函数，利用函数的单调性及，比较与的大小；（ii）利用（i）的结论，进行证明. 【小问1详解】 当时，，则. 所以的减区间为，无增区间. 【小问2详解】 因为在上恒成立， 所以，所以（） 设，则 再设，则， 则在上恒成立，所以在单调递增， 所以， 所以在上恒成立，所以在单调递增， 所以. 又在上恒成立，所以. 【小问3详解】 （i）记，则， 所以在上单调递增，而， 于是，当时，，当时，. （ii）当时，原不等式即. 由于当时，，所以， 当时，也成立. 所以对任意的恒成立. 在中取，则有，也即， 所以（a） 记函数， 由于，所以只需考虑的符号， 易知在上单调递减，在上单调递增，. 所以（b） 由（a）（b）得， 故. 【点睛】方法点睛：求参数的取值范围问题，一般思路有： （1）分离参数，把参数分离出来，问题转化为不含参数的函数的值域问题，通过求函数的值域求解参数的取值范围. （2）直接求函数的值域，此时可能要根据参数的值进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省2025届高三（9月）起点考试 数学试卷 命题单位：荆州市教科院 审题单位：恩施州教科院 宜昌市教科院 2024.9 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 或7 B. 或 C. 7或-7 D. -7或 6. 已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为 C. 函数的所有零点构成的集合为 D. 函数在上是增函数 10. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知点是曲线上任意一点，过点向圆引两条切线，这两条切线与的另一个交点分别为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 的周长的最小值为 D. 的面积的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知某种商品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的对应数据如下表： 1 3 4 5 7 14 18 30 42 46 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当广告费为10万元时，销售额预测值为__________万元. 13. 过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________. 14. 已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得. （1）__________；（写出所有可能的取值） （2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求的方程. 18. 如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为. （1）已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； （2）求的分布列和数学期望； （3）设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（Pade approximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示. （i）当且时，试比较与的大小； （ii）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $