精品解析：安徽省多校联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学试题 考生注意： 1、答题前、考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】先求出，再求交集. 【详解】,则.则. 故选：A. 2. 某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ） A. 53 B. 74 C. 78 D. 83 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将8位同学考试的物理成绩从小到大排列：， 由，所以数据的第60百分位数为. 故选：C. 3. 已知，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用充分，必要条件知识，结合幂函数单调性可解. 【详解】,则，且在单调递增.故. 反过来，如果，则,可以为负数.推不出. 故“”是的充分不必要条件. 故选：Ａ． 4. 已知命题，为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而转化为不等式在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由命题，为假命题， 可得命题，为真命题， 即不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 5. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求出，再由夹角公式求解. 【详解】因为，在上的投影向量为， 所以， 所以， 所以， 由，可知. 故选：B 6. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，运用中位线性质，找出异面直线所成角，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图，取中点，连接.则， 且，则四边形为平行四边形，则. 由图则异面直线所成角为或其补角， 中，，，. 由余弦定理可知. 异面直线所成角的余弦值为. 故选：D. 7. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在定义域内，保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.列不等式求解即可. 【详解】根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.可得，解得. 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小. 【详解】，即. ,即. 综上知道. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 为纯虚数 【答案】CD 【解析】 【分析】先将化简成，再分别比对解出答案即可. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故选项A错误； 对于B，因为，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，为纯虚数，故选项D正确. 故选：CD. 10. 已知函数当时，取得最大值2，且与直线最近的一个零点为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D. 若为奇函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】先化简，当时取得最大值2，求出. 与直线最近的一个零点为，求出，继而求出. 则可求.然后算出最小正周期，单调增区间，对称中心，结合图象变换，逐项验证即可. 【详解】根据题意，化简， 当时取得最大值2，则. 与直线最近的一个零点为，则，则，则. 则.当时取得最大值，则，， 则 ，则，则的最小正周期为，A正确； 令则则的单调递增区间为故B错误; 的图象向右平移个单位长度得到,故C正确； ，由于为奇函数， 则令，则.故D错误. 故选：AC. 11. 已知定义域为函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 为奇函数 C. 是周期为4的函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解. 【详解】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确. 则，的图象关于直线对称, 则，则, 则，则是周期为4的函数.则C正确. 令，则由，知，则..故D正确. 前面式子推不出，故B错误. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量满足，，且，则______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量满足， 因为，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 13. 小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为__________ 【答案】##0.56 【解析】 分析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况.运用独立事件概率乘法公式分别求出概率，再相加即可. 【详解】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会. 则小耿与小吴恰有1人会答的概率为. 故答案为：. 14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意计算可得，，，再设出该圆台的外接球球心，借助球的性质得到，再代入数据计算即可得. 【详解】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影， 为该圆台的外接球球心， 由该圆台的侧面积为，则有， 即， 由下底面半径比上底面半径大，则有， 由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即， 又，即有， 则，即，则， 则有， 即，即，即， 设该圆台的外接球半径为，则, 故该圆台的外接球体积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出该圆台的外接球球心，从而借助勾股定理得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为． （1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） （2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用频率之和为1，求出m,再用平均值计算公式算出平均值即可；（2）先按照分层抽样确定和内的学生人生，再结合列举法，用古典概型求解概率即可. 【小问1详解】 频率之和为1,则，解得. 则,则平均分成绩为. 【小问2详解】 根据分层抽样，知道和内的学生比为. 则抽取的5人中有2个来自层，设为．3个来自层，设为. 再从这5人中随机抽取2人,总共有10种可能，分别为:. 这2人成绩都在内的有,共3种.故所求概率为. 16. 已知的内角的对边分别为，向， （1）求； （2）若，求的面积的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量的数量积公式，再用正弦定理边角互化，最后用余弦定理计算即可； （2）用第一问的结论，结合基本不等式可解. 【小问1详解】 即， 由正弦定理角化边得，即， 则,由于,则. 【小问2详解】 ，，则，即， 由不等式知道，（当且仅当取最值），即. 由三角形面积公式知道，（当且仅当取最值）. 故的面积的最大值为. 17. 已知 （1）求的值； （2）已知，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用两角差的正弦展开，平方，得到，联立求出，再求和即可. （2）运用同角三角函数关系式，求出，再运用两角和的余弦公式求出，进而得到. 【小问1详解】 ，运用差角公式展开，得， 化简得，， 两边平方，即，则， 由于，则. 则.，联立解得， 则. 【小问2详解】 ，则，. . 由于，，则，则. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，分别为棱的中点，． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线可得线线平行，再由线面平行判定定理得线面平行，由面面平行判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的大小即可. 【小问1详解】 连接，如图， 由分别为棱的中点， 可得， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面平面，是两平面的交线，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， 以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则， 所以， 则， 设平面的法向量， 则，令，可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 由图知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的大小为. 19. 已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数 （1）求的值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先运用待定系数法求出指数函数解析式，再用奇函数性质求出； （2）将不等式问题运用奇函数性质转化为，再考虑的单调性，脱去括号，后转化为二次函数最值即可； （3）将零点问题转化为有两个不同根，运用奇函数性质脱括号，有两个不同根即可,再用换元法，转化为二次方程根的问题即可. 【小问1详解】 设，函数过，代入，即，解得，则. 定义域为的奇函数，则，解得，则， 由于，解得，则. 检验：，则满足题意. 则. 【小问2详解】 ，即， 即存在，使得成立. 由于，越大，则由指数单调性知道越大， 则也变大，变小，变小.则在定义域内单调递减. 即存在，使得成立. 即存在，使得. 则对于，使得即可. 对于， ，则. 【小问3详解】 恰有2个零点,即有两个不同根. 即有两个不同根. 由于是定义域为的奇函数且单调递减， 则有两个不同根即可. 则有两个不同根即可. 令，q与x个数一一对应，转化为有两个不同正根即可. 满足，解得，即 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试题 考生注意： 1、答题前、考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ） A. 53 B. 74 C. 78 D. 83 3. 已知，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题，为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量满足，且在上投影向量为，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 为纯虚数 10. 已知函数当时，取得最大值2，且与直线最近一个零点为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D. 若为奇函数，则 11. 已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 为奇函数 C. 是周期为4的函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 已知向量满足，，且，则______． 13. 小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为__________ 14. 已知一个圆台侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为． （1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） （2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率． 16. 已知的内角的对边分别为，向， （1）求； （2）若，求的面积的最大值 17. 已知 （1）求的值； （2）已知，求的值 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，分别为棱的中点，． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小． 19. 已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数 （1）求的值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数恰有2个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$