精品解析：黑龙江省哈尔滨市松雷中学2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

2024—2025年度上学期九年级数学试题 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 由下列线段a，b，c可以组成直角三角形的是( )． A. a=1，b=2，c=3 B. a=b=1，c= C. a=4，b=5，c=6 D. a=2，b=2，c=4 3. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等边三角形 4. 正比例函数的图象经过( )象限． A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 5. 斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ） A. 500sinα米 B. 米 C. 500cosα米 D. 米 6. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠ABO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 7. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，OC＝5，则弦AB的长是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（　 ） A. 2 B. C. D. 9. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，D是边上一点，交于点E，连接，交于点F，则下列结论错误的是（ ）. A. B. C. D. 二、填空题；（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 在平行四边形中，若，则__________． 13. 已知是方程的一个根，则______． 14. 在菱形中，，，菱形的面积为______． 15. 关于x的一元二次方程没有实数解，则m的取值范围是___________． 16. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=__． 17. 已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是______cm． 18. 如图，切于两点，是的直径，若，则的度数是______． 19. 在矩形中，点E在边上，是以为一腰的等腰三角形，若，，则线段的长为______． 20. 如图，是的中线，， ，，求线段的长________． 三、解答题：（21﹣22题每题7分，23﹣24题每题8分，25﹣27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值．其中a＝2sin60°+tan30°． 22. 解下列三角形： 如图，在中，，，，求． 23. 如图1，图2所示，正方形网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形；请按要求画出符合条件的格点三角形． （1）在图1中，画出以为直角边的等腰直角三角形； （2）在图2中，画出以为一边的等腰三角形；且保证一个内角的正切值为并直接写出的面积 24. 在中，点D在边上，E是线段的中点，过A作，交线段的延长线于F，连接，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设交于点G，H是线段的中点，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中四个面积等于面积3倍的三角形． 25. 随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆． （1）若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 26. 如图，等腰中，，为的直径，交于点D，弦于点E； （1）如图1，求证：； （2）如图2，交于点G，连接交直径于点H，求证：； （3）如图3，过点H作于点N，若，，求的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，已知，． （1）求直线的解析式： （2）如图2，点P是x轴负半轴上一点，点C在线段上，连接，，，使，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与b的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线绕着点A逆时针旋转，交线段于点Q，点G是y轴负半轴上一点，连接，若，的周长为8，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年度上学期九年级数学试题 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、，未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程是解答本题的关键． 2. 由下列线段a，b，c可以组成直角三角形的是( )． A. a=1，b=2，c=3 B. a=b=1，c= C. a=4，b=5，c=6 D. a=2，b=2，c=4 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系,就是直角三角形,没有这种关系,就不是直角三角形． 【详解】A.因为1+2≠3,故不能围成直角三角形,此选项错误， B.因为1+1≠() ,故不能围成直角三角形止此选项错误， C.因为4+5≠6,故不能围成直角三角形,此选项错误， D.因为2+(2) =4,能围成直角三角形,此选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握运算法则是解题关键 3. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：、平行四边形不一定是轴对称图形，故符合题意； B、长方形是轴对称图形，正确，故不符合题意； C、菱形是轴对称图形，正确，故不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，正确，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4. 正比例函数的图象经过( )象限． A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 5. 斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ） A. 500sinα米 B. 米 C. 500cosα米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】 ， . 故选A. 6. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠ABO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据直径CD⊥AB，可得弧AD=弧BD，则∠DOB=2∠C=50°．则∠B=90°-50°=40° 故选C 考点：圆周角定理；垂径定理 7. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，OC＝5，则弦AB的长是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解． 【详解】解：连接AO， ∵CD＝1，OC＝5， ∴OD＝5﹣1＝4， 根据勾股定理， AD＝＝＝3， ∴AB＝3×2＝6， 因此弦AB的长是6． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用. 能求出AB=2AD和AD的长是解题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦. 8. 如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（　 ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知∠，即得，从而求出，再根据∠的正切函数即可求得结果. 【详解】由题意得∠，，， ，，，解得. 故选B. 9. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得水的最大深度的长． 【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA， 由垂径定理得：， ∵⊙O的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴水的最大深度为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决． 10. 如图，中，D是边上一点，交于点E，连接，交于点F，则下列结论错误的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴选项A、B、C正确，选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题；（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠-3 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须x+3≠0， ∴x≠-3． 故答案为：x≠-3． 12. 在平行四边形中，若，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行四边形的邻角互补可得，然后解方程组求出，再根据平行四边形的对角相等可得． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等，邻角互补的性质，需熟记． 13. 已知是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 14. 在菱形中，，，菱形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据题意画出草图，利用菱形的性质结合可知为等边三角形，得到对角线的长，再根据勾股定理可求得对角线的长，即可求得菱形的面积． 【详解】解：如图，四边形是菱形， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 关于x的一元二次方程没有实数解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程的判别式． 16. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=__． 【答案】80° 【解析】 【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=40°， ∴∠BOD=2∠C=80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 17. 已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆的半径为， ， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，切于两点，是的直径，若，则的度数是______． 【答案】##42度 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、圆的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键．首先根据切线的性质定理可得，再结合易得，进而求得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵切于两点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 在矩形中，点E在边上，是以为一腰的等腰三角形，若，，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理等知识； 熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键. 分两种情况：此时点是的中垂线与的交点； 在直角中，利用勾股定理求得的长度，然后求得的长度即可. 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ①当时，点是的中垂线与的交点，； ②当时，在中，，则 ， ， 综上所述，线段的长为或， 故答案为： 或. 20. 如图，是的中线，， ，，求线段的长________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义，作垂线构造直角三角形是解题关键．作，求出；根据求出，进而可得；再根据求出，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵， ， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题：（21﹣22题每题7分，23﹣24题每题8分，25﹣27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值．其中a＝2sin60°+tan30°． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号里的加法，最后算除法，计算a的值，并把a的值代入化简后的式子中即可求得结果的值． 【详解】 当时，原式 【点睛】本题是化简求值题，考查了分式的混合运算，特殊角三角函数的计算，关键是分式的化简及三角函数式的计算． 22. 解下列三角形： 如图，在中，，，，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，作过点A作于点D，先在直角三角形中运用30°角的直角三角形的性质得到和长，然后在中运用勾股定理计算即可求出长． 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 如图1，图2所示，正方形网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形；请按要求画出符合条件的格点三角形． （1）在图1中，画出以为直角边的等腰直角三角形； （2）在图2中，画出以为一边的等腰三角形；且保证一个内角的正切值为并直接写出的面积 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形，解直角三角形等知识，解题的关键是数形结合． （1）以点为旋转中心，将逆时旋转得到，最后连接即可； （2）根据勾股定理可得，则取，此时，再连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 24. 在中，点D在边上，E是线段的中点，过A作，交线段的延长线于F，连接，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设交于点G，H是线段的中点，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中四个面积等于面积3倍的三角形． 【答案】（1） 证明: ∵是线段的中点, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点定义得出, 根据平行线的性质得出, 即可证明, 根据平行四边形的性质得出, 即可求证； （2）通过证明,得出, 则, 推出 通过证明四边形是平行四边形，得出根据, 得出，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解: 由(1) 可得：, 则, ∵, ∴, ∴, ， ,, ∴,, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵, ∴， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中线的性质，解题的关键是关键是掌握全等三角形对应边相等，相似三角形对应边成比例. 25. 随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆． （1）若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 【答案】（1）该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为 （2）小区最多可建室内车位个 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键． （1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到辆列一元二次方程求出x的值，进一步计算即可； （2）设该小区可建室内车位a个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的倍，据此列一元一次不等式组，求出a的取值范围，据此即可解答． 【小问1详解】 解：设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 答：该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为． 【小问2详解】 解： 设该小区可建室内车位a个，则露天车位个， 根据题意可得：， 解得：， ∵a为整数， ∴小区最多可建室内车位个． 答：小区最多可建室内车位个． 26. 如图，等腰中，，为的直径，交于点D，弦于点E； （1）如图1，求证：； （2）如图2，交于点G，连接交直径于点H，求证：； （3）如图3，过点H作于点N，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则，然后根据三线合一得到，然后根据同角的余角相等得到，即可证明结论； （2）连接，然后利用证明，得到结论； （3）连接，设则，根据平行线分线段成比例得到即可求出半径，然后利用勾股定理求出长，然后利用，解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解:如图,连接. 设则 ∵， ∴， ， ， ， ， ∵是直径, , ， ，即， 解得或 (舍去)， ，， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形那个的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，作辅助线构造直径所对的圆周角是解题的关键． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，已知，． （1）求直线的解析式： （2）如图2，点P是x轴负半轴上一点，点C在线段上，连接，，，使，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与b的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线绕着点A逆时针旋转，交线段于点Q，点G是y轴负半轴上一点，连接，若，的周长为8，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）作于，可证得，，从而得出，进一步得出结果； （3）作于，作，交的延长线于，可证得，从而，进而推出，从而，设，可推出，从而推出，所以，设，则，，根据勾股定理得方程，从而得出，进而在中，由勾股定理得出的长，从而求得结果． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 如图， 作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 如图， 作于，作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $