2.4 整式的加-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(华东师大版2024)

2. 4　 整式的加减 第 1 课时　 同类项与合并同类项 一、情境导入 动漫故事:早上围裙妈妈要大头儿子买早点,告诉 他:爸爸要 3 个烧饼,3 根油条;妈妈要 2 个烧饼,4 根油条;大头儿子自己要 2 个烧饼,2 根油条. 大头 儿子来到街上,孝顺的他先想到爸爸,买了 3 个烧 饼,3 根油条,又去为妈妈买了 2 个烧饼,4 根油条, 最后又汗流浃背地为自己买了 2 个烧饼,2 根油条. 听了这个故事你想说什么? 【说明与建议】 说明:用生活中的故事情境迅速吸引了学生,积极主 动地建构他们的数学认知结构,感受分类的必要性. 建议:教师提示按照一定标准进行分类就会使问题 变得更明了. 二、归纳导入 1. 创设问题情境: (1)4 个人+6 个人= 　 10 个人　 ; (2)4 只羊+6 只羊= 　 10 只羊　 ; (3)4 个人+6 只羊= 　 4 个人+6 只羊　 . 2. 观察下列各单项式,把你认为类型相同的式子归 为一类. 8x2y,-mn2,5a,-x2y,7mn2,9a,- 1 2 ,0,0. 4mn2 . 由学生小组讨论后,按不同标准进行多种分类,教 师巡视后把不同的分类方法投影显示出来. 8x2y 与-x2y;-mn2,7mn2 与 0. 4mn2; 5a 与 9a;0 与- 1 2 分为一类. 【归纳】 像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数都相等 的项叫做同类项. 【说明与建议】 说明:通过问题情境的方式可以更好地调动学生的 积极性,激发学生的求知欲望. 建议:学生先自己独立思考,然后归纳出同类项的 特征. 命题角度 1　 同类项的认识 1. 下列几组式子:①0. 5x2y 与 0. 5xy2;②3abc 与 3ac;③ mn 与-mn;④-2x2y 与 2yx2;⑤-100 与 23;⑥6xyz 与 -7xyz. 是同类项的是　 ③④⑤⑥　 . 命题角度 2　 根据同类项的概念求字母的值 2. 若 3m2xn5 与-7m4ny+1 是同类项,则(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x= 2,y= 2 B. x= 2,y= 4 C. x= 5 2 ,y= 4 D. x= 5 2 ,y= 3 命题角度 3　 合并同类项 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【归纳总结】合并同类项的步骤:(1)准确找出同类 项;(2)通过移动多项式中项的位置,将同类项集中在 一起;(3)把同类项的系数相加,字母和字母的指数不 变,写出合并后的结果. 3. 下列合并同类项正确的是(　 D　 ) A. a2 +a2 =a2 B. 3xy-xy= 2 C. 2x2 -3x2 = x2 D. -2y+2y= 0 4. 把(a-b) 看成一个整体,合并 3(a-b) 2 - 7(a-b) 2 + 2(a-b) 2 的结果是　 -2(a-b) 2 　 . 命题角度 4　 化简求值 5. 先合并同类项,再求值:m2 +4m-3m2 -5m+6m2 -2,其 中 m= - 3 2 . 解:m2 +4m-3m2 -5m+6m2 -2 = (m2 -3m2 +6m2) +(4m- 5m) -2 = 4m2 -m-2. 当 m= - 3 2 时,原式= 4×( - 3 2 ) 2 + 3 2 -2 = 8 1 2 . 命题角度 5　 合并同类项的应用 6. 如图,阴影部分的面积为　 11 2 xy　 . 7. 某学校组织七、八年级全体学生参观革命圣地,七年 级租用 45 座大巴车 x 辆,60 座大巴车 y 辆;八年级租 用 60 座大巴车 x 辆,30 座中巴车 y 辆,当每辆车恰好 坐满. (1)用关于 x,y 的代数式表示该学校七、八年级的总 人数; (2)当 x = 4, y = 7 时,该学校七、八年级共有多少 学生? 解:(1)总人数为 45x+60y+60x+30y= 105x+90y; (2)105×4+7×90 = 1 050(人) . 53 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 一、教学目标 1. 理解同类项的概念. 2. 掌握合并同类项法则,能正确地进行同类项的 合并. 二、教学重难点 重点:合并同类项法则,熟练地合并同类项. 难点:同类项的合并. 一、问题导入 (1)前面我们学过多项式的项. 例如,多项式 3x2y- 4xy2 - 3 + 5x2y + 2xy2 + 5 一共有几项,它们分别是 什么? 答:一共有 6 项. 它们分别是 3x2y、-4xy2、-3、5x2y、 2xy2、5. (2)我们常常把具有相同特征的事物归为一类. 在 多项式的各个项中,也可以把具有相同特征的项归 为一类. 在上述多项式的 6 项中,通常可以把 3x2y 与 5x2y 归为一类,-4xy2 与 2xy2 归为一类,-3 与 5 归为一类. 二、探究新知 问题 1 　 这些被归为同一类的项有什么相同特征? 解:3x2y 与 5x2y 所含的字母相同(都是 x、y),并且 x 的指数都是 2,y 的指数都是 1;同样, - 4xy2 与 2xy2 所含的字母也相同,并且 x 的指数都是 1,y 的指数都是 2;-3 与 5 都是常数. 【知识归纳】 (1)所含字母相同,并且相同字母的指数都相等的 项叫做同类项. (2)所有的常数项都是同类项. 问题 2 　 化简:3x2y-4xy2 -3+5x2y+2xy2 +5. 分析:如果一个多项式中含有同类项,那么我们可以 把同类项合并起来,使结果得以简化. 尝试运用加法 的交换律、结合律将同类项结合在一起,再根据分配 律将它们合并,化简整个多项式. 解:原式= 3x2y+5x2y-4xy2 +2xy2 -3+5 加法交换律 = (3x2y+5x2y ) +( -4xy2 +2xy2) +( -3+5) 加法结合律 = (3+5) x2y +( -4+2) xy2 +( -3+5) 乘法分配律的逆运用 = 8x2y-2xy2 +2. 有理数的加法运算 【知识归纳】 合并同类项的步骤: (1)准确地找出同类项; (2)把同类项的系数相加,所得的结果作为和的系 数,字母和字母的指数保持不变; (3)写出合并后的结果. 三、例题精讲 1. 指出下列多项式中的同类项: (1)3x-2y+1+3y-2x-5; (2)3x2y-2xy2 + 1 3 xy2 - 3 2 x2y. 解:(1)3x 与-2x 是同类项,-2y 与 3y 是同类项,1 与-5 是同类项. (2)3x2y 与- 3 2 x2y 是同类项, -2xy2 与 1 3 xy2 是同类项. 2. k 取何值时,3xky 与-x2y 是同类项? 解:要使 3xky 与-x2y 是同类项,那么这两项中 x 的指数必须相等,即 k= 2. 所以当 k= 2 时,3xky 与-x2y 是同类项. 3. 合并下列多项式中的同类项: (1)2a2b-3a2b+ 1 2 a2b; (2)a3 -a2b+ab2 +a2b-ab2 +b3 . 解:(1)原式= (2-3+ 1 2 )a2b= - 1 2 a2b. (2)原式=a3 +( -a2b+a2b) +(ab2 -ab2) +b3 =a3 +( -1+1)a2b+(1-1)ab2 +b3 =a3 +b3 . 4. 求多项式 3x2 +4x-2x2 -x+x2 -3x-1 的值,其中 x = -3. 解:原式= (3-2+1)x2 +(4-1-3)x-1 = 2x2 -1. 当 x= -3 时,原式= 2×( -3) 2 -1 = 17. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 同类项与合并同类项. 2. 化简求值. 反思:让学生在自主探究和合作交流的过程中真正 理解和掌握基本数学知识与技能、数学思想和 方法,获得广泛的数学活动经验. 63 第 2 课时　 去括号和添括号 一、归纳导入 同学们还记得用火柴棒搭正方形时,怎样计算所需 要的火柴棒的根数吗? 拿出准备好的火柴棒,自己 搭一下,然后再按如下做法搭. 利用运算律去括号: 4+3(x-1)= 4+　 3x-3　 = 3x+1. 4x-(x-1)= 4x+( -1)·(x-1) = 4x+( -1) x+( -1) × ( -1)= 4x-x+1 = 　 3x+1　 . 【归纳】 括号前面是“+”号,去括号后,括号里各项的符号都 　 不变　 ; 括号前面是“-”号,去括号后,括号里各项的符号都 　 改变　 . 【说明与建议】 说明:让学生将实际问题抽象为数学问题,并归纳出 去括号的方法. 建议:先让学生自己操作,根据搭的方法列出式子. 二、悬念导入 某档节目曾经有这样一道有趣的题目: “ 当 a = 0. 49,b= -0. 98 时,请算出代数式 a2 +a(a+b) -(2a2 +ab)的值” . 主持人信心满满,扬言道:“我不用条件 就可得出结果!”那么,请问大家,主持人的说法是真 的吗? 【说明与建议】 说明:创设实际悬念导入课题,让学生体验解决这类 数学问题的一般方法. 建议:此代数式面临去括号的问题,学生却感到困 惑,怎样去括号呢? 带着问题走入本课. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题角度 1　 去括号 1. -(a-b+c)去括号的结果是　 -a+b-c　 . 命题角度 2　 与去绝对值的综合应用 2. 有理数 a,b 在数轴上所对应的点的位置如图,则化简 代数式 | b-a | -a 的结果是(　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2a+b B. 2a C. a D. -b 命题角度 3　 去括号、添括号法则的综合运用 3. 不改变式子的值,将括号前的符号变成与其相反的 符号: (1) +(3+x2 -x3)= 　 -( -3-x2 +x3)　 ; (2) -(4x-(2x-3))= 　 +( -4x+(2x-3))　 . 命题角度 4　 去括号化简的应用 4. 一个长方形的周长为 6a,一边长为 2a-b,则另一边长 为(　 C　 ) A. 5a+6b B. 4a+2b C. a+b D. a+2b 5. 一艘轮船在无风时的航速为 a km / h,风速为 b km / h, 则该轮船顺风航行 5 h 的路程是　 (5a+5b) 　 km,逆 风航行 5 h 的路程是　 (5a-5b) 　 km,两路程的和为 　 10a　 km. 一、教学目标 1. 能够运用运算律探究去括号与添括号法则. 2. 利用去括号与添括号法则进行整式化简. 二、教学重难点 重点:掌握去括号与添括号法则,准确地运用法则进 行整式化简. 难点:去括号与添括号遇到前面是“-”号时,各项都 变号. 一、知识回顾 1. 若 2xyn 与 - 3xmy 是同类项, 则 m = 　 1 　 , n = 　 1　 . 2. 合并同类项: (1)3a+a= 　 4a　 ; (2)5y2 -4y2 = 　 y2 　 ; 73 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 (3)2ab2 -4ab2 = 　 -2ab2 　 . 二、探究新知 问题 1 　 (1)周三下午,校图书馆内起初有 a 位同学,后来又 有一些同学前来阅读,第一批来了 b 位同学,第二批 来了 c 位同学,则图书馆内共有　 a+(b+c)(或 a+b+ c)　 位同学. (2)图书馆内原有 a 位同学,后来有些同学因上课 要离开,第一批走了 b 位同学,第二批又走了 c 位同 学,试用两种方式写出图书馆内还剩下 　 a-( b+c) (或 a-b-c)　 位同学. (3)在问题(1)中,由于　 a+(b+c) 　 和 　 a+b+c　 均表示同一个量,于是,我们可以得到等式　 a+(b+ c)= a+b+c 　 ;在问题(2)中,由于 　 a-( b+c) 　 和 　 a-b-c　 均表示同一个量,于是,我们可以得到等 式　 a-(b+c)= a-b-c　 . 【知识归纳】去括号法则: (1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去 掉,括号里各项都不改变正负号; (2)括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去 掉,括号里各项都改变正负号. 问题 2 　 观察这两个式子 a+b+c= a+(b+c);a-b-c = a-(b+c) . 我们发现了什么? 【知识归纳】添括号法则: (1)所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不 改变正负号; (2)所添括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改 变正负号. 三、例题精讲 1. 去括号: (1)a+(b-c);　 　 　 (2)a-(b-c); (3)a+( -b+c); (4)a-( -b-c) . 解:(1)a+(b-c)= a+b-c. (2)a-(b-c)= a-b+c. (3)a+( -b+c)= a-b+c. (4)a-( -b-c)= a+b+c. 2. 先去括号,再合并同类项: (1)(x+y-z) +(x-y+z) -(x-y-z); (2)(a2 +2ab+b2) -(a2 -2ab+b2); (3)3(2x2 -y2) -2(3y2 -2x2) . 解:(1)原式= x+y-z+x-y+z-x+y+z= x+y+z. (2)原式=a2 +2ab+b2 -a2 +2ab-b2 = 4ab. (3)原式= 6x2 -3y2 -6y2 +4x2 = 10x2 -9y2 . 3. 计算: (1)214a+47a+53a; (2)214a-39a-61a. 解:(1)原式= 214a+(47a+53a) = 214a+100a = 314a. (2)原式= 214a-(39a+61a) = 214a-100a = 114a. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 添括号与去括号法则. 2. 先去括号再合并同类项. 3. 化简求值. 反思:发现去括号与添括号时符号变化的规律,归纳 出去括号与添括号法则,培养学生观察、分析、 归纳的能力. 第 3 课时　 整式的加减 一、复习导入 化简: (1)(x+y) -(2x-3y); (2)2(a2 -2b2) -3(2a2 +b2) . 提问:以上化简实际上进行了哪些运算? 怎样进行 整式的加减运算? 通过前面的学习,我们可以得到整式加减的运算法 则:一般地,几个整式相加减,如果有括号,就先去括 号,然后再合并同类项. 【说明与建议】 说明:让学生计算较简单的整式加减运算,归纳整式 加减运算方法. 建议:自主计算,小组归纳计算方法. 二、置疑导入 小强乘公共汽车到城里的书店买书,小强上车时,发 现车上已有(4a-b)人,车到中途站时,有(3a-4)人 下车,但又上来若干人,这时公共汽车上共有(9a- 83 3b)人,则中途有多少人上车? 你能用学到的数学知识解决这个实际问题吗? 现在我们一起来分析一下: 要计算中途上车的人数,可用总人数减去下车后剩下 的人数,因为原来有(4a-b)人,加上小强,所以没人下 车之前,车上共有　 (4a-b+1) 　 人,下去(3a-4)人 后,车里还有　 (4a-b+1) -(3a-4)= (a-b+5) 　 人, 用总人数(9a-3b)减去　 (a-b+5)　 即可求出上车的 人数. 这就是我们今天要学习的整式的加减. 如何进行整 式的加减呢? 【说明与建议】 说明:用生活中常见到的上下车的例子导入新课,学 生用自己学到的数学知识解决实际问题. 建议:师生一起分析完,让学生自己列出式子表示中 途上车的人数. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题角度 1　 整式的加减 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】整式加减的运算法则:先去括号,再合并 同类项. 整式的加减运算的结果要化为最简形式. 1. 若 A= x2 -xy,B= xy+y2,则 A+B 为(　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x2 +y2 B. 2xy C. -2xy D. x2 -y2 2. 一个整式减去 - 3x 得 - 5x2 + 3x - 1, 则这个整式 为　 -5x2 -1　 . 命题角度 2　 整式加减的应用 3. 三角形三边的长分别为(2x+1)cm,(x2 -2)cm 和(x2 - 2x+1)cm,则这个三角形的周长是　 2x2 　 cm. 4. 两堆棋子,将第一堆的 2 个棋子移到第二堆之后,第 二堆棋子数就成了第一堆棋子数的 2 倍. 设第一堆原 有 a 个棋子,则第二堆原有　 (2a-6)　 个棋子. 命题角度 3　 整式的化简求值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】先进行整式加减计算,再把字母的值代入 进行计算. 5. 先化简,再求值: 3a-[ -2b+(4a-3b)],其中 a= -1,b= 3; 解:原式= 3a-( -2b+4a-3b) = 3a+2b-4a+3b = -a+5b. 当 a= -1,b= 3 时, 原式= -( -1) +5×3 = 1+15 = 16. 一、教学目标 掌握整式加减的一般步骤,熟练地进行整式的加减 运算. 二、教学重难点 重点:正确地进行整式的加减运算. 难点:理解整式加减的实质,体会整式加减的必 要性. 一、探究新知 问题　 某中学合唱团出场时第一排站了 n 名同学, 从第二排起每排都比前一排多 1 人,一共站了四排, 则该合唱团一共有多少名同学参加演唱? 分析:容易知道,第二、三、四排的人数分别为 n+1、n +2、n+3. 因此该合唱团参加演唱的总人数为 n+(n+ 1)+(n+2)+(n+3) . 要把这个式子进一步化简,实际 上是要进行整式的加减运算. 解:n+(n+1) +(n+2) +(n+3) =n+n+1+n+2+n+3 = 4n+6. 则该合唱团一共有(4n+6)名同学参加演唱. 【知识归纳】 整式加减运算的一般步骤是:先去括号,再合并同 类项. 二、例题精讲 1. 求整式 x2 -7x-2 与-2x2 +4x-1 的差. 解:原式= x2 -7x-2+2x2 -4x+1 = 3x2 -11x-1. 2. 计算:-2y3 +(3xy2 -x2y) -2(xy2 -y3) . 解:原式= -2y3 +3xy2 -x2y-2xy2 +2y3 = xy2 -x2y. 3. 先化简,再求值:2x2y-3xy2 +4x2y-5xy2 . 其中 x= 1, y= -1. 解:原式= (2x2y+4x2y) -(3xy2 +5xy2) = 6x2y-8xy2 . 当 x= 1,y= -1 时, 原式= 6×12 ×( -1) -8×1×( -1) 2 = -14. 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:1. 整式的加减. 2. 化简求值. 反思:通过进行整式加减的运算,加强有条理的思考 及语言表达能力,进一步培养学生观察能力、归 纳概括的能力. 93