1.1 有理数的引人-1.3 相反数-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(华东师大版2024)

第 1 章　有理数 1. 1　 有理数的引入 1. 1. 1　 正数和负数 一、归纳导入 　 　 今年年初,一股北方的冷空气大规模地向南侵 袭我国,造成大范围急剧降温,部分地区降温幅度超 过 10 ℃ ,南方有的地区的温度达到-2 ℃ ,北方有的 地区甚至达到-23 ℃ ,给人们生活带来了极大的不 便. 像-2 ℃ ,-23 ℃这样的数是一种新的数,叫做负 数. 负数有什么特点? 负数表示什么实际意义? 今 天我们来研究这些问题. 【说明与建议】 说明:利用生活中的实际问题归纳出负数概念,学生 紧跟老师的节奏展开新课. 建议:引导学生发现生活中的负数时,给其适当的时 间来发表自己的观点. 二、复习导入 问题 1　 小学里已经学过哪些类型的数呢,你能举 例说一说吗? 小学里学过的三类数:整数、分数和零(小数包括在 分数之中),它们都是由于实际需要而产生的. 它们 的出现对我们的生活有什么影响吗? 问题 2　 你会表示下面图中的数吗? 　 　 【教学与建议】 教学:通过展示实际生活情景引导学生认识到数字 的发展源于生活的需要,导入认识负数的出现源于 生活的需要. 建议:学生思考为什么要引入负数. 命题角度 1　 辨别正、负数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】 大于 0 的数叫做正数,在正数前面加上 “-”的数是负数. 1. 下列各数中,是负数的为(　 A　 ) A. -1　 　 　 　 B. 0　 　 　 　 C. 0. 2　 　 　 　 D. 3 命题角度 2　 用正负数表示具有相反意义的量 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】 具有相反意义的量应满足的条件:①成 对出现的同类量;②意义相反. 2. 下列不是具有相反意义的量的是(　 C　 ) A. 前进 5 m 和后退 5 m B. 节约 3 t 和浪费 10 t C. 身高增加 2 cm 和体重减少 2 kg D. 超过 5 g 和不足 2 g 命题角度 3　 利用正负数解决问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】 用正负数表示具有相反意义的量通常把 积极、向上趋势的量规定为正,而相反的消极、向下趋 势的量规定为负. 3. 七年级某班派出 12 名同学参加数学竞赛,这 12 名同 学的成绩分别是 90 分、95 分、70 分、71 分、72 分、79 分、81 分、77 分、78 分、80 分、82 分、85 分. (1)这 12 名同学成绩的平均分是　 80　 分; (2)以平均分为标准,用正数表示超过平均分的部 分,用负数表示不足平均分的部分,它们对应的数分 别是什么? 解:对应的数分别是+10,+15,-10,- 9,- 8,- 1,+1, -3,-2,0,+2,+5. 一、教学目标 1. 让学生理解正负数的意义,会用正负数表示具有 相反意义的量. 2. 让学生借助生活中的实例理解正负数的意义,体 会引入负数的必要性. 二、教学重难点 重点:正数和负数的意义,并会判断一个数是正数还 是负数. 难点:用正数和负数表示具有相反意义的量. 一、问题导入 在下列横线上填上适当的词,使其前后意义相反. (1)向东走 3 米和　 向西　 走 3 米; (2)某地某天最高气温是零上 12 ℃ ,最低气温是 　 零下　 2 ℃ ; 1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 (3)飞机下降 0. 6 千米和　 上升　 1 千米; (4)弹簧伸长 2 cm 和　 缩短　 3 cm. 二、探究新知 问题 1 　 下列各数中哪些是正数,哪些是负数? -10, - 0. 03, 2 5 , - 1 64 , 0, + 2, - 3 1 4 , 1. 4, + 0. 3, -3. 14,π. 解:正数: 2 5 ,+2,1. 4,+0. 3,π; 负数:-10,-0. 03,- 1 64 ,-3 1 4 ,-3. 14; 0 既不是正数,也不是负数. 【知识归纳】 (1)像-10,- 0. 03,- 3. 14 这样的数是负数,像+ 2, +0. 3,π 这样的数是正数. 负数有时也可以说成是在 正数的前面加上一个“-”号所得的数,“+”号或“-” 号我们称之为性质符号. 正数前面的“+”号读、写都 可以省略,而负数前面的“-”号读、写都不能省略. (2)0 既不是正数,也不是负数. 问题 2 　 如果+50 米表示向南走 50 米,那么-40 米 表示　 向北走 40 米　 ;向北走-10 米表示　 向南走 10 米　 . 【知识归纳】 相反意义的量是成对出现的,具有相反意义的量,只 要意义相反,而不要求数量一定相等. 例如:存入 100 元和支出 50 元是具有相反意义的量. 三、试题精讲 1. 下列各数中,哪些是正数,哪些是负数? +2 016,-3. 1, 1 2 ,10. 58,-9,+1,-45. 6,0,-2. 14 . 解:正数:+2 016, 1 2 ,10. 58,+1; 负数:-3. 1, -9,-45. 6,-2. 14. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 用正负数表示具有相反意义的量. 2. 认识正负数. 3. 正数、负数的读法、写法. 反思:通过正负数的学习,培养学生抽象思维能力、 归纳能力和概括能力. 1. 1. 2　 有理数 置疑导入 问题 1　 想一想,我们已经学过的数有哪些? 请你说出 两个你认为不同的数. 问题 2　 请观察下列一组数: +1,-4. 8,+ 5 21 ,-9. 8,- 7 9 ,-5,0,-3,15,3. 14. (1)以上各数,哪些是小学学过的数? 他们可以分为哪 几类? 试说出名称. (2)你能用小学学过的数的分类方法对上面的数进行 分类吗? 还能进一步分吗? (3)想一想,小数与分数的关系如何? 【说明与建议】 说明:学生根据所学内容回忆学过的数,起到温故知新 的作用. 建议:此类问题难度不大,应让不同层次的学生都参与 到活动中来,并通过引导让学生把所学过的数都列举 出来. 命题角度　 有理数的概念及分类 1. 下列四个有理数中,是负整数的是(　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 15 B. - 1 9 C. -5 D. -5. 32 2. 在-33,22 7 ,π,0,0. 1010010001,2026 各数中,正有理 数的个数有(　 B　 ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 3. 下列说法正确的是(　 B　 ) A. 正数、负数统称为有理数 B. 分数和整数统称为有理数 C. 正有理数、负有理数统称为有理数 D. 以上都不正确 一、教学目标 1. 让学生理解整数、分数、有理数的概念,并会判断 一个给定的数是整数、分数或有理数. 2. 让学生明确有理数分为整数和分数,同时也可以 分为正有理数、0 和负有理数,培养学生观察、比 2 较和概括的思维能力. 二、教学重难点 重点:整数、分数、有理数的概念. 难点:正确说出给出的数属于的集合. 一、知识回顾 (1)上一节我们学习了哪些内容? 解:正数和负数;用正数和负数表示具有相反意义的 量;“0”不再仅仅表示没有,在计数中有实际意 义;0 既不是正数,也不是负数. (2)每袋粮食标准重量是 50 千克,甲、乙、丙三袋粮 食的重量分别为 52 千克、49 千克和 49. 8 千克,如果 超过标准重量的部分用正数表示,那么甲、乙、丙三 袋粮食重量的记录分别为多少? 解:+2 千克、-1 千克、-0. 2 千克. 二、探究新知 (1)　 正整数 　 、　 0　 和 　 负整数 　 统称为整数; (注意:自然数也是整数) (2)　 正分数　 和　 负分数　 统称为分数;(注意:没 有 0) (3)　 整数　 和　 分数　 统称为有理数; (4)把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称 　 数集　 . 【知识归纳】 (1)整数和分数统称为有理数. (2)有限小数(包括整数)和无限循环小数统称为有 理数. (3)有理数可按定义分类:有理数 整数 正整数 0 负整数 ì î í ïï ïï 分数 正分数 负分数{ ì î í ï ï ï ï ï ï (4)有理数可按性质分类: 有理数 正有理数 正整数 正分数{ 0 负有理数 负整数 负分数{ ì î í ï ï ï ï ï ï 三、例题精讲 1. 把下列各数填入表示它们所在的数集的大括 号里: -18,22 7 ,3. 141 6,0,2 023,- 3 5 ,-0. 142 857,95%. 正数集{22 7 ,3. 141 6,2 023,95%,…}; 负数集{ -18,- 3 5 ,-0. 142 857,…}; 整数集{ -18,0,2 023,…}; 有理 数 集 { - 18, 22 7 , 3. 141 6, 0, 2 023, - 3 5 , -0. 142 857,95%,…} . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:有理数的相关概念及其分类. 反思:培养学生勇于探索的精神,渗透对立统一的辩 证思想. 1. 2　 数轴 情境导入 　 　 欣欣感冒了,医生用体温计测量了她的体温,接着 说:“37. 8 ℃ ” . 提出问题　 医生为什么通过体温计就可以读出任意一 个人的体温? 请尝试画出你想象中的温度计,并和其他同学交流,注 意交流时要发表自己的见解. 提出问题　 请找出一支温度计从外观上具有哪些不可 缺少的特征? 【说明与建议】 说明:结合生活情境使学生体会到数学来源于实践,在 生活中发现数学. 建议:找同学读温度计,通过学生读出温度计的温度初 步了解数轴的特点. 命题角度 1　 数轴上的点与有理数的关系 1. 数轴上点 M 表示的数可能是(　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -4. 5 B. -2. 5 C. -3. 5 D. 3. 5 2. 在原点左侧距离原点 3 个单位长度的点表示的 数是(　 C　 ) 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 A. 3 B. 1 3 C. -3 D. - 3 2 3. 给出下面六个数:2. 5,1,- 1 3 ,-2. 5,0,3 3 4 . 先画出数 轴,再把表示上面各数的点在数轴上表示出来 解: 命题角度 2　 数轴上两点间的距离 4. 数轴上点 A 表示的数是-3,将点 A 在数轴上移动 7 个 单位长度得到点 B,则点 B 表示的数是(　 D　 ) A. 4 B. -4 或 10 C. -10 D. 4 或-10 命题角度 3　 有理数的大小比较 5. 下列各数中,比-1 大的数是(　 D　 ) A. -4 B. -2 C. -1. 5 D. 3 一、教学目标 1. 让学生了解数轴的概念,理解数轴三要素的作用, 会准确地画出数轴. 2. 让学生会用数轴上的点表示有理数,了解有理数 与数轴上的点之间的对应关系及大小比较,体会 数形结合的思想. 明确数轴上的点表示的数从左 到右不断地增大. 二、教学重难点 重点:数轴的概念和有理数在数轴上的表示方法. 难点:有理数与数轴上的点的对应关系以及数形结 合的思想. 一、问题导入 　 　 请大家看一看,下面是三支温度计,它的用途大 家都知道. 你会读温度计吗? 请同学们读出此时温 度计所显示的温度. 二、探究新知 问题 1 　 我们在小学就学过用直线上依次排列的点 来表示自然数,能不能用直线上的点表示有理数? 从温度计上能否得到一点启发呢? 【知识归纳】 (1) 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做 数轴; (2)数轴三要素:原点、正方向和单位长度,缺一 不可. 问题 2　 如何将所给的有理数在数轴上表示呢? 【知识归纳】 画数轴并在数轴上表示所给数的点的位置的步骤: (1)画一条直线(通常画成水平位置),在这条直线 上任取一点作为原点,用这点表示数 0; (2)规定直线上从原点向右的方向为正方向,画上 箭头,则相反方向为负方向; (3)选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每 隔一个单位长度取一点,依次标上 1,2,3,…;从原 点向左,每隔一个单位长度取一点,依次标上 - 1, -2,-3,…; (4)在所要表示数的地方画上实心圆点,并将这个 数写在圆点的上方. 问题 3 　 我们已经学过比较两个正数的大小,那么 怎样比较两个有理数的大小呢? (1)任意写出两个正数,在数轴上画出表示它们的 点,较大的数与较小的数的对应点的位置有什么 关系? (2)1 ℃和-2 ℃哪个温度高? -10 ℃与 0 ℃哪个温 度高? -3 ℃和-4 ℃哪个温度高? 这些关系在温度 计上表现为怎样的情形? 【知识归纳】 (1)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的 数大. (2)正数都大于 0,负数都小于 0,正数都大于负数. 三、例题精讲 1. 画出数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点: 4,-2,-4. 5,1 1 3 ,0. 解:如图所示: 2. 比较下列各数的大小: -1. 3,0. 3,-3,-5. 解:将这些数分别在数轴上表示出来,如图所示. 4 可以看出-5<-3<-1. 3<0. 3. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 在数轴上表示已知有理数. 2. 在数轴上比较数的大小. 反思:通过数轴的学习,初步体会数形结合的思想. 1. 3　 相反数 一、激趣导入 　 　 成语故事《南辕北辙》讲了一个人从魏国要到 楚国去,楚国在南边,他硬要往北边走. 他的马越好, 赶车的本领越大,盘缠带得越多,走得越远,就越到 不了楚国. 1. 如果点 O 表示魏国的位置,点 A 表示楚国的位 置,我们假设楚国与魏国的距离为 30 km,以魏国 为原点,我们规定向南为正方向,而此人从魏国出 发向北到了点 B 也走了 30 km,请同学们把这 3 个点在数轴上表示出来. 2. 你还能在数轴上表示出类似于 A,B 这样的点吗? 【说明与建议】 说明:利用学生感兴趣的成语故事,培养学生的学习 兴趣,激发求知欲,同时也让学生进一步加深对数轴 的理解. 建议:让学生体会解决问题所用的数形结合的方法, 从而导入新课. 二、复习导入 1. 如果支出 30 元记作-30 元,那么收入 30 元记作 什么? 2. 如果河道中的水位比正常水位高 5 cm 记作 +5 cm,那么比正常水位低 5 cm 记作什么? 比较上述问题中的两组数据,除了发现它们表示 具有相反意义的量之外,你还有什么发现吗? 【说明与建议】 说明:复习、回顾用正负数表示具有相反意义的量, 从而导入课题. 建议:引导学生通过类比的方法,完成上述两个问题 的解答. 命题角度 1　 相反数 1. 下列各组数中,互为相反数的是(　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 和-2 B. -2 和 1 2 C. -2 和- 1 2 D. 1 2 和 2 2. 如果 a 与-4 互为相反数,那么 a 等于是(　 B　 ) A. -4 B. 4 C. - 1 4 D. 1 2 命题角度 2　 化简符号 3. -( -5)化简后是(　 B　 ) A. -5 B. 5 C. 1 5 D. ±5 一、教学目标 1. 让学生了解相反数的概念. 2. 让学生会在数轴上表示两个互为相反数的数,并 且发现表示互为相反数的两点在原点的两侧,到 原点的距离相等. 二、教学重难点 重点:相反数的概念及其表示方法,理解代数定义和 几何定义的一致性,对简化符号能正确应用. 难点:负数的相反数的表示方法与化简多重符号. 一、知识回顾 (1)数轴的三要素是什么? 解:原点、单位长度、正方向. (2)将-1. 5,-1,-0. 5,0. 5,1,1. 5 在数轴上表示出 来,并用“ <”连接起来. 解:如图所示: -1. 5<-1<-0. 5<0. 5<1<1. 5. 二、探究新知 问题　 在数轴上画出表示以下两对数的点:-6 和 6, 1. 5 和-1. 5. 这两对点有什么共同点? 解:如图,在数轴上,-6 和 6 所对应的点位于原点的 两旁,且与原点的距离相等,也就是说,它们相对 于原点的位置只有方向不同. 1. 5 和- 1. 5 所对 5 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 应的点也是这样. 【知识归纳】 (1)像 6 和-6、1. 5 和-1. 5 那样,只有正负号不同的 两个数称互为相反数,也就是说,其中一个数是另一 个数的相反数(相反数的代数意义) . (2)在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原 点的两旁,且与原点的距离相等(相反数的几何意 义) . (3)一般地,a 和-a 互为相反数, 特别地,0 的相反 数是 0. 所有的相反数都是成对出现的. 三、例题精讲 1. 分别写出下列各数的相反数: +5,-7,-3 1 2 ,11. 2. 解:+5 的相反数是-5,-7 的相反数是 7,-3 1 2 的 相反数是 3 1 2 ,11. 2 的相反数是-11. 2. 【方法总结】 我们通常在一个数的前面添上“ -”号,表示这个 数的相反数. 例如,- 4、+ 5. 5 的相反数分别为: -(-4)= 4,-(+5. 5)= -5. 5. 在一个数的前面添上“+”号,仍表示这个数的本 身. 例如:+(-4)= -4,+(+12)= 12. 2. 化简: (1) -( +10);　 　 (2) +( -0. 15); (3) +( +3); (4) -( -20) . 解:(1) -( +10)= -10;　 (2) +( -0. 15)= -0. 15; (3) +( +3)= +3 = 3; (4) -( -20)= 20. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 相反数的意义和性质. 2. 多重符号的化简. 反思:利用互为相反数的符号表示方法化简多重符 号,体会数学符号化和数形结合的思想. 1. 4　 绝对值 一、激趣导入 　 　 清康熙年间,安徽桐城人张英中了进士,当了宰 相,成了文华殿大学士. 张英桐城的老宅与一吴姓人 家紧邻. 有一年,两家修界墙,吴家欲扩张地界,张家 人写信急报到京,意在让张英出面予以制止. 谁知, 张英书诗一首《观家书一封只缘墙事聊有所寄》 . 家 人得书,就撤让三尺. 吴家被张家的义举所感动,亦 退让三尺,形成了一个六尺宽的巷子. 用数轴表示出 两家人退让后形成的巷子宽度. 【说明与建议】 说明:通过故事,活跃课堂气氛,调动学生的学习兴 趣,激发学生的学习欲望,为引入绝对值的概念做 准备. 建议:先给学生自主思考的时间,然后教师引导学生 进行分析相反数在数轴上的表示,为进一步学习积 累活动经验. 二、情境导入 　 　 星期天,李老师从学校出发,开车去游玩,她先 向东行 30 km,到陈家峪,下午她又向西行 40 km,回 到家中(学校、陈家峪、李老师家在同一直线上),若 规定向东的方向为正方向. (1)用有理数表示李老师两次所行的路程; (2)如果汽车行驶 1 km 耗油 0. 15 L,计算这天汽车 共耗油多少升? 【说明与建议】 说明:通过生活情境说明实际生活中有些问题只关 注量的具体值,而与正负性无关,导入课题. 建议:利用数轴解决问题. 命题角度 1　 求绝对值 1. -2025 的绝对值是(　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2025 B. - 1 2025 C. -2025 D. 1 2025 2. “垃圾分类”已经在全国开展得如火如荼,某回收公 司有四包可回收垃圾,每包以标准克数(50 千克)为 基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负 数,以下数据是记录结果,其中表示实际重量最接近 标准千克数的是(　 D　 ) A. -1 B. +2 C. -0. 5 D. 0 命题角度 2　 绝对值的性质 3. 若 | a - 1 | 与 | b - 2 | 互 为 相 反 数, 则 a + b 的 值为(　 A　 ) A. 3 B. -3 C. 0 D. 3 或-3 6