2.3 整式-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(华东师大版2024)

2. 3　 整式 2. 3. 1　 单项式 一、情境导入 先用多媒体展示几张青藏铁路的图片(如图): 再用多媒体展示以下例子: 举世瞩目的青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长 的高原铁路. 青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有 一段很长的冻土,列车在冻土地段的行驶速度为 100 km / h. 请填空. 该列车 2 h 所走的路程是　 200　 km,3 h 所走的路 程是　 300　 km,4 h 所走的路程是 　 400　 km,t h 所走的路程是　 100t　 km. 观察你所列出的这些式子有什么共同特点? 【说明与建议】 说明:本节课开始用青藏铁路顺利通车这个例子吸 引学生的注意力,激发学生学习的兴趣和积极性. 建议:让学生自己观察,思考问题,解决问题. 二、复习导入 1. 用字母表示数: (1)若 a 表示正方体的棱长,则正方体的体积 是　 a3 　 ; (2)小明每年从零花钱中拿出 x 元捐给希望工程, 五年下来小明共捐款　 5x　 元. 2. 请学生观察所列式子包含哪些运算,有何共同 特征. 小组讨论后,由小组推荐人员回答,教师适当 点拨. 【说明与建议】 说明:让学生列式子不仅复习前面的知识,更是为下 面给出单项式的概念埋下伏笔. 建议:让学生自己观察、自己发现、自己描述,进行自 主学习和合作交流. 命题角度 1　 单项式的概念 1. 下列式子是单项式的是(　 B　 ) A. m+n　 　 　 B. 1 2 　 　 　 C. 4 x 　 　 　 D. 2x -3 2 命题角度 2　 单项式的系数与次数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】 求单项式的系数和次数时,要分清数字 因数与字母因数. 其中系数就是数字因数,包括符号; 次数就是一个单项式中所有字母的指数和,不包括数 字的指数. 2. 已知一个单项式的系数是 2,次数是 3,则这个单项式 可以是(　 D　 ) A. -2xy2 B. 3x2 C. 2xy3 D. 2x3 3. 4x5y3 的系数是 　 4　 ,次数是 　 8 　 ;-a6b 的系数是 　 -1　 ,次数是　 7　 ;-3m 2n2 2 的系数是 　 - 3 2 　 ,次 数是　 4　 . 命题角度 3　 已知单项式的次数,求字母指数的值 4. 如果-2x 2y2n-1 3 是九次单项式,那么 n 的值为　 4　 . 5. 已知单项式 6x2y4 与-y2zm+2 的次数相同,求- 6m+ 2 的值. 解:由题意可得,2+4 = 2+m+2,则 m= 2. 所以-6m+2 = -10. 一、教学目标 1. 了解单项式及单项式系数、次数的概念. 2. 能用单项式表示具体问题中的数量关系. 二、教学重难点 重点:掌握单项式及单项式的系数、次数的概念,并 能够准确迅速地确定一个单项式的系数和 次数. 难点:单项式的概念的建立. 一、知识回顾 列式表示: (1) 若 正 方 形 的 边 长 为 a, 则 正 方 形 的 周 长 为　 4a　 ; (2)若三角形的一边长为 a,并且这边上的高为 h, 则这个三角形的面积为　 1 2 ah　 ; (3)若 m 表示一个有理数,则它的平方的相反数是 　 -m2 　 . 二、探究新知 问题　 请同学们观察上边的代数式包含哪些运算, 13 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 有何共同运算特征? 答:这些式子都是数与字母的积. 【知识归纳】 (1)由数与字母的乘积组成的代数式是单项式. (2)单独一个数或一个字母也是单项式. (3)单项式中的数因数叫做这个单项式的系数. 所 有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. (4)当一个单项式的系数是 1 或-1 时,“1”通常省 略不写;单项式的系数是带分数时,通常写成假 分数. 三、例题精讲 1. 判断下列各代数式是不是单项式,如果不是,请说 明理由;如果是,请指出它的系数与次数: (1)x+1;　 (2) - 3 2 a2b. 解:(1)x+1 不是单项式,因为代数式中出现了加法 运算. (2) - 3 2 a2b 是单项式,它的系数是 - 3 2 ,次数 是 3. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 单项式的概念. 2. 单项式的系数、次数的概念. 反思:通过从实际问题中找到等量关系并用代数式 表示,让学生认识到单项式是解决实际问题的 重要的数学工具之一. 2. 3. 2　 多项式 一、类比导入 如图,我们学校的操场由一个长方形和两个半圆 组成. (1)两个半圆的面积和是　 πb 2 4 　 ; (2)整个操场的面积是　 πb 2 4 +ab　 . 观察这两个式子之间有哪些区别和联系呢? 这就是 我们这节课要研究的整式. 【说明与建议】 说明:从学生身边的情境出发,使学生了解整式的实 际背景,进一步理解字母表示数的意义. 建议:可以采取以下方式提问学生:(1)是单项式, (2)是单项式吗? (1)(2)中的式子有什么区别吗? 二、归纳导入 (1)若长方形的长与宽分别为 a,b,则长方形的周长 是　 2(a+b)　 ; (2)若某班有男生 x 人,女生 25 人,则这个班共有学 生　 (x+25)　 人; (3)鸡兔同笼,鸡 m 只,兔 n 只,则共有头　 (m+n)　 个,脚　 (2m+4n)　 只. 观察以上的四个整式,与上节课所学的单项式有何 区别. 【归纳】 几个单项式的和叫做多项式,在多项式中,每个单项 式叫做多项式的项. 【说明与建议】 说明:通过用字母表示数导入多项式,既是对前面知 识的回顾,又由此导入新课. 建议:由学生小组派代表回答,通过特征的讲述,由 学生自己归纳出多项式的定义. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题角度 1　 多项式的有关概念 1. 多项式 3x2y-xy3 +5xy-1 是一个( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 四次三项式 B. 三次三项式 C. 四次四项式 D. 三次四项式 2. 多项式-x2yz+2xy2 -xz-1 是　 四　 次四项式,它的最 高次项的系数为　 -1　 ,常数项为　 -1　 . 命题角度 2　 多项式的项及次数的应用 3. 如果整式 xn-2 -5x+2 是关于 x 的三次三项式,那么 n 等于(　 C　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知多项式 x |m | -(m- 4) x+ 7 是关于 x 的四次三项 式,则 m= 　 -4　 . 命题角度 3　 已知多项式不含某项,求字母的值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】 若多项式不含某项,则该项的系数为 0, 从而列出关于该项系数中所含字母的方程,解方程即 可. 5. 已知关于 x 的多项式 3x5 +(m+2)x4 +(n-3)x2 +3x+1 23 不含 x4 和 x2 的项,求 2m+3n 的值是　 5　 . 6. 若关于 x 的多项式-8x3 -mx2 +(n+2)x-1 中不含二次 项和一次项,求 mn 的值. 解:由题意,得-m= 0,n+2 = 0,解得 m = 0,n = -2,所以 mn= 0×( -2)= 0. 一、教学目标 1. 理解什么是多项式,并会指出多项式的项、次数. 2. 掌握整式的概念. 二、教学重难点 重点:多项式的定义,多项式的项、次数. 难点:多项式的次数和项. 一、知识回顾 1. 什么叫单项式? 答:由数与字母的乘积组成的代数式是单项式. 单 独一个数或一个字母也是单项式. 2. -3ab 2c 7 的系数是　 - 3 7 　 , 次数是　 4　 . 3. 列代数式表示下列问题: (1)一个数比 x 的 2 倍小 3,则这个数是　 2x-3　 ; (2)如图,阴影部分的面积为　 1 2 ab-πr2 　 . 二、探究新知 问题 1 　 “知识回顾”中的式子:2x-3, 1 2 ab-πr2,类 似的还有很多,这些式子有什么特点? 答:这些式子都可以看作几个单项式相加而成的,它 们不再是单项式,而是多项式. 【知识归纳】 (1)几个单项式的和叫做多项式. (2)每个单项式叫做多项式的项. (3)不含字母的项叫做常数项. (4)一个多项式含有几项,就叫做几项式. 多项式 里,次数最高项的次数, 就是这 个 多 项 式 的 次数. 问题 2 　 归纳下面的式子. x2 + y2, - x, a +b 3 , 10, 6xy + 1, 1 x , 1 7 mn, 2x2 - x - 5, 2 x2 +x ,a7 . 解:单项式:-x, 10, 1 7 mn, a7 . 多项式:x2 +y2,a +b 3 ,6xy+1, 2x2 -x-5. 整式:x2 + y2, - x,a +b 3 ,10,6xy + 1, 1 7 mn,2x2 - x - 5,a7 . 【知识归纳】 单项式与多项式统称整式. 三、例题精讲 1. 指出下列多项式的项与次数: (1)a3 -a2b+ab2 -b3; (2)3n4 -2n2 +1. 解:(1)多项式 a3 -a2b+ab2 -b3 的项有 a3、-a2b、 ab2、-b3,次数是 3. (2)多项式 3n4 -2n2 +1 的项有 3n4、-2n2、1,次 数是 4. 2. 指出下列多项式是几次几项式: (1)x3 -x+1;　 (2)x3 -2x2y2 +3y2 . 解:(1)x3 -x+1 是三次三项式. (2)x3 -2x2y2 +3y2 是四次三项式. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 多项式及多项式的项和次数的概念. 2. 整式的概念 反思:通过多项式的学习,感受代数式的实际背景. 2. 3. 3　 升幂排列和降幂排列 一、问题导入 问题 1 　 多项式 x2 + 2x - 1 是由单项式 　 x2 　 、 　 2x　 、　 -1　 的和构成的; 问题 2　 运用加法交换律,任意交换多项式 x2 +2x-1 中各项的位置,可以得到哪几种不同的排列方式? 除本身外还有:x2 -1+2x,2x+ x2 -1,2x-1+ x2 ,-1+ x2 +2x ,-1+2x+ x2 . 33 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 问题 3　 在以上 6 种排列中,你认为哪几种比较有 规律? x2 +2x-1 和-1+2x+ x2 比较有规律. 主要是因为 x 的 指数在逐渐变小或逐渐变大. 【归纳】 (1)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从 　 大到小　 的顺序排列,叫做把这个多项式按这个 字母的降幂排列. (2)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从 　 小到大　 的顺序排列,叫做把这个多项式按这个 字母的升幂排列. 【说明与建议】 说明:通过连续问题的导入,激发学生的学习热情. 建议:采取抢答的形式回答问题,调动学生的积 极性. 命题角度　 升幂与降幂排列 1. 下列关于 x、y 的多项式 m- 2 +xm-1y+(4 -m) xm-2y- nx2ym-3 +xm -3y2 是一个四次三项式,试确定 m、n 的值, 并指出这个多项式是按哪个字母升幂或降幂排列的? 解:因为 m-2+xm-1y+(4-m) xm-2y-nx2ym-3 +xm -3y2 是 关于 x、y 的四次三项式,所以 4-m = 0,-n = 0. 所 以 m= 4,n= 0. 此时,多项式为 2+x3y+xy2,是按 y 的升幂排列的. 一、教学目标 1. 理解多项式的升幂或降幂排列的概念,会进行多 项式的升幂或降幂排列. 2. 通过尝试与交流,使学生认识到进行升幂排列与 降幂排列的必要性. 二、教学重难点 重点:多项式的升幂或降幂排列. 难点:关于某个字母的多项式的升幂或降幂排列. 一、问题导入 (1)多项式 x2 +x+1 是由单项式 　 x2、x、1　 的和构 成的; (2)运用加法交换律,任意交换多项式 x2 +x+1 中各 项的位置,可以得到哪几种不同的排列方式? 答:除本身外还有:x2 +1+x,x+x2 +1,x+1+x2 ,1+x2 +x, 1+x+x2 . 二、探究新知 问题 1 　 在以上 6 种排列中,你认为哪几种比较有 规律? 解:在众多的排列方式中,像 x2 +x+1 和 1+x+x2 这样 的排列比较有规律. 这两种排列有一个共同的特 点,即它们的各项是按字母 x 的指数从大到小 (或从小到大)的顺序排列的. 这样整齐的写法 除了美观之外,还会为计算带来方便. 问题 2 　 将多项式 7a2b2 -ab3 +5a4b-4b5 +a3 先按 a 的升幂排列,再按 b 的降幂排列. 解:按 a 的升幂排列为:-4b5 -ab3 +7a2b2 +a3 +5a4b; 按 b 的降幂排列为:-4b5 -ab3 +7a2b2 +5a4b+a3 . 【知识归纳】 (1)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大 到小的顺序排列,叫做把这个多项式按这个字母的 降幂排列. (2)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小 到大的顺序排列,叫做把这个多项式按这个字母的 升幂排列. (3)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正 负号一起移动. (4)含有两个或两个以上字母的多项式,通常按照 其中某一字母的升幂或降幂排列. 三、例题精讲 1. 把多项式 2r-1+ 4 3 r3 -r2 按 r 的升幂排列. 解:按 r 的升幂排列为:-1+2r-r2 + 4 3 r3 . 2. 把多项式 a3 +b2 -3a2b-3ab3 重新排列: (1)按 a 的升幂排列; (2)按 a 的降幂排列. 解:(1)按 a 的升幂排列为:b2 -3ab3 -3a2b+a3 . (2)按 a 的降幂排列为:a3 -3a2b-3ab3 +b2 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:降幂排列与升幂排列及其应用. 反思:培养学生的动手能力和认知能力,让学生感知 数学的美,从而增强学习数学的动力. 43