精品解析：湖南省怀化市雅礼实验学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

怀化市雅礼实验学校2024年秋季学期入学考试九年级数学试卷 说明事项： 1.本试卷共26题，满分120分，考试时间：120分钟； 2.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等信息在答题卡上填写清楚； 3.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试卷上答题无效； 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在y轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 4. 已知一组数据，，，0.4141141114…（每两个4之间的1依次增加）这组数据中，无理数出现的频数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（ ） A. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 三角形的中位线等于第三边的一半 D. 以上都不正确 9. 如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点E在线段上，动点在线段上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C. 菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 10. 矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在函数，自变量x取值范围是_________． 12. 一次函数y=kx+5中，y随x增大而减小，则k的取值范围是____. 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为_____． 14. 一个多边形内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______． 15. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 17. 定义新运算：规定，例如，若，则x的值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴的正半轴上，点D，B的坐标分别为，，过点D的正比例函数的图像上有一点P，且，将的图像沿y轴向下平移得到的图像．若点P落在长方形的内部（不含边界），则b的取值范围是______． 三、解答题（共66分） 19. 先化简，再求值：，其中x满足方程：． 20 解方程：3x（x-2）=4（2-x） 21. 如图，已知平行四边形ABCD，点OBD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长． 22. 为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示： 组别 次数 频数（人数） 第1组 6 第2组 8 第3组 第4组 18 第5组 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的 ； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）这个样本数据的中位数落在第 组； （4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）在时为达标，计算该班学生测试成绩达标率为多少． 23. 如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 24. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 25. 对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 例：若是方程的两个根，不解方程，求的值． 解：由题意，根据根与系数的关系得：， ∴． 根据上面材料，解答下列问题： （1）已知是方程的两根，则 ， ． （2）设是方程的两个根，求下列各式的值： ①； ②． （3）关于x的方程的两实数根满足，求k的值． 26. 如图1，直线与轴交于点，且经过定点，直线与轴交于点，直线与交于点，连接． （1）填空：直线解析式为________，直线解析式为 ，点C坐标为 ； （2）①在y轴上动点Q使的周长最短？请求点Q的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？求出点N坐标； （3）如图2，点为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交轴于点，当为直角三角形时，直接写出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀化市雅礼实验学校2024年秋季学期入学考试九年级数学试卷 说明事项： 1.本试卷共26题，满分120分，考试时间：120分钟； 2.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等信息在答题卡上填写清楚； 3.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试卷上答题无效； 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 在y轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上的点横坐标为0，可得，从而求出点的坐标，即可解答．熟练掌握轴上的点横坐标为0是解题的关键． 【详解】解：∵在y轴上， ∴，则，， ∴点在第四象限． 故选：D． 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法即可求解． 【详解】解：、，能构成直角三角形，符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 4. 已知一组数据，，，0.4141141114…（每两个4之间的1依次增加）这组数据中，无理数出现的频数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，频数的定义，先根据无理数的定义，即无限不循环小数，确定无理数的个数，在根据频数的定义，落在各类分组中的数据个数，即可得出频数． 【详解】解：在四个数据中，，是有理数， 只有0.4141141114…（每两个4之间的1依次增加）一个无理数， ∴无理数出现的频数是1， 故选：A． 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再在等式两边同时加上4，即可得到答案，将一元二次方程配成的形式是解题的关键． 【详解】解：∵， 移项得， 配方可得， 即， 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 7. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 8. 如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（ ） A. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 三角形的中位线等于第三边的一半 D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，点D为的中点，， ∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，为对角线中点，，动点E在线段上，动点在线段上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C. 菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题分为五个阶段，开始与点O重合、远离点O、位于线段中点、逐渐靠近终点和到达终点．根据矩形的性质得，，则有，由轴对称性得．则有和，可判定，则四边形是平行四边形；当E，F，O三点重合时，，则有，故四边形是菱形；当E，F分别为，的中点时，设，则，，可证明是等边三角形，结合勾股定理和对称性可得，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，则四边形是矩形；当F，E分别与D，B重合时，，都是等边三角形，则四边形 是菱形． 【详解】解：如图2所示，当E，F，O三点重合时，， ∴，即， ∴四边形是菱形． 如图1中， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴， ∵对称， ∴． ∵对称 ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 如图3所示，当E，F分别为，的中点时，设，则，， 在中，，，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵E为中点， ∴，， ∴． 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 四边形是矩形． 当F，E分别与D，B重合时，，都是等边三角形，则四边形 是菱形， ∴在整个过程中，四边形 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形性质、对称性、平行四边形的判定、菱形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理逆定理和等边三角形的性质，解题的关键是熟悉对称性和利用动态思维解题． 10. 矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，反比例函数中的面积问题，割补法表示面积；由三角形面积得，割补法表示面积得，即可求解；能通过两种方法表示面积是解题的关键. 【详解】解：∵矩形中，，， ，，， ∵双曲线()的图象分别交，于点E，F， ，， ， 根据图示： , 又， , 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， ； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在函数，自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 故答案为：． 12. 一次函数y=kx+5中，y随x增大而减小，则k的取值范围是____. 【答案】k<0 【解析】 【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k＜0即可． 【详解】∵一次函数y=kx+5中，y随x的增大而减小， ∴k<0， 故答案为：k<0． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题的关键是注意理解：k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 14. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：． 所以此多边形的边数为12． 故答案为：12． 15. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，先根据菱形的面积求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】由题意得：，解得： ∵ ∴ 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 定义新运算：规定，例如，若，则x的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 18. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴的正半轴上，点D，B的坐标分别为，，过点D的正比例函数的图像上有一点P，且，将的图像沿y轴向下平移得到的图像．若点P落在长方形的内部（不含边界），则b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，坐标与图形，根据D点坐标得到直线解析式，过点P作轴，交于点E，则，将点E、F坐标代入可得b的取值范围． 【详解】解：点在直线上， ， 直线的解析式为， 设点， 是直线的点，且， ， 解得：（不合题意，舍去）， 点， 过点P作轴，交于点E，      ， 设直线平移后的解析式为， 将点坐标代入得，， 解得， 将点坐标代入得，， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 先化简，再求值：，其中x满足方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．先计算括号内的，再将除法变为乘法化简，根据题意解方程，再根据分式有意义的条件确定的值，代入到化简结果计算即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：，， 要分式有意义，则且且， 当时， 原式． 20. 解方程：3x（x-2）=4（2-x） 【答案】 【解析】 【分析】按照因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴ 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，已知平行四边形ABCD，点O为BD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长． 【答案】(1)见解析;(2) AE =1. 【解析】 【分析】（1）先根据“SAS”证明△DOE≌△BOF，从而ED=BF，再根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形即可证得结论成立； （2）过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，可证△ABH是等腰直角三角形，从而求出BH=HA=3，设AE=x，则EB=ED=6－x，在Rt△BHE中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠ADB=∠CBD， 又∵点O为AD中点，∴BO=OD ∵在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF， ∴ED=BF， ∴四边形BEDF是平行四边形. （2）如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H， ∵∠BAD=135°， ∴∠BAH=45° 在Rt△ABH中，AB=3， ∴BH=HA=3， 设AE=x， ∵四边形BEDF为菱形， ∴EB=ED=6－x 在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2， ∴32+（3+x）2=（6－x）2 解得：x=1 ， ∴AE =1. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理.证明证明△DOE≌△BOF是解（1）的关键，正确做出辅助线，运用勾股定理列方程是解（2）的关键. 22. 为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示： 组别 次数 频数（人数） 第1组 6 第2组 8 第3组 第4组 18 第5组 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的 ； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）这个样本数据的中位数落在第 组； （4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）在时为达标，计算该班学生测试成绩达标率为多少． 【答案】（1）12 （2）见解析 （3）3 （4） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数统计表等知识，解题关键是认真观察、分析、研究统计图表． （1）根据各组频数之和等于学生总人数列式计算即可得解； （2）根据图表数据补全条形统计图即可； （3）根据中位数的定义找出第25、26两人所在的组即可； （4）用第3、4、5组的人数之和除以学生总人数，计算即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意，可得， 解得； 故答案为：12； 【小问2详解】 解：补全频率分布直方图如下所示： 【小问3详解】 解：∵按照跳绳次数从少到多，第25、26两人都在第3组， ∴中位数落在第3组； 故答案为：3； 【小问4详解】 解：∵， ∴该班学生测试成绩达标率为． 23. 如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（）先把代入得到，再把代入可求出，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （）先求出直线与轴交点的坐标，然后利用进行计算； （）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使． 【小问1详解】 解：∵将代入的得， ∴反比例函数解析式为， ∵代入得， 解得， ∵和代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴，轴， ∵由（）得：直线的解析式为，和， ∴直线与轴交于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵不等式， ∴， ∴由图象可知当或时，一次函数的函数图象在反比例函数图象的下方， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式，观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式，掌握反比例函数的性质及一次函数的性质是解题的关键． 24. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 25. 对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 例：若是方程的两个根，不解方程，求的值． 解：由题意，根据根与系数的关系得：， ∴． 根据上面材料，解答下列问题： （1）已知是方程的两根，则 ， ． （2）设是方程的两个根，求下列各式的值： ①； ②． （3）关于x的方程的两实数根满足，求k的值． 【答案】（1），2 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数、完全平方公式的应用和一元二次方程根的分布情况，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． （1）根据给定的算法代入即可求得； （2）先根据给定根与系数关系找到对应的关系，再将①；②代入求解即可； （3）根据题意列出和，求得，结合有两个根得，解得，当时，求得；当时，求得，找到满足要求得即可． 【小问1详解】 解：是方程的两根， 则，， 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：是方程的两个根， 则，， ①； ②； 【小问3详解】 ∵方程的两实数根， ∴， ， ， ， 解得，， 当时，，即，解得，； 当时，，即，解得，， ∵， ∴方程无实根 ∴k的值为． 26. 如图1，直线与轴交于点，且经过定点，直线与轴交于点，直线与交于点，连接． （1）填空：直线解析式为________，直线解析式为 ，点C坐标为 ； （2）①在y轴上的动点Q使的周长最短？请求点Q的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？求出点N坐标； （3）如图2，点为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交轴于点，当为直角三角形时，直接写出点E的坐标． 【答案】（1），， （2）①；②，或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）①先求出点B的坐标，然后作点B关于y轴的对称点，则直线与y轴的交点即为点Q的坐标； ②设点N的坐标为，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标解题即可； （3）分为和两种情况画图，解题即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； 把代入得， ∴点C的坐标为， 在把代入得，解得， ∴直线解析式为； 故答案为：，，； 【小问2详解】 ①令，则，解得， ∴点B的坐标为， 作点B关于y轴的对称点，则的坐标为， ∴的周长最短时，点在直线上， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为； ②设点N的坐标为， 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为，或； 【小问3详解】 解：由题可得， 当时，如图， 则， ∴， 当时，，解得， ∴点A的坐标为， 过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； 当时，如图， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$