1.4 绝对值-1.6 有理数的加法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(华东师大版2024)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 应的点也是这样. 【知识归纳】 (1)像 6 和-6、1. 5 和-1. 5 那样,只有正负号不同的 两个数称互为相反数,也就是说,其中一个数是另一 个数的相反数(相反数的代数意义) . (2)在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原 点的两旁,且与原点的距离相等(相反数的几何意 义) . (3)一般地,a 和-a 互为相反数, 特别地,0 的相反 数是 0. 所有的相反数都是成对出现的. 三、例题精讲 1. 分别写出下列各数的相反数: +5,-7,-3 1 2 ,11. 2. 解:+5 的相反数是-5,-7 的相反数是 7,-3 1 2 的 相反数是 3 1 2 ,11. 2 的相反数是-11. 2. 【方法总结】 我们通常在一个数的前面添上“ -”号,表示这个 数的相反数. 例如,- 4、+ 5. 5 的相反数分别为: -(-4)= 4,-(+5. 5)= -5. 5. 在一个数的前面添上“+”号,仍表示这个数的本 身. 例如:+(-4)= -4,+(+12)= 12. 2. 化简: (1) -( +10);　 　 (2) +( -0. 15); (3) +( +3); (4) -( -20) . 解:(1) -( +10)= -10;　 (2) +( -0. 15)= -0. 15; (3) +( +3)= +3 = 3; (4) -( -20)= 20. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 相反数的意义和性质. 2. 多重符号的化简. 反思:利用互为相反数的符号表示方法化简多重符 号,体会数学符号化和数形结合的思想. 1. 4　 绝对值 一、激趣导入 　 　 清康熙年间,安徽桐城人张英中了进士,当了宰 相,成了文华殿大学士. 张英桐城的老宅与一吴姓人 家紧邻. 有一年,两家修界墙,吴家欲扩张地界,张家 人写信急报到京,意在让张英出面予以制止. 谁知, 张英书诗一首《观家书一封只缘墙事聊有所寄》 . 家 人得书,就撤让三尺. 吴家被张家的义举所感动,亦 退让三尺,形成了一个六尺宽的巷子. 用数轴表示出 两家人退让后形成的巷子宽度. 【说明与建议】 说明:通过故事,活跃课堂气氛,调动学生的学习兴 趣,激发学生的学习欲望,为引入绝对值的概念做 准备. 建议:先给学生自主思考的时间,然后教师引导学生 进行分析相反数在数轴上的表示,为进一步学习积 累活动经验. 二、情境导入 　 　 星期天,李老师从学校出发,开车去游玩,她先 向东行 30 km,到陈家峪,下午她又向西行 40 km,回 到家中(学校、陈家峪、李老师家在同一直线上),若 规定向东的方向为正方向. (1)用有理数表示李老师两次所行的路程; (2)如果汽车行驶 1 km 耗油 0. 15 L,计算这天汽车 共耗油多少升? 【说明与建议】 说明:通过生活情境说明实际生活中有些问题只关 注量的具体值,而与正负性无关,导入课题. 建议:利用数轴解决问题. 命题角度 1　 求绝对值 1. -2025 的绝对值是(　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2025 B. - 1 2025 C. -2025 D. 1 2025 2. “垃圾分类”已经在全国开展得如火如荼,某回收公 司有四包可回收垃圾,每包以标准克数(50 千克)为 基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负 数,以下数据是记录结果,其中表示实际重量最接近 标准千克数的是(　 D　 ) A. -1 B. +2 C. -0. 5 D. 0 命题角度 2　 绝对值的性质 3. 若 | a - 1 | 与 | b - 2 | 互 为 相 反 数, 则 a + b 的 值为(　 A　 ) A. 3 B. -3 C. 0 D. 3 或-3 6 一、教学目标 让学生能根据一个数的绝对值表示“距离”,初步理 解绝对值的概念. 二、教学重难点 重点:绝对值的概念和求一个数的绝对值. 难点:绝对值的几何意义和代数意义. 一、问题导入 　 　 两辆汽车从同一处 O 出发,分别向东、西方向 行驶 10 km,到达 A、B 两处,如图所示,它们的行驶 路线相同吗? 它们行驶路程的远近(线段 OA、OB 的 长度)相同吗? 解:两辆车的行驶路线相反,它们的行驶路程相同, 都是 10 km. 二、探究新知 问题 1 　 在讨论数轴上表示的点与原点的距离时, 只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度,而 与它位于原点哪一边无关. 你能写出下面各数到原 点的距离吗? +5,-6,+2,-8. 2. 解:在数轴上表示+5,-6,+2,-8. 2 的点到原点的距 离分别是 5,6,2,8. 2. 【知识归纳】 (1)绝对值的几何意义:一个数 a 的绝对值就是数 轴上表示数 a 的点与原点的距离,数 a 的绝对值记 作 | a | . (2)任何一个有理数的绝对值总是正数或 0,即对任 意的有理数 a,总有 | a | ≥0. 问题 2 　 求下列各数的绝对值: (1) | +2 | = 　 2　 , | 1 5 | = 　 1 5 　 , | +8. 2 | = 　 8. 2　 ; (2) | 0 | = 　 0　 ; (3) | -3| =　 3　 ,| -0. 2| =　 0. 2　 ,| -8. 2| =　 8. 2　 . 【知识归纳】 (1)一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对 值是它的相反数;0 的绝对值是 0. (2)互为相反数的两个数的绝对值相等.即 |a | = | -a | . 三、例题精讲 1. 求下列各数的绝对值: -15 2 ,+ 1 10 ,-4. 75,10. 5. 解: | -15 2 | = 15 2 . | + 1 10 | = 1 10 . | -4. 75 | = 4. 75. | 10. 5 | = 10. 5. 2. 化简: (1) | -( + 1 2 ) | ;　 (2) - | -1 1 3 | . 解:(1) | -( + 1 2 ) | = | - 1 2 | = 1 2 ; (2) - | -1 1 3 | = -1 1 3 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 绝对值的几何意义. 2. 绝对值的非负性. 3. 绝对值的实际应用. 反思:让学生学会求一个数的绝对值,渗透数形结合 的思想,学会绝对值的计算,并能应用绝对值 解决实际问题,体会绝对值的意义和作用. 1. 5　 有理数的大小比较 一、置疑导入 比较两个有理数的大小. 3 4 　 <　 1;-2　 <　 0. -2 与-3 哪个大呢? 想一想:1 ℃与-1 ℃ 哪个温度高? -2 ℃ 与-3 ℃ 哪 个温度高? 这个关系在温度计上是怎样的情形? 把 温度计横过来放,就好比一条数轴,从中能发现在数 轴上怎样比较两个有理数的大小吗? 【说明与建议】 说明:结合实例使学生以轻松愉快的心情进入本节 课的学习,也使学生体会到数学来源于实践. 建议:学生结合已知条件分组讨论、动手画图,教师 可以适当的提示:先利用数轴比较有理数的大小后, 利用规律(数轴上右边的数总比左边的数大)再比 较这两个温度的高低. 7 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 二、归纳导入 　 　 请同学们完成以下探究问题,并与同伴交流. (1)在数轴上表示下列几个数,并比较它们的大小: -2. 5,-2,-1,-6; (2)求出(1)中各数的绝对值,并比较它们的大小; (3)你发现了什么? 【归纳】 两个正数比较大小,绝对值大的数大;两个负数比较 大小,绝对值大的数反而小. 【说明与建议】 说明:借助数轴比较负数和正数大小的方法. 建议:先留给学生自主思考的时间,然后教师要引导 学生进行分析,归纳出有理数的大小比较法则. 命题角度 1　 利用数轴比较大小 1. 如图, 下列各点表示的数中, 比 1 大的数对应的 点是(　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 2. 有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,由图可知 a, b,c,0 的大小关系是　 a>0>b>c　 (用“ >”连接). 命题角度 2　 利用法则比较大小 3. 下列有理数的大小比较中,正确的是(　 B　 ) A. 0<-2 B. -5<3 C. -2<-3 D. 1<-4 一、教学目标 1. 掌握有理数大小比较的法则. 2. 学会比较两个或多个有理数的大小. 二、教学重难点 重点:两个负数大小的比较. 难点:两个有理数大小的比较. 一、问题导入 (1)在数轴上是怎么比较有理数的大小的? 解:在数轴上,右边的数总比左边的数大;正数都大 于 0,负数都小于 0,正数都大于负数. (2)怎样直接比较两个负数的大小呢? 二、探究新知 问题 1 　 将-1,-2,-3,-4 在数轴上表示出来,并比 较大小. 解:如图: 我们发现,负数-1,-2,-3,-4 到原点的距离分 别为 1,2,3,4,所以我们可以借助数轴从小到大 排列为:-4<-3<-2<-1. 【知识归纳】 两个负数,绝对值大的反而小. 由此可知,比较两个 负数的大小,只需比较它们的绝对值的大小就可 以了. 问题 2 　 比较下列各对数的大小. (1) -1 与-0. 05;　 (2) -8 与 | -8 | ; (3) - | -3. 2 |与-( +3. 2) . 解:(1)因为 | -1 | = 1, | -0. 05 | = 0. 05, 且 1>0. 05,所以-1<-0. 05. (2) | -8 | = 8. 因为 8>-8,所以 | -8 | >-8. (3) - | -3. 2 | = -3. 2,-( +3. 2)= -3. 2, 所以- | -3. 2 | = -( +3. 2) . 【知识归纳】 比较有理数大小的方法: (1)利用数轴,在数轴上把所给的数表示出来,然后 根据“数轴上右边的数总比左边的数大”来比较. (2)利用比较法则:正数>0>负数;两个负数,绝对值 大的反而小. 三、例题精讲 1. 比较下列各对数的大小: (1) -1 与-0. 01;　 　 　 　 (2) - | -2 |与 0; (3) -( - 1 9 )与- | - 1 10 | ; (4) - 3 4 与- 2 3 . 解:(1) 这是两个负数比较大小,因为 | - 1 | = 1, | -0. 01 | = 0. 01,且 1>0. 01,所以-1<-0. 01; (2)化简- | - 2 | = - 2. 因为负数小于 0,所以 - | -2 | <0; (3)分别化简两数,得-( - 1 9 ) = 1 9 ,- | - 1 10 | = - 1 10 ,因为正数都大于负数, 所以-( - 1 9 ) >- | - 1 10 | ; (4)这是两个负分数比较大小,因为 | - 3 4 | = 3 4 = 9 12 , | - 2 3 | = 2 3 = 8 12 ,从而 | - 3 4 | > | - 2 3 | , 所以- 3 4 <- 2 3 . 8 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 比较两个负数的大小. 2. 有理数的大小比较. 反思:利用绝对值概念比较有理数的大小,培养学生 的逻辑思维能力. 1. 6　 有理数的加法 1. 6. 1　 有理数的加法法则 置疑导入 　 　 “神舟十八号”航天员叶光富在太空行走时穿着厚 厚的太空服,其中一个重要的原因就是飞船舱外温度太 低,只有- 100 ℃ ,而舱内的最低温度比舱外温度约高 118 ℃ ,要想知道舱内的最低温度,该怎样计算呢? 　 　 【说明与建议】 说明:从航天知识导入课题,设置一些问题让学生知道 数学源于生活又应用于生活. 建议:先列出算式. 对于结果,学生会感到疑惑,老师可 就此引入新课. 命题角度 1　 利用有理数法则进行计算 1. 小马虎在下面的计算中只做对了一道题,他做对 的是(　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -2+3 = -1 B. ( -2) +( -2)= 0 C. ( -2) +( -6)= -8 D. 8+( -10)= 2 2. 已知 | x | = 3,y 的相反数是 1,则 x+y=是(　 A　 ) A. 2 或-4 B. -2 或 4 C. 2 D. -4 命题角度 2　 有理数加法的应用 3. 水艇所在的海拔高度是-50 米,在它的上方 10 米处 有一只海豚,则海豚所在的海拔高度是(　 B　 ) A. -60 米 B. -40 米 C. 40 米 D. 60 米 一、教学目标 1. 通过实例,用数形结合的思想方法探索有理数加 法法则. 2. 让学生理解并掌握有理数加法法则,能用法则进 行简单的有理数加法计算. 二、教学重难点 重点:了解有理数加法的意义,会根据有理数加法法 则进行有理数加法计算. 难点:异号两数相加的法则. 一、问题导入 (1)有理数有几种分类方法? 解:有理数按定义分为整数和分数;按性质分为正有 理数、0、负有理数. (2)在小学,我们学过正数及 0 的加法运算,引入负 数后,也要研究有理数的加法运算. 那么两个有理数 相加会有哪些情形呢? 解:正+正、正+负、负+负、负+正、0+0、0+正、0+负. 二、探究新知 问题　 借助数轴来探讨有理数的加法:一个物体向 东西方向运动,我们规定向西运动为负,向东运动 为正. (1)第一次向东走 20 米,第二次向东走 30 米,最后 运动的结果是什么? 解: 20+30 = 50(米) . 即最终位于原来位置的东边 50 米处. (2)第一次向西走 20 米,第二次向西走 30 米,最后 运动的结果是什么? 解:( -20) +( -30)= -50(米) . 即最终位于原来位置 的西边 50 米处. (3)若第一次向东走 20 米,第二次向西走 30 米,最 后运动的结果是什么? 解: ( +20) +( -30)= -10(米) . 即最终位于原来位置 的西边 10 米处. (4)若第一次向西走 20 米,第二次向东走 30 米,最 后运动的结果什么? 9 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 解:( -20) +( +30) = 10(米),即最终位于原来位置 的东边 10 米处. 【知识归纳】 (1)同号两数相加,取与加数相同的正负号,并把绝 对值相加. (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大 的加数的正负号,并用较大的绝对值减去较小的绝 对值. (3)互为相反数的两个数相加得 0. (4)一个数与 0 相加,仍得这个数. 三、例题精讲 1. 计算: (1)( +2) +( -11);(2)( -12) +( +12); (3)( - 1 2 ) +( - 2 3 );(4)( -3. 4) +4. 3. 解:(1)( +2) +( -11)= -(11-2)= -9; (2)( -12) +( +12)= 0; (3)( - 1 2 ) +( - 2 3 )= -( 1 2 + 2 3 )= -1 1 6 ; (4)( -3. 4) +4. 3 = +(4. 3-3. 4)= 0. 9. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:有理数的加法法则及其应用. 反思:培养合作意识,体验成功,树立学习自信心. 1. 6. 2　 有理数加法的运算律 一、情境导入 　 　 宋国有个非常喜欢猴子的老人,他养了一群猴 子,整天与猴子在一起,因此能够懂得猴子们的心 意. 因为粮食缺乏,老人想限制口粮. 那天,他故意先 对猴子们说:“猴子们,给你们吃橡子,早晨三颗晚上 四颗,好不好?” 　 　 众猴子听了都很愤怒. 老人马上改口说:“那就 早上四颗晚上三颗吧,够了吗?”众猴子非常高兴,大 蹦大跳起来. 这就是著名的“朝三暮四” 的故事,其 中蕴含着小学学过的加法交换律的知识呢! 【说明与建议】 说明:通过情境引出一道小学题目的计算来调动学 生的求知欲,导入有理数的加法运算律. 建议:通过问题的逐步解决,引出本节课题. 二、归纳导入 1. 叙述有理数的加法法则:(1)同号两数相加,取与 加数　 相同　 的正负号,并把绝对值　 相加　 . (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值 　 较大　 的加数的正负号,并用较大的绝对值减 去　 较小　 的绝对值. (3)互为相反数的两个数相加得　 0　 . (4)一个数与 0 相加,仍得这个数. 2. 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和 　 不变　 . 加法结合律:三个数相加,先把前两个数 相加,或者先把后两个数相加,和　 不变　 . 3. 计算并比较每组两个算式的结果: (1)( -5) +( -6),( -6) +( -5); (2)3+( -6),( -6) +3; (3)[6+( -8)] +( +8),6+[( -8) +( +8)]; (4)[15+( -15)] +( -7),15+[( -15) +( -7)] . 【归纳】 运用加法的交换律和结合律可以使计算简便. 【说明与建议】 说明:理解加法交换律和结合律适用于有理数加法 运算. 建议:让学生板演题目的计算过程,归纳有理数加法 的运算律. 命题角度 1　 有理数的加法运算律 1. 5 - 3 + 7 - 9 + 12 = ( 5 + 7 + 12 ) + ( - 3 - 9 ) 是 应 用了(　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 加法交换律 B. 加法结合律 C. 分配律 D. 加法的交换律与结合律 2. 计算: (1)( -83) +26+( -17) -26; (2)1. 9+( -1. 3) +( -1. 9) +1. 2. 解:(1)原式= [( -83) +( -17)] +(26-26) = ( -100) +0 = -100; (2)原式= [1. 9+( -1. 9)] +[( -1. 3) +1. 2] = 0+( -0. 1)= -0. 1. 命题角度 2　 有理数的加法运算律的应用 3. 水池中的水位在某天八个不同时间测得的记录如下: (规定与前一天相比上升为正,单位:cm) +3,-6,-1, 01 +5,-4,+2,-3,-2,那么这天水池中水位的最终变化 情况是(　 B　 ) A. 上升 6 cm B. 下降 6 cm C. 没升没降 D. 下降 26 cm 4. 小明家买了 8 袋大米,以每袋 10 kg 为标准质量,超过 的千克数记作正数,不足的千克数记作负数. 小明称 后的记录(单位:kg)如下:0. 4,-0. 3,0. 2,-0. 4,0. 1, 0. 6,-0. 2,-0. 5. 请回答下列问题. (1)这 8 袋大米中最接近标准质量的那袋大米的实 际质量是　 10. 1　 kg; (2)与标准质量比较,8 袋大米总计超过或不足多少 千克? 解:0. 4+( -0. 3) +0. 2+( -0. 4) +0. 1+0. 6+( -0. 2) + ( -0. 5)= -0. 1(kg). 答:与标准质量比较,8 袋大米总计不足 0. 1 kg. 一、教学目标 1. 能运用加法运算律简化加法运算. 2. 理解加法运算律在加法运算中的作用,适当进行 推理训练. 二、教学重难点 重点:有理数加法的运算律,并能运用加法运算律简 化运算. 难点:灵活运用加法运算律简化运算. 一、复习导入 　 　 在小学里我们学过加法的运算律有哪些? 引入 负数后,这些运算律是否还成立呢? 解:加法的交换律 、加法的结合律;成立. 二、探究新知 问题 1 　 计算:30+( -20),( -20) +30,两次所得的 结果相同吗? 再换几个加数试一试,从上述计算中, 你能得出什么结论? 解:两次所得的结果相同;交换加数的位置,和不变. 问题 2 　 计算: [ 8 + ( - 5)] + ( - 4), 8 + [( - 5) + ( -4)],两次所得的和相同吗? 再换几个加数试一 试,从上述计算中,你能得出什么结论? 解:两次所得的和相同;三个数相加,先把前面两个 数相加,或者先把后两个数相加,和不变. 【知识归纳】 (1)有理数加法交换律:两个数相加,交换加数的位 置,和不变. 用字母表示为 a+b= b+a. (2)有理数加法结合律:三个数相加,先把前两个数 相加,或者先把后两个数相加,和不变. 用字母 表示为(a+b)+c=a+(b+c) . 三、例题精讲 1. 计算: (1)( +26) +( -18) +5+( -16); (2)( -1. 75) +1. 5+( +7. 3) +( -2. 25) +( -8. 5) . 解:(1)原式= (26+5) +[( -18) +( -16)] = 31+( -34)= -(34 -31)= -3; (2)原式 = [( - 1. 75) + ( - 2. 25)] + [ 1. 5 + ( -8. 5)] +7. 3 = ( -4) +( -7) +7. 3 = ( -4) +[( -7) +7. 3] = ( -4) +0. 3 = -3. 7. 2. 10 筐苹果,以每筐 30 kg 为基准,超过的千克数记 作正数,不足的千克数记作负数,记录如下: 2,-4,2. 5,3,-0. 5,1. 5,3,-1,0,-2. 5. 问:这 10 筐苹果总共重多少? 解:2+( -4) +2. 5+3+( -0. 5) +1. 5+3+( -1) +0+ ( -2. 5)= (2+3+3) +( -4) +[2. 5+( -2. 5)] + [( -0. 5) +( -1) +1. 5] = 8+( -4)= 4. 30×10+4 = 304(kg) 答:这 10 筐苹果总共重 304 kg. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:有理数加法运算律及其应用. 反思:培养分类与归纳能力,强化学生的数形结合思 想,提高学生的自学能力及理解能力,激发学 生学习数学的兴趣. 1. 7　 有理数的减法 情境导入 　 　 泰山相伴上下五千年的华夏文明传承历史,集国家 兴盛、民族存亡的象征于一身,是中华民族的精神家园, 东方文化的缩影. 其主峰玉皇顶海拔约 1545 米. 1 月份的泰山,山顶平均气温为-1℃ ,山脚平均气温为 7℃ , 则 山 顶 平 均 气 温 与 山 脚 平 均 气 温 的 温 差是(　 C　 ) 11