4.2 平行线-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(华东师大版2024)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 【知识归纳】 同位角、内错角、同旁内角各自的关系如下表: 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在两 条 被 截 直 线的同一方,在 截线的同一侧 形如字母“F” (满 足任何形状的放 置) 内错角 在两 条 被 截 直 线的内部,在截 线的两侧 形如字母“Z” (满 足任何形状的放 置) 同旁内角 在两 条 被 截 直 线的内部,在截 线的同侧 形如字母 “ U” 或 “n”(满足任何形 状的放置) 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:1. 三线八角. 2. 同位角、内错角、同旁内角. 反思:培养学生积极参与、主动探索的学习习惯,学 会总结几何规律. 4. 2　 平行线 4. 2. 1　 平行线 激趣导入 如图,分别将木条 a,b 与木条 c 钉在一起,并把它们想 象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线. 顺时 针转动 a. 想象一下,在这个过程中,有没有直线 a 与直 线 b 不相交的情况呢? 【说明与建议】 说明:由模型中的相交向平行变化,比较直观,学生易于 接受. 建议:可以让学生旋转木条,体会变化过程,体验平行时 两条直线的位置关系. 命题角度 1　 平行线的识别 1. 下列说法正确的是(　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 同一平面内没有公共点的两条线段平行 B. 两条不相交的直线是平行线 C. 同一平面内没有公共点的两条直线平行 D. 同一平面内没有公共点的两条射线平行 2. 下列生活实例:①交通路口的斑马线;②天上的彩虹; ③百米跑道线;④一段平直的火车铁轨线. 其中属于 平行线的有　 ①③④　 . (填序号) 命题角度 2　 画平行线 3. 根据下列要求作图. (1)如图①,过点 A 作 MN∥BC; (2)如图②,过点 P 作 PE∥OA,交 OB 于点 E,过点 P 作 PH∥OB,交 OA 于点 H. ①　 　 　 　 　 　 ② 解:(1)(2)如图. 命题角度 3　 平行线基本事实及其推论 4. 过直线 l 外一点 A 作 l 的平行线,可以作(　 A　 ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 5. 若直线 a∥b,b∥c,则 a∥c 的依据是 　 如果两条直线 都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平 行　 . 一、教学目标 1. 让学生理解在同一平面内的两条直线的位置关系 只有相交和平行. 2. 让学生理解平行公理,并会过直线外一点作已知 直线的平行线. 二、教学重难点 重点:平行线的定义、公理和推论. 难点:平行公理及推论的应用. 一、复习导入 　 　 简述一下同位角、内错角、同旁内角的特征. 解:同位角在两条被截直线的同一方,在截线的同一 侧,形如字母“F”;内错角在两条被截直线的内 部,在截线的两侧,形如字母“Z”;同旁内角在两 条被截直线的内部,在截线的同侧,形如字母 “U”或“n” . 85 二、探究新知 问题 1 　 利用身边的学习用品,同桌合作,制作如图 所示的图形,思考回答: 直线 a 绕着点 M 转动的过程中,两条直线 a、b 有怎 样的位置关系? 答:相交或平行. 【知识归纳】 (1)在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线, 直线 a 与直线 b 互相平行,记作“a∥b” . (2)在同一平面内,两条不重合的直线的位置关系 只有两种:相交或平行. 问题 2 　 如果没有“在同一平面内”,不相交的两条 直线平行吗? 答:在立体图形中,不一定平行. 问题 3 　 你能按照如图所示的方法,过直线 a 外一 点 P,画一条直线 b 与已知直线 a 平行吗? 可以画 多少条? 　 答:能. 一条. 【知识归纳】 1. 用三角尺画平行线的方法:一放二移三过四画. (1)一放:一个三角尺的一边与已知直线重合,将 直尺与这个三角板另外一条边重合; (2)二移:移动与已知直线重合的三角板; (3)三过:这个三角板过已知点; (4)四画:画出这条直线. 2. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行. 问题 4 　 如图,分别过点 C、D 画直线 AB 的平行线, 你画的两条直线平行吗? 　 解:平行. 如图, 【知识归纳】 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直 线也互相平行. 几何符号语言:因为 b∥a,c∥a,所以 b∥c. 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:平行线的概念与表示、画法及基本事实. 反思:培养学生积极动手的能力,并使其获取成功的 喜悦感,感受数学与生活的密切联系. 4. 2. 2　 平行线的判定 复习导入 1. 填空:过直线外一点　 有且只有一条直线　 与这条直 线平行. 2. 画图,已知直线 AB,点 P 在直线 AB 外,用直尺和三角 尺画通过点 P 的直线 CD,使 CD∥AB. 3. 思考:在画平行线的过程中,三角尺起什么作用. 【说明与建议】 说明:复习平行公理及用直尺和三角尺画平行线,为引 出平行线的判定做好铺垫. 建议:在问题情境中,让学生根据已有的知识经验进行 思考. 命题角度 1　 根据图形隐含的角相等或互补的条件,判 定是哪两条直线平行 1. 下 列 图 形 中, 由 ∠1 = ∠2 能 得 到 AB ∥CD 的 是(　 A　 ) 2. 如图,下列条件不能判定直线 a∥b 的是(　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ∠1 = ∠4 B. ∠3 = ∠5 C. ∠2+∠5 = 180° D. ∠2+∠4 = 180° 命题角度 2　 根据要判定平行的直线,选择角相等或互 补的条件 3. 如图,下列说法错误的是(　 C　 ) 95 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 A. 若 a∥b,b∥c,则 a∥c B. 若∠1 = ∠2,则 a∥c C. 若∠3 = ∠2,则 b∥c D. 若∠3+∠4 = 180°,则 a∥c 4. 如图,量得∠1 = ∠2 = ∠3. (1)从∠1 = ∠2,可以推出 　 a∥b 　 ,根 据　 内错角相等,两直线平行　 ; (2)从∠2 = ∠3,可以推出　 c　 ∥　 d　 ,根据　 同位 角相等,两直线平行　 . 命题角度 3　 灵活运用判定方法判定平行 5. 如图为平面上五条直线 l1,l2,l3,l4,l5 相交的情形,根 据图中标示的角度,下列叙述正确的是(　 C　 ) A. l1 和 l3 平行,l2 和 l3 平行 B. l1 和 l3 平行,l2 和 l3 不平行 C. l1 和 l3 不平行,l2 和 l3 平行 D. l1 和 l3 不平行,l2 和 l3 不平行 6. 如图,下列条件:①∠1 = ∠2;②∠A+∠C = 180°;③∠B+∠2 = 180°且 CD∥EF;④ ∠2+∠3 = 180°且 AB∥EF. 其中能判定 AB ∥CD 的有　 ②③④　 . (填序号) 命题角度 4　 通过阅读推理过程填空 7. 如图,在三角形 ABC 中,CD⊥AB 于点 D, E 是 AC 上一点,且∠1+∠2 = 90°. 试说明: DE∥BC. 解:∵ CD⊥AB(已知), ∴ ∠1+　 ∠EDC　 = 90°(　 垂直定义　 ) . ∵ ∠1+∠2 = 90°(已知), ∴ 　 ∠EDC　 = ∠2(　 同角的余角相等　 ) . ∴ DE∥BC(　 内错角相等,两直线平行　 ) . 命题角度 5　 利用平行线的判定方法解决实际问题 8. 一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方 向上行驶,那么两次拐弯的角度可能为(　 D　 ) A. 第一次右拐 60°,第二次右拐 120° B. 第一次右拐 60°,第二次右拐 60° C. 第一次右拐 60°,第二次左拐 120° D. 第一次右拐 60°,第二次左拐 60° 9. 如图,一个弯形管道 ABCD 的拐 角∠ABC = 130°, ∠BCD = 50°, 这 时 说 管 道 AB ∥ CD, 是 根 据　 同旁内角互补,两直线平行　 . 一、教学目标 1. 理解并掌握平行线的四种判定方法. 2. 学会利用平行线的判定方法进行简单的推理. 二、教学重难点 重点:平行线的判定. 难点:平行线判定的应用. 一、问题导入 　 　 要判定两条直线是否平行,我们无法看到这两 条直线在无限延长的过程中是否永远不相交. 那么 从前面画平行线的过程中,我们可以得到什么启 示吗? 二、探究新知 问题 1 　 在画平行线的过程中,哪个角保持不变? 直线 CD 和直线 AB 有什么关系? 答:∠GED= ∠BGF,同位角在运动的过程中始终不 变. 平行. 【知识归纳】同位角相等,两直线平行. 问题 2 　 如图,直线 a、b 被直线 c 所 截,∠2 = ∠3,a∥b 吗? 解:∵ ∠2 = ∠3 (已知),∠1 = ∠3 (对 顶角相等),∴ ∠1 = ∠2 (等量代换) . ∴ a∥b (同 位角相等,两直线平行) . 【知识归纳】内错角相等,两直线平行. 问题 3 　 如图,直线 a、b 被直线 c 所 截,∠2+∠4 = 180°,a∥b 吗? 解:∵ ∠2+∠4 = 180°(已知), ∠1+∠4 = 180°(邻补角定义), ∴ ∠1 = ∠2 (同角的补角相等), ∴ a∥b (同位角相等,两直线平行) . 【知识归纳】同旁内角互补,两直线平行. 问题 4　 我们已经知道利用尺规作图可以作一条线 段等于已知线段,以及作一个角等于已知角的方法. 那么,如何过已知直线外一点作该直线的平行线呢? 如图,已知直线 AB,以及直线 AB 外一 点 P,试利用尺规作图按下列作法准 确地过点 P 作直线 AB 的平行线. (1)在直线 AB 上取一点 Q,经过点 P 和点 Q,作直线 MN; (2)作∠MPD = ∠PQB,并使得∠MPD 与∠PQB 是 一对同位角; (3)反向延长射线 PD,得到直线 CD. 直线 CD 就是 过点 P 所要求作的直线 AB 的平行线. 06 【知识归纳】 借助内错角相等也可以作出所需要的平行线,借助 同旁内角互补也可以作出所需要的平行线,借助 ∠MPD= ∠PQB= 90°也可以作出所需要的平行线. 问题 5 　 如图,在同一平面内,直线 CD、EF 均与直线 AB 垂直,点 D、F 为垂足.试判断 CD 与 EF 是否平行. 解:∵ CD⊥AB(已知),EF⊥AB(已知),∴ ∠ADC = ∠AFE=90°,∴ CD∥EF(同位角相等,两直线平行). 【知识归纳】 同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行. 三、例题精讲 1. 如图,直线 a、b 被直线 l 所截,已知 ∠1 = 115°,∠2 = 115°,直线 a、b 平行 吗? 为什么? 分析:由已知条件可得∠1 = ∠2. 根据“内错角相 等,两直线平行”,可知 a∥b. 解:∵ ∠1 = 115°(已知),∠2 = 115°(已知), ∴ ∠1 = ∠2(等量代换), ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行) . 2. 如图,在四边形 ABCD 中,已知∠B = 60°,∠C = 120°,AB 与 CD 平行吗? AD 与 BC 平行吗? 解:∵ ∠B= 60°(已知),∠C= 120°(已知), ∴ ∠B+∠C= 180°(等式的性质) . ∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行) . 本题中,根据已知条件,无法判定 AD 与 BC 是 否平行. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:平行线的四种判定方法. 反思:培养学生严密的逻辑思维能力和推理能力. 4. 2. 3　 平行线的性质 置疑导入 如图,直线 a 与直线 b 平行,测量出 这些角的度数. (1) ∠1 和∠5 是同位角,它们有什 么数量关系? 图中还有其他的同位 角吗? 它们的大小有什么关系? (2)图中有几对内错角? 它们的大小有什么关系? 同 旁内角呢? (3)换一组平行线试试,你能得到相同的结论吗? 【说明与建议】 说明:通过测量发现结论更直观,印象更深刻. 建议:让学生多找几组平行线测量,看结论是否相同,再 小组交流结论. 命题角度 1　 利用平行线的性质求角的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】两条平行直线被第三条直线所截,同位角 相等、内错角相等、同旁内角互补. 利用平行线的性质 转化角的数量关系. 1. 如图,点 B 是 AD 的延长线上一 点,DE∥AC. 若∠C = 50°,∠BDE = 60°, 则 ∠CDB 的 度 数 等 于(　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 70° B. 100° C. 110° D. 120° 2. 如图,直线 a∥b,直线 l 与直线 a 相 交于点 P,与直线 b 相交于点 Q,且 PM 垂直于 l. 若∠1 = 58°,则∠2 的 度数为　 32°　 . 命题角度 2　 利用平行线解决与三角尺或直尺有关的 角度问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】 利用图形中的隐含条件:(1)直尺的两边 互相平行;(2)三角尺各内角的度数. 3. 将一副直角三角尺按如图方式摆放,若直线 a∥b,则 ∠1 的大小为　 75°　 . 第 3 题图 　 第 4 题图 　 第 5 题图 4. 如图,直线 DE∥BF,直角三角形 ABC 的顶点 B 在 BF 上,若∠CBF= 20°,则∠ADE 的度数为　 70°　 . 16 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 命题角度 3　 过拐点作平行线解题 5. 如图,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC = 50°,则∠ACD 的度 数为　 140°　 . 一、教学目标 1. 理解并掌握平行线的三条性质与判定的区别. 2. 让学生学会利用平行线的性质进行简单的推理和 计算. 二、教学重难点 重点:平行线的性质和简单应用. 难点:平行线性质的应用. 一、问题导入 (1)平行线的判定方法有哪些? 答:同位角相等,两直线平行; 内错角相等,两直线平行; 同旁内角互补,两直线平行; 同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线 平行. (2)我们已经学会借助于第三条直线与两条已知直 线构成的同位角、内错角或同旁内角判断这两条已 知直线是否平行. 那么,如果已知直线 a 与直线 b 平 行,即不相交,它们之间还具有什么性质呢? 二、探究新知 问题 1 　 练习本上的横线互相平行,利用练习本上 的横线画两条平行线 a、b,再画一条直线 c 与这两条 直线相交,标出所形成的八个角,如图: 上述哪些是同位角? 这些角具有什么样的数量 关系? 解:∠1 与∠5 是同位角,∠1 = ∠5; ∠2 与∠6 是同位角,∠2 = ∠6; ∠3 与∠7 是同位角,∠3 = ∠7; ∠4 与∠8 是同位角,∠4 = ∠8. 【知识归纳】两直线平行,同位角相等. 问题 2 　 类比平行线的判定方法,你能根据两直线 平行,同位角相等推出两直线平行,内错角相等吗? 尝试完成推理过程. 解:如图,∵ a∥b, ∴ ∠1 = ∠2(两直线平行, 同位角相等) . ∵ ∠1 = ∠3(对顶角相等) . ∴ ∠2 = ∠3(等量代换) . 【知识归纳】两直线平行,内错角相等. 问题 3 　 如图,已知 a∥b,试说明∠2+∠4 = 180°. 解:∵ a∥b (已知), ∴ ∠2 = ∠3 (两直线平行,内错角相等) . ∵ ∠3+∠4 = 180° (平角的定义)或(邻补角的定 义), ∴ ∠2+∠4 = 180° (等量代换) . 【知识归纳】两直线平行,同旁内角互补. 三、例题精讲 1. 如图,已知直线 a∥b, ∠1 = 50°,求 ∠2 的度数. 解:∵ a∥b(已知),∴ ∠2 = ∠1(两直 线平行,内错角相等) . ∵ ∠1 = 50°(已知),∴ ∠2 = 50°(等量代换) . 2. 如图,在四边形 ABCD 中, 已知 AB∥CD,∠B= 60°,求 ∠C 的度数. 能否求得∠A 的度数? 解:∵ AB∥CD ( 已知), ∴ ∠B+ ∠C = 180° ( 两直线平行,同旁内角互 补) . ∵ ∠B= 60°(已知),∴ ∠C = 180°-∠B = 120°(等式的性质) . 根据题目的已知条件,无法求出∠A 的度数. 3. 将如图所示的方格图中的图形向右平行移动 4 格,再向上平行移动 3 格,画出平行移动后的 图形. 　 　 解:如图所示. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 平行线的性质. 2. 图形的平移. 反思:培养学生的动手能力、逻辑推理能力,激发学 生的学习兴趣. 26