4.1 相交线-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(华东师大版2024)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 第 4 章　相交线和平行线 4. 1　 相交线 4. 1. 1　 对顶角 归纳导入 想一想:角是由什么组成 ( 或形成) 的? 观察右图,图中有哪些角? 图中 有平角吗? 平角是多少度? 图中每一 对角有什么关系? 用量角器量量各角的度数. 发现:∠AOD　 = 　 ∠BOC,∠AOC　 = 　 ∠DOB. 【归纳】 两条直线相交所成的四个角中,相对的两个角叫做　 对 顶角　 ,　 对顶角　 相等. 【说明与建议】 说明:让学生回顾角的两种定义(静态定义与动态定 义),理解角的组成部分,导出邻补角和对顶角. 建议:学生可通过实际操作体验对顶角的性质. 命题角度 1　 对顶角的识别 1. 下列各图中,∠1 与∠2 是对顶角的是(　 D　 ) 命题角度 2　 对顶角的性质 2. 如图,∠1+∠3 = 70°,求∠2 的度数. 解:因为∠1 = ∠3,∠1+∠3 = 70°,所以∠1 = 35°,所以 ∠2 = 180°-35° = 145°. 第 2 题图 　 第 3 题图 　 第 4 题图 命题角度 3　 对顶角性质的应用 3. 图中是对顶角量角器,用它测量角的原理是　 对顶角 相等　 . 4. 古城黄冈的旅游资源十分丰富,“桃林春色,柏子秋 波”便是其八景之一. 如图,你能设计出一种测量“柏 子古塔” 外墙底部的底角 ( 图中 ∠ABC) 大小的方 案吗? 解:如图,分别延长 AB,CB 至点 D,E,量出∠DBE 的 度数,∠ABC= ∠DBE. 一、教学目标 1. 理解对顶角的概念,能在图形中识别对顶角. 2. 掌握对顶角相等的性质和推导过程. 二、教学重难点 重点:对顶角的概念和性质. 难点:对顶角相等的推导过程和简单的应用. 一、问题导入 　 　 如图,两条直线 AB、CD 都经过 同一个点 O,我们就说这两条直线 相交于点 O,点 O 是它们的交点. 可 以说成“直线 AB、CD 相交于点 O”,一共形成 4 个 角. 这几个角又有什么样的关系呢? 二、探究新知 问题 1 　 如图,两条直线 AB、CD 相 交于点 O, 形成了 ∠1、 ∠2、 ∠3、 ∠4,这 4 个角之间存在什么关系? 解:相邻的两个角互补,不相邻的两 个角的两边互为反向延长线. 问题 2 　 如图,两条直线 AB、CD 相 交于点 O,试说明∠AOC= ∠BOD. 解:因为∠AOC+∠BOC= 180°, ∠BOD+∠BOC= 180° (平角的定义), 所以∠AOC= ∠BOD(同角的补角相等) . 同样可以得到∠AOD= ∠BOC. 【知识归纳】 (1)在两个角中,具有相同的顶点,且其中一个角的 两边分别是另一个角的两边的反向延长线,那么这 两个角叫做对顶角. (2)对顶角相等. 三、例题精讲 1. 如图所示, ∠1 = 30°,那么 ∠2、 ∠3 和∠4 各等于多少度? 图中 存在哪些相等关系? 解:∠2= 180°-∠1 = 180°- 30° = 150°,∠3 = 180°- ∠2= 180°-150° = 30°,∠4 = 180°-∠1 = 180°- 30°= 150°. 由此,我们得到∠1 = ∠3,∠2 = ∠4. 2. 如图,直线 AB、CD 相交于点 E,∠AEC = 50°,求 45 ∠BED 的度数. 解:因为直线 AB、CD 相交于点 E,所以∠AEC 与 ∠BED 是对顶角. 根据对顶角相等,得∠BED = ∠AEC= 50°. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:对顶角的定义及其性质. 反思:培养学生的识图能力和识图技巧,增强学生学 习数学的信心. 4. 1. 2　 垂线 置疑导入 学生事先准备两张细长硬纸条,图钉一个. 操作:学生用图钉在中间把两张纸钉在一起,可以把两 张纸条看作是两条直线,观察两条直线相交有几个 交点? 转动纸条,观察并思考:两条直线相交所构成的四个角 能否相等? 这两条直线的位置关系是什么? 【说明与建议】 说明:操作实践体现垂直在生活中的应用,调动学生学 习的积极性. 建议:让学生体会“垂直”含义,从而得出垂直的概念及 特征. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题角度 1　 垂线的画法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　【解题技巧】 用三角尺画垂线:让三角尺的一条直角 边落在已知直线上,沿直线左右移动三角尺,使其另 一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则这条 直线就是已知直线的垂线. 用量角器画垂线:让量角 器的 0 刻度线与已知直线重合,点位于 90 度线上,画 出 90 度线所在的直线即可. 1. 过点 A 画线段 BC 所在直线的垂线,其中正确的 是(　 D　 ) 　 　 A　 　 　 　 　 B　 　 　 　 　 C　 　 　 　 　 D　 2. 如图,钝角∠AOB 中,点 D 在射线 OA 上. (1)画直线 DC⊥OB,垂足为 C; (2)画直线 DF⊥OA. 解:(1)(2)如图. 命题角度 2　 垂线的基本事实 3. 下列说法正确的有　 ①②　 . ①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂 直于已知直线; ②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂 直于已知直线; ③在同一平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于 已知直线; ④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知 直线. 4. 如图,已知 ON⊥l,OM⊥l,所以 OM 与 ON 重合,其理由是 　 同一平面内,过 一点有且只有一条直线与已知直线垂 直　 . 命题角度 3　 点到直线的距离的应用 5. 如图,307 国道 a 上有一出口 M,现 想在附近公路 b 旁建一个加油站,欲 使通道长最短, 应沿怎样的线段 施工? 解:如图,过点 M 作 MN⊥b,垂足为 N,欲使通道最 短,则应沿线路 MN 施工. 命题角度 4　 利用垂线的定义求角的度数 6. 在直线 AB 上取一点 O,过点 O 作射线 OC,OD,使 OC ⊥OD,当∠AOC= 30°时,∠BOD 的度数为(　 D　 ) A. 60° B. 90° C. 120° D. 60°或 120° 7. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OA 平 分∠EOC. (1)若∠EOC= 80°,求∠BOD 的度数; (2)若∠EOC= ∠EOD,求∠BOD 的度数. 解:(1)因为 OA 平分∠EOC,所以∠AOC= 1 2 ∠EOC = 1 2 ×80° = 40°,所以∠BOD= ∠AOC= 40°; (2)因为∠EOC+∠EOD = 180°,∠EOC = ∠EOD, 所以∠EOC= 90°,所以∠AOC= 1 2 ∠EOC = 1 2 ×90° = 45°,所以∠BOD= ∠AOC= 45°. 55 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 命题角度 5　 利用垂直的定义判定两直线垂直 8. 小红在学习垂线时遇到了这样一个问题, 请你帮她解决:如图,线段 AB 和 CD 相交 于点 O,有下列条件: ① ∠AOC = 90°; ② ∠BOC= 90°;③ ∠AOC = ∠BOD;④ ∠AOC = ∠BOC. 其中能说明 AB⊥CD 的是　 ①②④　 . (填序号) 9. 如图,已知 DO⊥CO,∠1 = 36°,∠3 = 36°. (1)求∠2 的度数; (2)AO 与 BO 垂直吗? 说明理由. 解:( 1) 因为 DO⊥CO,所以 ∠DOC = 90°. 因为∠1 = 36°,所以∠2 = 90°-36° = 54°; (2)AO⊥BO. 理由如下:因为∠3 = 36°,∠2 = 54°, 所以 ∠3 + ∠2 = 90°, 即 ∠AOB = 90°, 所以 AO ⊥BO. 一、教学目标 1. 理解垂线、垂线段和点到直线的距离的定义,学会 画已知直线的垂线、已知线段的垂直平分线. 2. 理解垂线的基本事实,并会用它说明一些生活中 的基本现象. 二、教学重难点 重点:垂线的定义和基本事实. 难点:用三角尺画垂线,线段的垂直平分线并理解垂 线的基本事实. 一、问题导入 (1)对顶角的定义和性质是什么? 答:两个角具有相同的顶点且其中一个角的两 边分别是另一个角两边的反向延长线,那么 这两个角叫做对顶角;对顶角的性质:对顶 角相等. (2)回想一下,在小学我们是如何画一个三角形的 高? 请在纸上自己动手画一个三角形的高. 答:画三角形的高的方法:画哪一条边上的高, 就过这一边所对的点作垂线即可. 二、探究新知 问题 1 　 如图 1,直线 AB、CD 相交于点 O,将直线 CD 绕着点 O 顺时针旋转,使∠BOD= 90° (如图 2), 其他三个角的度数是多少? 图 1 　 　 图 2 解:其他三个角的度数都是 90°. 【知识归纳】 两条直线 AB、CD 相交所构成的四个角中有一个角 是直角时,其他三个角都是直角,此时,这两条直线 互相垂直,记作 AB⊥CD ,交点 O 叫做垂足,其中一 条直线是另一条直线的垂线. 问题 2 　 如图,你能经过直线 AB 上一点 P,画出垂直 于直线 AB 的直线吗? 这样的垂线能画多少条呢? 答:作图略. 只能作一条. 【知识归纳】 (1)基本事实:同一平面内,过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直. (2)用三角尺画垂线的方法是“一过二重三画”: ①一过:让三角尺的一直角边经过已知点; ②二重:让三角尺的另一直角边与已知直线重合; ③三画:沿过已知点的直角边画直线. 问题 3　 对于线段的垂线,有一种特殊 且重要的情况. 如图,直线 CD 经过线 段 AB 的中点 O,并且垂直于线段 AB, 那么 AO 与 BO 的数量关系是什么? AB 与 CD 的位置关系是什么? 解:AO=BO,AB⊥CD. 【知识归纳】 我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段 的垂直平分线. 如图所示的直线 CD 就是线段 AB 的 垂直平分线. 垂直平分线又可称为中垂线. 问题 4 　 如图,连结直线 l 外一点 P 与直线 l 上各点 O、A、B、C、D …,其 中,PO⊥l,先测量线段 PO、PA、PB、 PC、PD … 的长短, 再判断哪一条 最短? 解:经测量,线段 PO 最短. 【知识归纳】 (1)直线外一点到已知直线上的任一点的所连线段 中,距离最短的叫做垂线段. (2)从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫 做点到直线的距离. 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:1. 垂线的定义、概念、画法及基本事实. 2. 垂线段的定义及点到直线的距离. 反思:培养学生的动手能力、观察能力和逻辑推理 能力. 65 4. 1. 3　 同位角、内错角、同旁内角 情境导入 　 　 你放过风筝吗? 风筝是如何做成的? 中国最早的 风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的. 风筝的骨架构成 了多种关系的角,如图①是一个风筝的骨架,我们可以 抽象成以下图形如图②,你能指出这些角的关系吗? 图① 　 　 　 图② 【说明与建议】 说明:由学生熟悉的风筝引入课题,能够激发学生探究 的欲望. 建议:先确定被截的两条直线及第三条截线,再确定两 角的关系. 命题角度 1　 识别同位角、内错角、同旁内角 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】 识别三类角时,应从角的两边入手,同位 角的边构成“F”型,内错角的边构成“Z”型,同旁内角 的边构成“U”型. 1. 如图,下列说法错误的是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ∠1 和∠3 是同位角 B. ∠1 和∠5 是同位角 C. ∠1 和∠2 是同旁内角 D. ∠5 和∠6 是内错角 2. 如图. (1)∠BED 与∠CBE 是直线 DE,BC 被直线 BE 所截 形成的　 内错　 角; (2) ∠A 与∠CED 是直线 　 AB,DE 　 被直线 　 AC 　 所截形成的　 同位　 角; (3)∠CBE 与∠BEC 是直线 　 CE,BC 　 被直线 　 BE 　 所截形成的　 同旁内　 角; (4)∠AEB 与∠CBE 是直线　 AC,BC 　 被直线 　 BE 　 所截形成的　 内错　 角. 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 命题角度 2　 确定某种角的数量 3. 如图,同位角有 a 对,内错角有 b 对,同旁内角有 c 对,则 a+b+c 的值是　 14　 . 4. 如图,图中有　 8　 对同位角;有　 4　 对同旁内角;有 　 5　 对内错角. 一、教学目标 1. 掌握同位角、内错角、同旁内角的特征,并结合图形辨 别同位角、内错角、同旁内角. 2. 培养学生的识图能力和推理能力,能在复杂的图形中 快速准确地找出所需的图形. 二、教学重难点 重点:同位角、内错角、同旁内角的特征. 难点:在复杂图形中找出同位角、内错角、同旁内角. 一、复习导入 　 　 如图,∠1 与∠3,∠2 与∠4 有 什么样的位置关系? 它们又有怎 样的数量关系? ∠1 与∠2,∠3 与 ∠4 有什么样的位置关系? 它们又 有怎样的数量关系? 答:对顶角,大小相等;邻补角,互补. 二、探究新知 问题 在同一平面内,一条直线 l 与两条直线 a、b 分 别相交于点 P、Q,这可以说成“直线 l 分别截直线 a、 b 于点 P、Q”,其中直线 l 叫做截线, 直线 a、b 叫做被截直线,两条直线 被另一条直线所截,可得八个角, 如图: 在这八个角中,∠1 与∠5,∠3 与∠5,∠2 与∠5 的 位置有什么关系? 解:∠1 与∠5 处于直线 l 的同一侧,且分别在直线 a、b 的同一方,这样位置的一对角叫做同位角, 在上图中,同位角还有∠2 与∠6、∠4 与∠8、∠3 与∠7; ∠3 与∠5 处于直线 l 的异侧,且分别在直线 a、b 的内部交错,这样位置的一对角叫做内错角,在 上图中,内错角还有∠2 与∠8; ∠2 与∠5 处于直线 l 的同一侧,且分别在直线 a、b 的内部,这样位置的一对角叫做同旁内角, 在上图中,同旁内角还有∠3 与∠8. 75 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 【知识归纳】 同位角、内错角、同旁内角各自的关系如下表: 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在两 条 被 截 直 线的同一方,在 截线的同一侧 形如字母“F” (满 足任何形状的放 置) 内错角 在两 条 被 截 直 线的内部,在截 线的两侧 形如字母“Z” (满 足任何形状的放 置) 同旁内角 在两 条 被 截 直 线的内部,在截 线的同侧 形如字母 “ U” 或 “n”(满足任何形 状的放置) 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:1. 三线八角. 2. 同位角、内错角、同旁内角. 反思:培养学生积极参与、主动探索的学习习惯,学 会总结几何规律. 4. 2　 平行线 4. 2. 1　 平行线 激趣导入 如图,分别将木条 a,b 与木条 c 钉在一起,并把它们想 象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线. 顺时 针转动 a. 想象一下,在这个过程中,有没有直线 a 与直 线 b 不相交的情况呢? 【说明与建议】 说明:由模型中的相交向平行变化,比较直观,学生易于 接受. 建议:可以让学生旋转木条,体会变化过程,体验平行时 两条直线的位置关系. 命题角度 1　 平行线的识别 1. 下列说法正确的是(　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 同一平面内没有公共点的两条线段平行 B. 两条不相交的直线是平行线 C. 同一平面内没有公共点的两条直线平行 D. 同一平面内没有公共点的两条射线平行 2. 下列生活实例:①交通路口的斑马线;②天上的彩虹; ③百米跑道线;④一段平直的火车铁轨线. 其中属于 平行线的有　 ①③④　 . (填序号) 命题角度 2　 画平行线 3. 根据下列要求作图. (1)如图①,过点 A 作 MN∥BC; (2)如图②,过点 P 作 PE∥OA,交 OB 于点 E,过点 P 作 PH∥OB,交 OA 于点 H. ①　 　 　 　 　 　 ② 解:(1)(2)如图. 命题角度 3　 平行线基本事实及其推论 4. 过直线 l 外一点 A 作 l 的平行线,可以作(　 A　 ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 5. 若直线 a∥b,b∥c,则 a∥c 的依据是 　 如果两条直线 都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平 行　 . 一、教学目标 1. 让学生理解在同一平面内的两条直线的位置关系 只有相交和平行. 2. 让学生理解平行公理,并会过直线外一点作已知 直线的平行线. 二、教学重难点 重点:平行线的定义、公理和推论. 难点:平行公理及推论的应用. 一、复习导入 　 　 简述一下同位角、内错角、同旁内角的特征. 解:同位角在两条被截直线的同一方,在截线的同一 侧,形如字母“F”;内错角在两条被截直线的内 部,在截线的两侧,形如字母“Z”;同旁内角在两 条被截直线的内部,在截线的同侧,形如字母 “U”或“n” . 85