专题03 数轴上的动点、规律及其应用问题种综合问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以“用数表点、距离表线段、方程解运动”为核心，系统整合19类数轴问题，构建从概念辨析到动态综合的完整方法体系，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心思想|两点距离=|a-b|，动点位置=起始数±vt，方程解决动态关系|以数轴三要素为起点，通过距离公式、运动表达式构建数形结合基础| |19类题型|每类含典例+3变式|分类归纳特征（如翻折用中点公式、覆盖分端点是否整点）、易错提醒（如多解漏情况）|从单点运动到图形滚动，从静态计算到动态探究，层层递进，衔接绝对值、方程等知识|

专题03 数轴上的动点、规律及其应用问题19种综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、辨别数轴说法的正误 2 类型二、数轴识图与数的比较大小 2 类型三、数轴上两点之间的距离 4 类型四、数轴上点的移动 4 类型五、数轴上单点左右运动规律探究 5 类型六、数轴上三角形的运动规律探究 6 类型七、数轴上正方形的运动规律探究 7 类型八、数轴上圆形的运动规律探究 8 类型九、数轴上的翻折问题 9 类型十、数轴上的整点覆盖问题 10 类型十一、数轴与绝对值的几何意义最值问题 11 类型十二、与数轴有关的新定义问题 13 类型十三、单动点运动问题 14 类型十四、双动点运动问题 15 类型十五、多动点运动问题 16 类型十六、数轴动态与代数式综合 18 类型十七、数轴上的定值不变问题 20 类型十八、数轴的应用问题 21 类型十九、数轴旋转综合问题 24 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 数轴是初中数学数形结合的第一个重要载体，将数与点一一对应，是有理数、绝对值、方程等知识的综合运用平台。本专题涵盖 19 类热门题型，由基础概念辨析逐步过渡到动点压轴，核心解题思想是 "用数表示点，用距离表示线段，用方程解决运动"。解题关键：①数轴上两点间距离等于右边数减左边数（或两数差的绝对值）；②点的运动用 "起始数加减速度乘时间" 表示；③遇到动点问题先设时间为 t，用含 t 的式子表示各点位置，再根据距离关系列方程。所有参数结果最终均需检验是否符合题意。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、辨别数轴说法的正误 典例精讲1（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 题型归纳 1.特征：选择题或判断题，给出关于数轴概念的若干说法，要求判断正确或错误的个数. 2.方法：紧扣数轴三要素（原点、正方向、单位长度）逐一判断；数轴上右边的数总比左边大；正数在原点右侧，负数在左侧；每一个有理数都能在数轴上找到对应点，但数轴上的点不都表示有理数 3.易错提醒：忽略 "单位长度统一" 这一要素；误认为数轴上的点只能表示有理数；混淆 "原点" 与 "0 点" 的表述 典例精讲1（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 变式训练1（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 变式训练2（21-22七年级上·甘肃武威·期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 变式训练3（22-23七年级上·山东聊城·开学考试）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 类型二、数轴识图与数的比较大小 典例精讲2（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出数轴上若干点的位置，要求比较数的大小、判断正负、或确定数的范围 2.方法：数轴上右边的数总比左边的数大；原点左侧为负、右侧为正；离原点越远绝对值越大；根据点的位置估算数值范围 3.易错提醒：负数比较大小时，离原点越远数越小，容易搞反；只看位置不看单位长度导致估算错误 变式训练1（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，表示数m、的点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 变式训练3（25-26七年级上·重庆·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若与互为相反数，则三个数中绝对值最大的数是___________． 变式训练4（25-26七年级上·四川宜宾·期中）把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 类型三、数轴上两点之间的距离 典例精讲3（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：已知数轴上两点表示的数，求两点间距离；或已知距离和一个点求另一个点 2.方法：两点间距离等于两数差的绝对值，即右边数减左边数；已知一个点和距离求另一个点时，有左右两种情况，需分类讨论 3.易错提醒：求另一个点时只考虑一种方向，漏解；距离是绝对值，结果非负；用大数减小数时未判断谁大谁小 变式训练1（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点A，B在数轴上，表示的数分别为和2，则A，B两点之间距离为________． 变式训练2（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）已知点在数轴上所对应的数为3，点A、B之间的距离为5，则点在数轴上所对应的数是_______． 变式训练3（25-26七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A表示，点B，C表示的数互为相反数，且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为____________． 类型四、数轴上点的移动 典例精讲4（25-26六年级上·山东威海·期末）数轴上的点A表示，将点A先向正方向移动7个单位长度，再向负方向移动5个单位长度，此时点A表示的数是（  ） A． B．1 C． D．2 题型归纳 1.特征：已知点的初始位置和移动方向、单位长度，求移动后点表示的数 2.方法：向右移动加，向左移动减；多次移动按顺序逐步计算，或合并总位移后一次计算 3.易错提醒：左右方向与加减对应错误；多次移动时中间步骤符号出错；移动后回到原点的情况容易漏判 变式训练1（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 变式训练2（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 变式训练3（2025七年级上·河北廊坊·专题练习）点A表示数轴上的一个点，以每秒2个单位长度的速度向右移动5秒，再以相同速度向左移动4秒，终点恰好是原点，则点A到原点的距离为__________． 变式训练4（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 类型五、数轴上单点左右运动规律探究 典例精讲5（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：一个点按固定规律左右交替运动（如第 1 次向右、第 2 次向左、每次移动单位递增），求第 n 次后点的位置或总路程 2.方法：设运动次数为 n，分 n 为奇数和偶数两种情况讨论；将每次位移按正负列出，寻找抵消规律或分组求和；总路程与方向无关，是每次移动单位的绝对值之和 3.易错提醒：未分奇偶讨论导致规律错误；混淆 "最终位置" 与 "总路程"，总路程是绝对值之和；移动单位递增时项数计算错误 变式训练1（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 变式训练2（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，数轴上O，A 两点间的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，且n是正整数）处，经过这样n次跳动后的点与点A的距离是________．（用含n的代数式表示） 变式训练3（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 类型六、数轴上三角形的运动规律探究 典例精讲6（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 题型归纳 1.特征：等边三角形或特定三角形在数轴上沿某一方向滚动，求某个顶点经过若干次滚动后对应的数 2.方法：先确定三角形的边长（即每次滚动前进的距离）；观察顶点落点的循环周期（通常为 3 次一循环）；用总滚动次数除以周期，根据余数判断顶点位置，再计算对应数值 3.易错提醒：循环周期判断错误（三角形是 3 次一循环，不是 2 次）；初始位置未算准；滚动方向与数值增减对应错误 变式训练1（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上0、1、2，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的1重合（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 变式训练2（25-26七年级上·广东江门·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点、分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，，当三角形结束滚动时；点表示的数是______． 类型七、数轴上正方形的运动规律探究 典例精讲7（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 题型归纳 1.特征：正方形在数轴上沿某一方向滚动，求某个顶点经过若干次滚动后对应的数或落点 2.方法：正方形边长为每次滚动前进的距离；顶点落点周期为 4 次一循环；用总次数除以 4 看余数，确定是哪个顶点落在数轴上，再计算对应数值 3.易错提醒：周期误认为是 2 或 3；正方形顶点初始位置与滚动后位置对应关系搞错；边长与单位长度换算错误 变式训练1（25-26七年级上·江西萍乡·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2025次后，数轴上数2026所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 变式训练2（25-26七年级上·湖南湘西·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是______． 类型八、数轴上圆形的运动规律探究 典例精讲8（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 题型归纳 1.特征：圆在数轴上沿某一方向滚动，求圆上某点经过若干圈后对应的数，或求滚动特定距离后点的位置 2.方法：圆滚动一周前进的距离等于圆的周长；总前进距离等于圈数乘周长；若求圆上某定点的位置，需结合滚动的圈数和不足一圈的弧长判断 3.易错提醒：混淆圆的半径、直径与周长的关系；滚动方向与数值增减搞反；不足一圈时弧长对应的圆心角计算错误 变式训练1（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母M，N，P，Q，先让圆上字母M所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴正半轴方向滚动，那么数轴上的数2025将与圆周上重合的字母是（    ） A．M B．Q C．P D．N 变式训练2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 类型九、数轴上的翻折问题 典例精讲9（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 题型归纳 1.特征：数轴以某点为中心折叠（翻折），已知折叠后重合的两点，求折痕点表示的数；或已知折痕和一个点求其对称点 2.方法：折痕点是重合两点的中点，等于两数之和除以 2 3.易错提醒：中点公式用错（应是两数之和除以 2，不是差）；求对称点时符号出错；折叠后重合的点到折痕距离相等但方向相反 变式训练1（25-26七年级上·四川达州·期末）如图，在纸条上有一数轴，点A，C分别表示数，5，将数轴所在的纸条以点B为折叠点向右折叠后，点A和点C刚好重合，那么数轴上表示下列各数的点中，与表示10的点重合的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且点到点B的距离是2，则C点表示的数是（   ） A． B． C． D．0 变式训练3（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 类型十、数轴上的整点覆盖问题 典例精讲10（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 题型归纳 1.特征：一条线段（或数轴上某区间）覆盖多少个整数点，或已知覆盖整点个数求线段长度范围 2.方法：若线段两端点都是整数且长度为 n，则覆盖 n 加 1 个整点；若一端或两端不是整数，需根据具体位置判断；一般规律：长度为 L 的线段至少覆盖 L 的整数部分个整点，至多覆盖 L 的整数部分加 1 个 3.易错提醒：端点是否为整点直接影响结果，容易忽略端点情况；"至少" 与 "至多" 搞反；长度为整数和非整数时结论不同 变式训练1（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 变式训练2（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 变式训练3（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个． 类型十一、数轴与绝对值的几何意义最值问题 典例精讲11（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型归纳 1.特征：求若干个绝对值之和的最小值，如 x 减 a 的绝对值加 x 减 b 的绝对值的最小值，或更多个绝对值相加 2.方法：绝对值的几何意义是数轴上两点间距离；两个绝对值之和的最小值是两定点间的距离，x 在两点之间时取得；奇数个绝对值之和，x 取中间那个定点时最小；偶数个时 x 在中间两个定点之间（含端点）时最小 3.易错提醒：奇数个和偶数个取最小值的位置不同，容易混淆；x 的取值范围遗漏端点；将绝对值之和误认为差 变式训练1（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为____. 变式训练2（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离．若点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为，则． (1)回答下列问题： 数轴上表示3和7的两点之间的距离是_____， 数轴上表示和的两点之间的距离是_____， 数轴上表示2和的两点之间的距离是_____； 数轴上表示和的两点之间的距离为4，那么的值是_____； (2)深入探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在3与之间移动时，的值总是一个固定的值为_____； ②若有最小值，则最小值是_____． 变式训练3（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 类型十二、与数轴有关的新定义问题 典例精讲12（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目定义一个与数轴相关的新概念（如 "关联点"" 友好点 ""距离和" 等），要求按定义计算或探究 2.方法：仔细阅读定义，明确新概念的运算规则或判定条件；将新定义转化为常规的数轴距离、中点、绝对值等问题；代入具体数值验证理解是否正确 3.易错提醒：未读懂定义就盲目计算；新定义中的条件有多个时漏看；将新定义与已有概念混淆 变式训练1（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：．例如，．当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简得______． 变式训练2（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是______；若点是数轴上一点，且，则点表示的数______． 变式训练3（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 类型十三、单动点运动问题 典例精讲13（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）点，是数轴上的两个点，点表示的数为，点表示的数为40，现有一动点从点出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒，当时，则________． 题型归纳 1.特征：数轴上一个动点从某点出发，以固定速度向某方向运动，求运动特定时间后的位置、到某定点的距离，或满足某距离条件时的时间 2.方法：设运动时间为 t，动点位置等于起始数加速度乘 t（向右为正、向左为负）；动点到定点的距离等于两数差的绝对值；根据题意列绝对值方程求解，注意分类讨论 3.易错提醒：动点位置表达式中速度方向符号错误；距离列方程时未加绝对值导致漏解；解出 t 后未检验是否符合实际运动范围 变式训练1（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图，在数轴上个单位长度表示，点，分别表示的数为，，点是数轴上的一个动点，从点出发以的速度匀速向右运动，点是的中点，设点的运动时间为秒，当__时，线段． 变式训练2（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点，在数轴上对应的数分别为，，且，若动点在数轴上对应的数为，当＋＝时，的值为______． 变式训练3（23-24七年级上·江西上饶·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为______． 类型十四、双动点运动问题 典例精讲14（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 题型归纳 1.特征：数轴上两个动点分别从不同点出发，以不同速度运动（可能相向、同向、背向），求相遇时间、相距特定距离的时间，或某时刻两点间距离 2.方法：设时间为 t，分别用含 t 的式子表示两点位置；两点间距离等于两位置差的绝对值；相遇时距离为 0，相距特定距离时列绝对值方程；相向运动相遇时间等于初始距离除以速度和 3.易错提醒：两点运动方向不同时位置表达式符号出错；相距特定距离有相遇前和相遇后两种情况，容易漏解；速度和与速度差使用场景混淆 变式训练1（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当时，；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 变式训练2（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是______． 变式训练3（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）两个动点在数轴上同时做匀速运动，它们的运动时间以及对应位置记录如表： 时间（秒） 点位置 点位置 （1）________；________； （2）两点相距个单位长度时，时间的值为________． 类型十五、多动点运动问题 典例精讲15（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 题型归纳 1.特征：数轴上三个及以上动点同时运动，速度、方向各不相同，求某时刻各点位置、特定点间距离，或满足某条件的时间 2.方法：设时间为 t，逐个写出每个动点的位置表达式（起始数加减速度乘 t）；根据题目要求选取相关点，用距离公式列方程；多个条件时逐一转化为方程，联立求解 3.易错提醒：动点较多时位置表达式书写混乱，建议列表整理；某个点可能到达端点后停止或折返，需分段讨论；解方程后未检验所有动点是否仍在运动范围内 变式训练1（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，，点A对应的数是40．动点P，Q同时从点C，A出发向右运动，同时动点R从点A出发向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度的2倍少4个单位长度/秒，经过5秒后，点P，R之间的距离与点Q，R之间的距离相等，则动点Q的速度为______个单位长度/秒． 变式训练2（25-26七年级上·福建福州·期末）点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足． (1)填空：__________；__________；线段的长为__________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点，，同时出发，设运动时间为秒， ①点在数轴上对应的数为，在数轴上（图中）标出的大致位置，若动点到，，三点的距离满足，求此时点对应的数； ②若的取值与无关，求的最大值． 变式训练3（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 类型十六、数轴动态与代数式综合 典例精讲16（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图①，已知数轴上点表示的数为，点B表示的数为，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒． (1)线段 ． (2)当点P运动到的延长线时， ．（用含t的代数式表示） (3)如图②，当秒时，若点是的中点，点是的中点，求此时的长度为 ； (4)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位的速度沿射线向右运动． ①点P表示的数为 （用含t的代数式表示）；点Q表示的数为 （用含t的代数式表示）． ②是否存在这样的t值，使B，P，Q三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，若存在，请直接写出满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 题型归纳 1.特征：动点运动过程中，某些代数式（如两点距离之和、线段长度、周长等）的值与时间 t 无关，或要求化简含 t 的代数式 2.方法：用含 t 的式子表示各点位置，进而表示出相关线段长度或代数式；对代数式进行化简，若结果不含 t 则说明为定值；若含 t 则根据系数条件求解 3.易错提醒：线段长度必须用绝对值表示，化简时未判断正负导致符号错误；代数式化简过程中合并同类项出错；"与 t 无关" 意味着 t 的系数为 0，容易漏看常数项 变式训练1（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）数轴上有A、B、C 三个点，分别表示有理数，动点P从A出发， 以每秒1个单位的速度向终点移动，移动时间为秒． (1)用含的代数式表示对应的数字； (2)当运动到时，从出发以每秒3个单位的速度向运动，到达后，立即以同样的速度返回，运动到终点时停止．在开始运动后： ①求Q的移动时间和Q到C的距离（用含的代数式表示）； ②P、Q 两点之间的距离能否为3个单位？ 如果能，请求出此时的值； 如果不能，请说明理由． 变式训练2（25-26七年级上·江苏·寒假作业）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，，10，动点P从A出发，沿方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点P到点A、C的距离， ； ． (2)当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动． ①当 ，点P、Q相遇，此时点Q运动了 秒． ②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中的长． 变式训练3（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，数轴上原点为，，是数轴上的两点，点对应的数是，点对应的数是，且，满足，动点，同时从，出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是______，点表示的数是_______，、两点间的距离是______； (2)在数轴上动点对应的数是_______（用含的代数式表示）；在数轴上动点对应的数是____；（用含的代数式表示）；当______时，动点与点的距离为1． (3)几秒后，线段与线段恰好满足？ 类型十七、数轴上的定值不变问题 典例精讲17（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是________． 题型归纳 1.特征：动点运动过程中，某些量（如两条线段的和差比、某点分线段的比、代数式的值）始终保持不变，要求证明或求出该定值 2.方法：设时间 t 或动点位置为变量，用变量表示出相关线段和代数式；通过化简消去变量，得到常数；关键在于利用中点、距离公式等建立变量间的关系 3.易错提醒：变量选取不当导致化简困难；线段长度未加绝对值，在动点越过定点后符号变化未讨论；定值计算过程中代数运算出错 变式训练1（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，点为原点，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5，点从点开始以每秒3个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点分别以每秒2个单位和每秒4个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值为一定值，则___________． 变式训练2（25-26七年级上·河北·单元复习）如图，C为射线上一点，，比的多5，两点分别从两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线上沿方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为（s），M为的中点，N为的中点，以下结论：①；②；③当时；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论_____（填写序号） 变式训练3（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 类型十八、数轴的应用问题 典例精讲18（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 题型归纳 1.特征：以实际生活情景为背景（如出租车行程、快递配送、巡逻行走、电梯升降等），将实际问题转化为数轴上的点运动问题 2.方法：选定原点和正方向，将实际位置转化为数轴上的数；移动路程转化为数轴上的加减运算；总路程是各段位移的绝对值之和；最终位置是各段位移的代数和 3.易错提醒：实际问题中 "最终位置" 与 "总路程" 混淆，总路程是绝对值之和；原点选取不当导致计算复杂；单位换算错误（如千米与米） 变式训练1（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 变式训练2（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 变式训练3（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 变式训练4（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）数轴是数学中数形结合的重要体现，数轴上每一个点代表一个数字，反之，每一个数字都可以在数轴上找到它的位置．数轴不仅能解决数学问题，它也能解决实际问题，只要将实际问题抽象为数轴上的点，问题就可迎刃而解．例如： 甲从A地出发在一条公路上匀速行走，2分钟后，乙也从A地出发，沿相同路线行走，甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟，乙出发多长时间可以追上甲？ 分析：以A点为原点，甲乙行走方向为正方向建立一条数轴，如图： 设乙出发x分钟后追上甲，甲乙的行走，可以看作两个点在数轴上移动，根据数轴的点移动规律即右加左减的原则，可以用含x的式子表示甲乙移动过程中它们对应的数字，当乙追上甲时，甲乙位于同一点，它们表示的数字相等，即可解决问题．、 解答：乙行走过程中对应的数字为：，甲对应的数字为：, 当乙追上甲时：， 解得：， 即分钟后，乙追上甲． 根据以上数轴的应用解决下面的问题： 周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． 提示：如图2，以A入口为原点A到B的方向为正方向，建立数轴． (1)B点表示的数为________，在两人骑行的过程中，相遇前甲骑行的位置表示为______，乙骑行的位置可表示为________．（用含x的代数式表示） (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 类型十九、数轴旋转综合问题 典例精讲19（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）【阅读材料】 “数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要方法．如图1，数轴上的点表示的数为，点表示的数为，且，点是线段的中点． （1）填空：点表示的数是___________． （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，两动点同时停止运动，设运动的时间为秒． ①点表示的数分别为___________，___________（用含的代数式表示）； ②在两点运动的过程中，若，求运动时间的值． 【类比迁移】 （3）我们发现角的很多运算方法和线段运算方法一样，如图2，已知平分，射线从出发，以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发，以每秒的速度顺时针旋转，射线同时旋转，当射线到达时，射线同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出旋转时间的值；若不存在，请说明理由． 题型归纳 1.特征：数轴（或数轴上的线段、图形）绕某点旋转一定角度，求旋转后点的位置、对应数值，或旋转过程中的规律 2.方法：确定旋转中心和旋转角度；旋转前后对应点到旋转中心的距离相等；若旋转 180 度，旋转中心是对应点的中点（与翻折类似）；若旋转其他角度，需结合几何图形性质计算 3.易错提醒：旋转方向（顺时针 / 逆时针）影响结果，容易忽略；旋转中心不是原点时坐标变换复杂，需用距离和中点关系；多次旋转时周期判断错误 变式训练1（25-26七年级上·河南安阳·期末）【材料阅读+方法迁移】 如图1，数轴上的点A，B表示的数分别为，8，点M是线段的中点． （1）点M表示的数是______； （2）若点P，Q分别从点A，B同时出发，以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，若P，Q两点之间的距离为3，求t的值； 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线，分别从，同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．直接写出经过几秒后，射线，的夹角为． 变式训练2（25-26七年级上·陕西西安·期末）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离，在数轴上，点的位置如图1所示，． 【问题解决】 如图2所示，点是数轴上的三点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是7． （1）点和点之间的距离为___________； （2）若点以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，当时，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3所示，点为直线上一点，射线，，位于直线上方，．若射线绕点按每秒的速度顺时针方向旋转，同时，射线绕点分别按每秒和的速度逆时针方向旋转，当射线旋转到与重合时，三条射线同时停止运动．若的值是一个定值，试确定的值． 变式训练3（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1． （1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动 个单位长度； （2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒6个单位长度和每秒5个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为 ， ， （用含t的代数式表示）； ②记点P与点Q之间的距离为d，点Q与点R之间的距离为m，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线的夹角为？ 【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 4．（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 5．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 6．（2026·河北唐山·二模）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为0，2，3，此时点B是点A，C的“唯美点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为3，下列各数，，5，7所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“唯美点”的是 ； (2)点A表示的数为a（a为整数），点B表示的数为，点T是数轴上的一个动点，对应的数用t表示若，且点A、B、T中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的t的值有 个，其中非整数t的值为 （用含有a的代数式表示）． 8．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 9．（25-26七年级上·广东惠州·期中）【知识背景】数轴上，点表示的数为，则两点的距离，的中点表示的数为． 【知识运用】已知数轴两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为． (1)_______，________； (2)若点为线段的中点，则点对应的数为_________．若为线段的中点时，则点对应的数为________； (3)若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间，点到线段中点的距离恰好是1 ？ 10．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数轴上的动点、规律及其应用问题19种综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、辨别数轴说法的正误 2 类型二、数轴识图与数的比较大小 3 类型三、数轴上两点之间的距离 7 类型四、数轴上点的移动 9 类型五、数轴上单点左右运动规律探究 11 类型六、数轴上三角形的运动规律探究 14 类型七、数轴上正方形的运动规律探究 16 类型八、数轴上圆形的运动规律探究 18 类型九、数轴上的翻折问题 20 类型十、数轴上的整点覆盖问题 23 类型十一、数轴与绝对值的几何意义最值问题 25 类型十二、与数轴有关的新定义问题 30 类型十三、单动点运动问题 34 类型十四、双动点运动问题 37 类型十五、多动点运动问题 40 类型十六、数轴动态与代数式综合 46 类型十七、数轴上的定值不变问题 52 类型十八、数轴的应用问题 55 类型十九、数轴旋转综合问题 62 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 数轴是初中数学数形结合的第一个重要载体，将数与点一一对应，是有理数、绝对值、方程等知识的综合运用平台。本专题涵盖 19 类热门题型，由基础概念辨析逐步过渡到动点压轴，核心解题思想是 "用数表示点，用距离表示线段，用方程解决运动"。解题关键：①数轴上两点间距离等于右边数减左边数（或两数差的绝对值）；②点的运动用 "起始数加减速度乘时间" 表示；③遇到动点问题先设时间为 t，用含 t 的式子表示各点位置，再根据距离关系列方程。所有参数结果最终均需检验是否符合题意。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、辨别数轴说法的正误 典例精讲1（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 题型归纳 1.特征：选择题或判断题，给出关于数轴概念的若干说法，要求判断正确或错误的个数. 2.方法：紧扣数轴三要素（原点、正方向、单位长度）逐一判断；数轴上右边的数总比左边大；正数在原点右侧，负数在左侧；每一个有理数都能在数轴上找到对应点，但数轴上的点不都表示有理数 3.易错提醒：忽略 "单位长度统一" 这一要素；误认为数轴上的点只能表示有理数；混淆 "原点" 与 "0 点" 的表述 典例精讲1（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 变式训练1（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可． 【详解】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误； 数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误； 有理数在数轴上能表示出来；故③说法错误； 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确； 故选A． 变式训练2（21-22七年级上·甘肃武威·期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐项判断即可． 【详解】解：图（1）有单位长度和正方向，有原点，故正确； 图（2）有原点和单位长度，但没有正方向，故不正确； 图（3）有原点和正方向，但所画负半轴上的数字排列顺序不对，故不正确； 图（4）有原点和正方向，但单位长度不一致，故不正确； 综上，四个选项中，只有（1）正确． 故选：B． 变式训练3（22-23七年级上·山东聊城·开学考试）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【答案】 在数轴上表示如图所示：    【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】略 类型二、数轴识图与数的比较大小 典例精讲2（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 题型归纳 1.特征：给出数轴上若干点的位置，要求比较数的大小、判断正负、或确定数的范围 2.方法：数轴上右边的数总比左边的数大；原点左侧为负、右侧为正；离原点越远绝对值越大；根据点的位置估算数值范围 3.易错提醒：负数比较大小时，离原点越远数越小，容易搞反；只看位置不看单位长度导致估算错误 变式训练1（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，表示数m、的点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键．先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 变式训练2（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：手掌遮挡住的点表示的数在与之间， ∵， ∴手掌遮挡住的点表示的数可能是． 变式训练3（25-26七年级上·重庆·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若与互为相反数，则三个数中绝对值最大的数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，根据相反数的定义可得原点在数b和数c之间，且数b和数c到原点的距离相等，再由绝对值的几何意义即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴绝对值最大的数为， 故答案为：a． 变式训练4（25-26七年级上·四川宜宾·期中）把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 【答案】(1) 数轴表示如下： ； (2) 根据有理数大小比较的原则，得到： ； (3) 根据题意，填充如下： 【分析】（1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）略 类型三、数轴上两点之间的距离 典例精讲3（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找最接近原点的点，只需比较各数的绝对值，绝对值最小的即为所求． 【详解】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，，，， ∵ ∴对应的点到原点的距离最小，最接近原点． 题型归纳 1.特征：已知数轴上两点表示的数，求两点间距离；或已知距离和一个点求另一个点 2.方法：两点间距离等于两数差的绝对值，即右边数减左边数；已知一个点和距离求另一个点时，有左右两种情况，需分类讨论 3.易错提醒：求另一个点时只考虑一种方向，漏解；距离是绝对值，结果非负；用大数减小数时未判断谁大谁小 变式训练1（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点A，B在数轴上，表示的数分别为和2，则A，B两点之间距离为________． 【答案】3 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为和2， ∴A，B两点之间的距离为． 变式训练2（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）已知点在数轴上所对应的数为3，点A、B之间的距离为5，则点在数轴上所对应的数是_______． 【答案】或8 【分析】点B的位置有两种情况，分别在点A的左侧和点A的右侧，根据数轴上两点间距离的定义列方程求解即可． 【详解】解：若点B在点A的右侧，则点B对应的数为， 若点B在点A的左侧，则点B对应的数为， 因此点B在数轴上对应的数是8或． 变式训练3（25-26七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A表示，点B，C表示的数互为相反数，且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为____________． 【答案】4或0 【分析】先根据点表示的数与点和点的距离求出点表示的数，再根据相反数的定义求出点表示的数． 【详解】解：设点表示的数是，点B表示的数是， 点表示的数是，点与点之间的距离为， ， 解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，．当时，． 点B表示的数是4或0． 类型四、数轴上点的移动 典例精讲4（25-26六年级上·山东威海·期末）数轴上的点A表示，将点A先向正方向移动7个单位长度，再向负方向移动5个单位长度，此时点A表示的数是（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】数轴上的点的移动规律，数轴上的点向正方向移动对应数相加，向负方向移动对应数相减． 【详解】解：∵点初始表示的数为， 向正方向移动7个单位长度后，数为， 再向负方向移动5个单位长度后，数为， ∴此时点表示的数是． 题型归纳 1.特征：已知点的初始位置和移动方向、单位长度，求移动后点表示的数 2.方法：向右移动加，向左移动减；多次移动按顺序逐步计算，或合并总位移后一次计算 3.易错提醒：左右方向与加减对应错误；多次移动时中间步骤符号出错；移动后回到原点的情况容易漏判 变式训练1（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 变式训练2（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 变式训练3（2025七年级上·河北廊坊·专题练习）点A表示数轴上的一个点，以每秒2个单位长度的速度向右移动5秒，再以相同速度向左移动4秒，终点恰好是原点，则点A到原点的距离为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程——动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意列出方程是解题的关键． 设点A表示的数为x，根据移动速度和方向，计算向右和向左的移动距离，结合最终位置为原点，列方程求解x，再求距离即可解答． 【详解】解：设点A起始位置为x， 由题意可得，， 解得， ∴点A到原点的距离为． 故答案为：2． 变式训练4（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 类型五、数轴上单点左右运动规律探究 典例精讲5（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：A． 题型归纳 1.特征：一个点按固定规律左右交替运动（如第 1 次向右、第 2 次向左、每次移动单位递增），求第 n 次后点的位置或总路程 2.方法：设运动次数为 n，分 n 为奇数和偶数两种情况讨论；将每次位移按正负列出，寻找抵消规律或分组求和；总路程与方向无关，是每次移动单位的绝对值之和 3.易错提醒：未分奇偶讨论导致规律错误；混淆 "最终位置" 与 "总路程"，总路程是绝对值之和；移动单位递增时项数计算错误 变式训练1（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 变式训练2（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，数轴上O，A 两点间的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，且n是正整数）处，经过这样n次跳动后的点与点A的距离是________．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，两点间的距离，先根据中点推出，进而求出点与点A的距离即可． 【详解】解：由题意，得：， 依次类推，则：， ∴点与点A的距离为：； 故答案为：． 变式训练3（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 【答案】18或27 【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 类型六、数轴上三角形的运动规律探究 典例精讲6（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 题型归纳 1.特征：等边三角形或特定三角形在数轴上沿某一方向滚动，求某个顶点经过若干次滚动后对应的数 2.方法：先确定三角形的边长（即每次滚动前进的距离）；观察顶点落点的循环周期（通常为 3 次一循环）；用总滚动次数除以周期，根据余数判断顶点位置，再计算对应数值 3.易错提醒：循环周期判断错误（三角形是 3 次一循环，不是 2 次）；初始位置未算准；滚动方向与数值增减对应错误 变式训练1（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上0、1、2，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的1重合（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，与等边三角形上重合的点表示的数字以1，2，0这3个数字循环出现，再根据各个选项逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，与等边三角形上重合的点表示的数字以1，2，0这3个数字循环出现， A、，，故与三角形上的0重合，不符合题意； B、，，故2019与三角形上的1重合，符合题意； C、，，故2021与三角形上的2重合，不符合题意； D、，，故与三角形上的0重合，不符合题意； 故选：B． 变式训练2（25-26七年级上·广东江门·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点、分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，，当三角形结束滚动时；点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，解题的关键是理解题意． 根据滚动情况求出结束滚动时，点表示的数即可． 【详解】第一次滚动后，点表示的数为：； 第二次滚动后，点表示的数为：； 第三次滚动后，点表示的数为：； 第四次滚动后，点表示的数为：； 第五次滚动后，点表示的数为：； 故答案为：． 类型七、数轴上正方形的运动规律探究 典例精讲7（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． 题型归纳 1.特征：正方形在数轴上沿某一方向滚动，求某个顶点经过若干次滚动后对应的数或落点 2.方法：正方形边长为每次滚动前进的距离；顶点落点周期为 4 次一循环；用总次数除以 4 看余数，确定是哪个顶点落在数轴上，再计算对应数值 3.易错提醒：周期误认为是 2 或 3；正方形顶点初始位置与滚动后位置对应关系搞错；边长与单位长度换算错误 变式训练1（25-26七年级上·江西萍乡·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2025次后，数轴上数2026所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，图形类的规律探索，找到变化规律是解答的关键． 根据题意找到规律：对应的数是，对应的数是，对应的数是，对应的数是，每次翻转为一循环，进而可求解． 【详解】解：在翻转过程中，对应的数是，对应的数是，对应的数是，对应的数是， 依此类推，可知每次翻转为一循环， ， 所对应的点是B， 故选：B． 变式训练2（25-26七年级上·湖南湘西·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是______． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得， 因为，所以数轴上数2027所对应的点是C， 故答案为：C． 类型八、数轴上圆形的运动规律探究 典例精讲8（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 题型归纳 1.特征：圆在数轴上沿某一方向滚动，求圆上某点经过若干圈后对应的数，或求滚动特定距离后点的位置 2.方法：圆滚动一周前进的距离等于圆的周长；总前进距离等于圈数乘周长；若求圆上某定点的位置，需结合滚动的圈数和不足一圈的弧长判断 3.易错提醒：混淆圆的半径、直径与周长的关系；滚动方向与数值增减搞反；不足一圈时弧长对应的圆心角计算错误 变式训练1（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母M，N，P，Q，先让圆上字母M所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴正半轴方向滚动，那么数轴上的数2025将与圆周上重合的字母是（    ） A．M B．Q C．P D．N 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的数字规律．求出与数轴上的数1，2，3，4重合的字母，根据可知数2025与圆周上重合的字母和数1重合的字母相同，据此即可得到答案． 【详解】解：如图： 数轴上与1，2，3，4对应的字母分别为N，M，Q，P， ∵， 故数2025与圆周上重合的字母和数1重合的字母相同，是N， 故选：D． 变式训练2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 类型九、数轴上的翻折问题 典例精讲9（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 题型归纳 1.特征：数轴以某点为中心折叠（翻折），已知折叠后重合的两点，求折痕点表示的数；或已知折痕和一个点求其对称点 2.方法：折痕点是重合两点的中点，等于两数之和除以 2 3.易错提醒：中点公式用错（应是两数之和除以 2，不是差）；求对称点时符号出错；折叠后重合的点到折痕距离相等但方向相反 变式训练1（25-26七年级上·四川达州·期末）如图，在纸条上有一数轴，点A，C分别表示数，5，将数轴所在的纸条以点B为折叠点向右折叠后，点A和点C刚好重合，那么数轴上表示下列各数的点中，与表示10的点重合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点的距离与点表示的数的运算关系是解答的关键． 设点B表示的数为x，先根据以点B为折叠点向右折叠后，点A和点C刚好重合，求出x，再设表示数y的点与表示10的点重合，进而可确定y． 【详解】解：设点B表示的数为x,     ∵以点B为折叠点向右折叠后，点A和点C刚好重合， ∴， ∵， ∴， 解得， 设表示数y的点与表示10的点重合， ∴， 解得， 故选：A． 变式训练2（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且点到点B的距离是2，则C点表示的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离问题，数轴上的翻折问题，能正确地表示出两点间的距离是解题的关键． 设点C所表示的数为，则，，根据，列出关于的方程，解出方程即可． 【详解】解：设点所表示的数为，则，， ，点表示的数为8， ∴点表示的数为， 根据折叠得，， ， 解得，， 故选：A． 变式训练3（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 类型十、数轴上的整点覆盖问题 典例精讲10（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 题型归纳 1.特征：一条线段（或数轴上某区间）覆盖多少个整数点，或已知覆盖整点个数求线段长度范围 2.方法：若线段两端点都是整数且长度为 n，则覆盖 n 加 1 个整点；若一端或两端不是整数，需根据具体位置判断；一般规律：长度为 L 的线段至少覆盖 L 的整数部分个整点，至多覆盖 L 的整数部分加 1 个 3.易错提醒：端点是否为整点直接影响结果，容易忽略端点情况；"至少" 与 "至多" 搞反；长度为整数和非整数时结论不同 变式训练1（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 变式训练2（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和整数的个数问题，熟练掌握数轴的特征是解题的关键．由题意可得到的长度是玩具火车的倍，则玩具火车长度为，要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，据此即可得到答案． 【详解】解：∵已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为． ∴, 由题意可知，的长度是玩具火车的倍， ∴玩具火车长度为， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为， 故答案为： 变式训练3（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 类型十一、数轴与绝对值的几何意义最值问题 典例精讲11（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 题型归纳 1.特征：求若干个绝对值之和的最小值，如 x 减 a 的绝对值加 x 减 b 的绝对值的最小值，或更多个绝对值相加 2.方法：绝对值的几何意义是数轴上两点间距离；两个绝对值之和的最小值是两定点间的距离，x 在两点之间时取得；奇数个绝对值之和，x 取中间那个定点时最小；偶数个时 x 在中间两个定点之间（含端点）时最小 3.易错提醒：奇数个和偶数个取最小值的位置不同，容易混淆；x 的取值范围遗漏端点；将绝对值之和误认为差 变式训练1（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为____. 【答案】225 【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 变式训练2（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离．若点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为，则． (1)回答下列问题： 数轴上表示3和7的两点之间的距离是_____， 数轴上表示和的两点之间的距离是_____， 数轴上表示2和的两点之间的距离是_____； 数轴上表示和的两点之间的距离为4，那么的值是_____； (2)深入探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在3与之间移动时，的值总是一个固定的值为_____； ②若有最小值，则最小值是_____． 【答案】(1)4；2；5；1或 (2)①4    ②5 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离和数的绝对值计算之间的关系，去掉绝对值之后代数式的表达是解题的关键，解此类题目要学会分区间讨论和数形结合的思想方法． （1）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）①要去掉绝对值符号，写出去绝对值后的表达式计算即可； ②根据两点之间线段最短，求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示3和7的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离4， 则， ， ， 或． 故答案为：4；2；5；1或． （2）①数的点在3与之间移动，画出数轴如图， ． ． 故答案为：4． ②表示数与和2之间的距离之和， 当数的点在与2之间移动时，最小． ． 故答案为：5． 变式训练3（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 类型十二、与数轴有关的新定义问题 典例精讲12（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，新定义运算，解题的关键是理解题意．根据“赋能点”定义，分别检查点与点D、E组成的三点中是否存在一点到其他两点距离相等． 【详解】解：∵点D表示，点E表示3， 对于， ∵，，， ∴不存在其中一个点到另外两个点的距离相等， ∴点与点不能组成“赋能点”； 对于， ∵，， ∴到D、E的距离相等， ∴点与点能组成“赋能点”； 对于， ∵，， ∴到D、的距离相等， ∴点与点能组成“赋能点”； 综上，和符合． 故选：D． 题型归纳 1.特征：题目定义一个与数轴相关的新概念（如 "关联点"" 友好点 ""距离和" 等），要求按定义计算或探究 2.方法：仔细阅读定义，明确新概念的运算规则或判定条件；将新定义转化为常规的数轴距离、中点、绝对值等问题；代入具体数值验证理解是否正确 3.易错提醒：未读懂定义就盲目计算；新定义中的条件有多个时漏看；将新定义与已有概念混淆 变式训练1（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：．例如，．当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简得______． 【答案】 【分析】易得，化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 变式训练2（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是______；若点是数轴上一点，且，则点表示的数______． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，求出，，则有，即，设点表示的数为，则有，，由，得，然后求出的值即可，根据理解题中定义和分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵为数轴上三点，分别对应，，， ∴，， ∴， ∴， 设点表示的数为，则有，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或， 故答案为：，或． 变式训练3（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)90 (2)所对应的数是20或50； (3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80， ∴， ∴点之间的距离是90； 故答案为：90； （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为50； ∴线段的“理想点”所对应的数是20或50； （3）解：∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为18，18，54， ①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 类型十三、单动点运动问题 典例精讲13（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）点，是数轴上的两个点，点表示的数为，点表示的数为40，现有一动点从点出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒，当时，则________． 【答案】45或 【分析】本题考查数轴上点的运动，一元一次方程的应用．当运动t秒时，点P表示的数为，根据数轴上两点间距离表示出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：当运动t秒时，点P表示的数为， ∵点表示的数为，点表示的数为40， ∴， ， ∵， ∴， ∴或． 故答案为：45或． 题型归纳 1.特征：数轴上一个动点从某点出发，以固定速度向某方向运动，求运动特定时间后的位置、到某定点的距离，或满足某距离条件时的时间 2.方法：设运动时间为 t，动点位置等于起始数加速度乘 t（向右为正、向左为负）；动点到定点的距离等于两数差的绝对值；根据题意列绝对值方程求解，注意分类讨论 3.易错提醒：动点位置表达式中速度方向符号错误；距离列方程时未加绝对值导致漏解；解出 t 后未检验是否符合实际运动范围 变式训练1（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图，在数轴上个单位长度表示，点，分别表示的数为，，点是数轴上的一个动点，从点出发以的速度匀速向右运动，点是的中点，设点的运动时间为秒，当__时，线段． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值的意义，线段中点的性质，解一元一次方程．设点的运动时间为秒，则秒后，点表示的数为，根据点是的中点，进而求得点表示的数，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵点，分别表示的数为，， 设点的运动时间为秒，则秒后，点表示的数为， ∵点是的中点， ∴点表示的数为 ∴ ∵， ∴ 解得：或 故答案为：或． 变式训练2（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点，在数轴上对应的数分别为，，且，若动点在数轴上对应的数为，当＋＝时，的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的点，绝对值与偶次幂的非负性，解一元一次方程的应用；根据题意得出，，，分类讨论，即可求解． 【详解】解：， ，； 解得，； 动点在数轴上对应的数为，当＋＝时， ． 即点在和点之间的不同位置情况： 若点在点左侧，即，则，化简得，从而得到． 若点在点右侧，即，则，化简得，从而得到． 若点在和点之间，即，则，显然不满足． 综上，当时，的值为或． 故答案为：或． 变式训练3（23-24七年级上·江西上饶·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间的距离相等，分，，点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为或或； 故答案为：或或． 类型十四、双动点运动问题 典例精讲14（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键．根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距3个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或3， 故选：C． 题型归纳 1.特征：数轴上两个动点分别从不同点出发，以不同速度运动（可能相向、同向、背向），求相遇时间、相距特定距离的时间，或某时刻两点间距离 2.方法：设时间为 t，分别用含 t 的式子表示两点位置；两点间距离等于两位置差的绝对值；相遇时距离为 0，相距特定距离时列绝对值方程；相向运动相遇时间等于初始距离除以速度和 3.易错提醒：两点运动方向不同时位置表达式符号出错；相距特定距离有相遇前和相遇后两种情况，容易漏解；速度和与速度差使用场景混淆 变式训练1（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当时，；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出、、、所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，即，两点之间的距离不会随着的变化而变化，正确，①符合题意； ②，， 当时，， 解得或，故②不符合题意； ③，， ，故正确，③符合题意． 故选：B． 变式训练2（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题．设运动时间为，则表示的数为，表示的数为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵点，到点的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或 变式训练3（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）两个动点在数轴上同时做匀速运动，它们的运动时间以及对应位置记录如表： 时间（秒） 点位置 点位置 （1）________；________； （2）两点相距个单位长度时，时间的值为________． 【答案】 或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．先根据匀速运动的速度公式求出和的速度，再利用速度求和的值，再根据两点位置差的绝对值为列方程求解即可． 【详解】解：由已知可得，向负方向移动，向正方向移动 ∵点从到，位置从变为， ∴点速度为， ∵点从到，位置从变为， ∴点速度为， ①求：在时的位置，从到，由的位置变化为单位，向正方向，所以； ②求：在时的位置，从到，由的位置变化为单位，向负方向移动，所以； ③由题意可知，点位置为，点位置， ∵两点相距个单位长度， ∴， 即或， 解得或． 故答案为：或． 类型十五、多动点运动问题 典例精讲15（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 【答案】，， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据点的运动速度和方向，表示的长度，进而求得的值． 【详解】解：当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴， 即：； 当时，，， ∴ ∵上式为定值， ∴； 当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴； 故答案为： ． 题型归纳 1.特征：数轴上三个及以上动点同时运动，速度、方向各不相同，求某时刻各点位置、特定点间距离，或满足某条件的时间 2.方法：设时间为 t，逐个写出每个动点的位置表达式（起始数加减速度乘 t）；根据题目要求选取相关点，用距离公式列方程；多个条件时逐一转化为方程，联立求解 3.易错提醒：动点较多时位置表达式书写混乱，建议列表整理；某个点可能到达端点后停止或折返，需分段讨论；解方程后未检验所有动点是否仍在运动范围内 变式训练1（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，，点A对应的数是40．动点P，Q同时从点C，A出发向右运动，同时动点R从点A出发向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度的2倍少4个单位长度/秒，经过5秒后，点P，R之间的距离与点Q，R之间的距离相等，则动点Q的速度为______个单位长度/秒． 【答案】4或36 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．根据，，得出，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；假设点R速度为v个单位长度/秒，根据点P、R之间的距离与点Q、R之间的距离相等，得出等式方程求出即可． 【详解】解：， 因为点对应的数是40， 所以点对应的数是， 假设点的速度为个单位长度/秒，则秒后点表示的数为， 点表示的数为：，点表示的数为：，，， 当时，由，得：． 有两种情况：， 解得：， 或， 解得：． ∴或20． 则或36． 故答案为：4或36． 变式训练2（25-26七年级上·福建福州·期末）点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足． (1)填空：__________；__________；线段的长为__________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点，，同时出发，设运动时间为秒， ①点在数轴上对应的数为，在数轴上（图中）标出的大致位置，若动点到，，三点的距离满足，求此时点对应的数； ②若的取值与无关，求的最大值． 【答案】(1)；；； (2) ①如图所示，点为所求， 设点对应的数为，可能在左侧，也可能在右侧，但始终在，左侧， 则， ， ， ， 解得：或． ∴点对应的数为或； ②． 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加为则各自为，求出、的值，再用数轴上两点距离公式计算线段的长度． （2）①设点对应的数为，根据点在数轴上的位置表示出、、，代入等式，通过绝对值方程求解的值．②先表示出运动秒后点、、对应的数，进而得出、、的表达式，分和两段化简，根据“取值与无关”的条件确定的最大值． 【详解】（1）解：， , ， ,， ,， ∴； （2）解：①略 ②速度比快，比慢， 故始终在右侧，可能在左侧，也可能在右侧， 表示的数是，表示的数是表示的数是， ， ， 当时，， ， 当时，， ，取值与有关，不合题意， 的最大值是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上两点间的距离公式、动点问题的代数表示、绝对值方程的求解以及代数式的分类化简，熟练掌握非负数的性质、用代数表示数轴上点的位置和距离，以及对含绝对值的表达式进行分类讨论是解题的关键． 变式训练3（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒 【分析】（1）由，得，解得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为，分三种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴A表示的数是，B表示的数是30； 解方程得， ∴C表示的数为10； 故答案为：，30，10； （2）解：由题意得：P表示的数为，Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， 即或， 解得或； ∴经过22秒或18秒时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度； （3）解：设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，则有： 运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为， 若P为中点，则， 解得； 若Q为的中点，则， 解得； 若R为中点，则， 解得； ∴动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是读懂题意，列出方程及分类讨论思想的应用． 类型十六、数轴动态与代数式综合 典例精讲16（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图①，已知数轴上点表示的数为，点B表示的数为，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒． (1)线段 ． (2)当点P运动到的延长线时， ．（用含t的代数式表示） (3)如图②，当秒时，若点是的中点，点是的中点，求此时的长度为 ； (4)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位的速度沿射线向右运动． ①点P表示的数为 （用含t的代数式表示）；点Q表示的数为 （用含t的代数式表示）． ②是否存在这样的t值，使B，P，Q三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，若存在，请直接写出满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)14 (2) (3)7 (4)①，；②存在，t的值为或或14 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和数轴，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，根据题意列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离，可直接得出结论； （2）根据数轴上点的平移可得出点所表示的数，再根据数轴上两点间的距离公式可得出结论（或直接利用线段的和差计算特得出结论）； （3）根据题意，等于长度的一半； （4）根据点的运动可直接得出点和点所表示的数，再根据中点的定义分情况的讨论，可得出结论． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 当点运动到的延长线时，， 故答案为：； （3）解：如图， 点是的中点，点是的中点， ， 故答案为：； （4）解：①根据题意得，点表示的数为， 点表示的数为， 故答案为：，； ②存在， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 如图，当点为的中点时， ， ， 解得：； 如图，当点为中点时， ， ， 解得：； 如图，当点为中点时， ， ， 解得：； 综上，的值为或或. 题型归纳 1.特征：动点运动过程中，某些代数式（如两点距离之和、线段长度、周长等）的值与时间 t 无关，或要求化简含 t 的代数式 2.方法：用含 t 的式子表示各点位置，进而表示出相关线段长度或代数式；对代数式进行化简，若结果不含 t 则说明为定值；若含 t 则根据系数条件求解 3.易错提醒：线段长度必须用绝对值表示，化简时未判断正负导致符号错误；代数式化简过程中合并同类项出错；"与 t 无关" 意味着 t 的系数为 0，容易漏看常数项 变式训练1（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）数轴上有A、B、C 三个点，分别表示有理数，动点P从A出发， 以每秒1个单位的速度向终点移动，移动时间为秒． (1)用含的代数式表示对应的数字； (2)当运动到时，从出发以每秒3个单位的速度向运动，到达后，立即以同样的速度返回，运动到终点时停止．在开始运动后： ①求Q的移动时间和Q到C的距离（用含的代数式表示）； ②P、Q 两点之间的距离能否为3个单位？ 如果能，请求出此时的值； 如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①Q的移动时间为秒；Q未到达C前，；Q从C返回A时，；②或9或或 【分析】（1）由题意知，P对应的数字为； （2）①由题意知，P运动到B时，用时秒，由P运动到B时，Q从A出发，可知Q的移动时间；当Q未到达C前，表示出对应的数字，然后求即可；Q从A出发到达C，用时秒，则当Q从C后返回A时，表示出对应的数字，然后求即可； ②当Q到达C前，，由，根据距离公式列出方程，计算求解即可；当 Q到达C后，，同理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，P对应的数字为； （2）①解：由题意知，P运动到B时，用时（秒）， ∵P运动到B时，Q从A出发， ∴Q的移动时间为秒； 当Q未到达C前，对应的数字为， ∴Q到C的距离， ∵Q从A出发到达C，用时（秒）， ∴当Q从C返回A时，对应的数字为， ∴Q到C的距离， 综上，Q未到达C前，，Q从C返回A时，； ②解：当Q到达C前，， ∵， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 当Q到达C返回A时，， 由①可知，此时对应的数字为， ∵， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，P、Q两点之间的距离能为3个单位，t的值为或9或或． 变式训练2（25-26七年级上·江苏·寒假作业）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，，10，动点P从A出发，沿方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点P到点A、C的距离， ； ． (2)当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动． ①当 ，点P、Q相遇，此时点Q运动了 秒． ②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中的长． 【答案】(1)t， (2)①21，5；②当时，；当时， 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用及分类讨论． （1）根据题意即可得出结果； （2）①根据路程和为20，列出方程即可求解； ②根据两点间的距离，对t分类讨论，t不同范围，可得不同． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， 故答案为：t，． （2）解：①由题意得，， 解得：， ， 故当时，点P，Q相遇，此时点Q运动了5秒， 故答案为：21，5； ②当时，； 当时，． 变式训练3（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，数轴上原点为，，是数轴上的两点，点对应的数是，点对应的数是，且，满足，动点，同时从，出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是______，点表示的数是_______，、两点间的距离是______； (2)在数轴上动点对应的数是_______（用含的代数式表示）；在数轴上动点对应的数是____；（用含的代数式表示）；当______时，动点与点的距离为1． (3)几秒后，线段与线段恰好满足？ 【答案】(1)2；；6 (2)；；或； (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上的两点之间的距离计算，一元一次方程的应用，非负数的性质，能将相关基础知识灵活运用起来是本题的关键． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点A和点B表示的数，再根据数轴上的两点之间的距离计算公式求解即可； （2）用点A表示的数加上点M运动的距离可得点M表示的数，用点B表示的数加上点N运动的距离即可得到点N表示的数，再根据数轴上的两点之间的距离计算建立方程求解即可； （3）分别用含x的式子表示出和，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是2，点表示的数是， ∴、两点间的距离是； （2）解：由题意得，在数轴上动点对应的数是，在数轴上动点对应的数是； ∵动点与点的距离为1， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：由（2）可得，， ∵， ∴， ∴或， 解得或． 类型十七、数轴上的定值不变问题 典例精讲17（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是________． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得到当时，的值均为定值，这个定值是5，进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x与两点之间的距离，表示x与3两点之间的距离， 则表示x到的距离与x到3的距离的差， 当时，，这两个距离的差都是5， 当时，，这两个距离的差都是， 当时，，这两个距离的差是变化的，最大值是5，最小值是， 则当时，的值均为定值，这个定值是5，则t的最小值3， 故答案为：3． 题型归纳 1.特征：动点运动过程中，某些量（如两条线段的和差比、某点分线段的比、代数式的值）始终保持不变，要求证明或求出该定值 2.方法：设时间 t 或动点位置为变量，用变量表示出相关线段和代数式；通过化简消去变量，得到常数；关键在于利用中点、距离公式等建立变量间的关系 3.易错提醒：变量选取不当导致化简困难；线段长度未加绝对值，在动点越过定点后符号变化未讨论；定值计算过程中代数运算出错 变式训练1（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，点为原点，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5，点从点开始以每秒3个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点分别以每秒2个单位和每秒4个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值为一定值，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，列代数式，整式加减无关型，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示点运动后表示的数．设运动时间为秒，可得点运动后表示的数为，点运动后表示的数为，点运动后表示的数为，进而得到，，，再求出，根据整式加减无关型即可解答． 【详解】解：设运动时间为秒， 则点运动后表示的数为，点运动后表示的数为，点运动后表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为一定值， ∴， 解得． 故答案为：． 变式训练2（25-26七年级上·河北·单元复习）如图，C为射线上一点，，比的多5，两点分别从两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线上沿方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为（s），M为的中点，N为的中点，以下结论：①；②；③当时；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论_____（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论． 【详解】解：∵，比的多5， ∴，， ∴；故①正确； ∵P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度， ∴，， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，，， ∴；故②正确； ∵，，， ∴，解得：，故③正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值与t无关是定值， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想． 变式训练3（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；1；9 (2)点D表示的数是5 (3)的值不是定值 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，多项式的系数和次数， 对于（1），根据最小的正整数是1求出b，再根据三次项系数为0，一次项系数为9求出a，c； 对于（2），先求出，再结合点B表示的数解答； 对于（3），先设运动的时间为，再表示点A，B，C表示的数，然后表示出，最后求和即可解答． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， 解得； 故答案为：； （2）解：因为点A，C表示的数分别为，9， 所以线段的中点表示的数为， 所以线段的中点表示的数也为3． 因为点B表示的数是1， 所以点D表示的数是5； （3）解：的值不是定值． 理由如下： 设运动的时间为，则点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 所以， 当时，，不是定值； 当时，． 所以不是定值． 类型十八、数轴的应用问题 典例精讲18（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 题型归纳 1.特征：以实际生活情景为背景（如出租车行程、快递配送、巡逻行走、电梯升降等），将实际问题转化为数轴上的点运动问题 2.方法：选定原点和正方向，将实际位置转化为数轴上的数；移动路程转化为数轴上的加减运算；总路程是各段位移的绝对值之和；最终位置是各段位移的代数和 3.易错提醒：实际问题中 "最终位置" 与 "总路程" 混淆，总路程是绝对值之和；原点选取不当导致计算复杂；单位换算错误（如千米与米） 变式训练1（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【答案】（）凤岭；（）个单位长度；（）；（）分钟或分钟 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）根据题意求出火车运行的时间分，进而根据路程速度时间解答即可求解； （）求出点运动到数字（含停靠）的时间，根据数轴上两点间距离公式解答即可求解； （）分相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度，分别列式解答即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，数字表示凤岭站， 故答案为：凤岭； （）∵相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒， ∴当时，火车运行的时间为分钟， ∴此时小瑞离火车东站距离为个单位长度； （）当点运动到数字时（含停靠时间），用时分钟， ∴此时点在数轴上表示的数为； （）①相遇前相距个单位长度时，出发时间分钟； ②相遇后相距个单位长度，出发时间分钟； 答：出发分钟或分钟后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 变式训练2（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)点三点在数轴上的位置如图所示， (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：略． （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 变式训练3（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【答案】(1)5或1 (2)11；5 (3)物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）利用数轴上点的特征与绝对值的意义解答即可； （3）以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元，利用绝对值的意义和分类讨论的思想方法解答即可． 【详解】（1）解：， 或， 或1． 故答案为：5或1． （2）解：表示数轴上到与到8的距离之和， 当在与8之间时，取最小值，最小值为； 表示数轴上到、到2与到的距离之和， 当时，，此时和最小． 故答案为：11；5． （3）解：以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，如图， 设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元， ， 当时，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（元），取得最小值， 物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元． 变式训练4（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）数轴是数学中数形结合的重要体现，数轴上每一个点代表一个数字，反之，每一个数字都可以在数轴上找到它的位置．数轴不仅能解决数学问题，它也能解决实际问题，只要将实际问题抽象为数轴上的点，问题就可迎刃而解．例如： 甲从A地出发在一条公路上匀速行走，2分钟后，乙也从A地出发，沿相同路线行走，甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟，乙出发多长时间可以追上甲？ 分析：以A点为原点，甲乙行走方向为正方向建立一条数轴，如图： 设乙出发x分钟后追上甲，甲乙的行走，可以看作两个点在数轴上移动，根据数轴的点移动规律即右加左减的原则，可以用含x的式子表示甲乙移动过程中它们对应的数字，当乙追上甲时，甲乙位于同一点，它们表示的数字相等，即可解决问题．、 解答：乙行走过程中对应的数字为：，甲对应的数字为：, 当乙追上甲时：， 解得：， 即分钟后，乙追上甲． 根据以上数轴的应用解决下面的问题： 周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． 提示：如图2，以A入口为原点A到B的方向为正方向，建立数轴． (1)B点表示的数为________，在两人骑行的过程中，相遇前甲骑行的位置表示为______，乙骑行的位置可表示为________．（用含x的代数式表示） (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【答案】(1)，，乙骑行的位置表示为 (2) (3)或 【分析】本题考查数轴的应用，一元一次方程的应用，涉及行程问题中的相遇与追及，需要根据题意建立数轴模型，用代数式表示位置，并通过方程求解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据数轴定义，点对应距离；利用路程公式分别表示甲、乙的位置； （2）相遇时两者位置相同，列方程求解； （3）分段分析相遇后两人的运动状态，列出距离方程，注意乙休息后改变方向，需分两种情况讨论． 【详解】（1）解：以为原点，到方向为正方向建立数轴，，相距，故点表示的数为； 甲从出发，速度为，骑行时间为，故甲的位置为； 乙从出发，比甲晚，速度为，方向与正方向相反，故乙骑行时间为，乙的位置为． 故答案为：，，； （2）解：当甲、乙相遇时，两者位置相同， 即 解得． 答：当甲、乙两人相遇时，x的值为1； （3）解：相遇时，此时位置为， 相遇后甲继续以向骑行，乙休息后掉头以原速度返回， 乙休息时段，即当时，乙位置始终表示为， 乙返回时段，即当时，乙的位置表示为， 甲的位置始终表示为， 在乙返回途中即时，甲、乙相距， 即 整理得， 或， 或， 经检验，和均大于，符合乙返回途中的条件， 答：当甲、乙相距时，的值为或． 类型十九、数轴旋转综合问题 典例精讲19（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）【阅读材料】 “数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要方法．如图1，数轴上的点表示的数为，点表示的数为，且，点是线段的中点． （1）填空：点表示的数是___________． （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，两动点同时停止运动，设运动的时间为秒． ①点表示的数分别为___________，___________（用含的代数式表示）； ②在两点运动的过程中，若，求运动时间的值． 【类比迁移】 （3）我们发现角的很多运算方法和线段运算方法一样，如图2，已知平分，射线从出发，以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发，以每秒的速度顺时针旋转，射线同时旋转，当射线到达时，射线同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出旋转时间的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）①，；②或；（3）10或18 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、角的运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示的数，然后根据中点的定义即可解答； （2）①结合数轴用t表示出P、Q表示的数即可；②先根据题意表示出，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （3）先根据角平分线的定义求得，再表示出，说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段的中点， ∴点C表示的数是． 故答案为：3； （2）①设运动时间为t秒， 则：点P表示的数为：；点Q表示的数为：； 故答案为：，； ②∵点P表示的数为：；点Q表示的数为：； ∴，， ∵， ∴， ∵当点Q到达点A时，两动点的运动同时停止，． ∴； 当时，有，解得：； 当时，有，解得：． 综上，当或时，． （3）∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； 当时，， 当时，有，解得：； 当时，有，解得：； 即旋转时间的值为10或18． 题型归纳 1.特征：数轴（或数轴上的线段、图形）绕某点旋转一定角度，求旋转后点的位置、对应数值，或旋转过程中的规律 2.方法：确定旋转中心和旋转角度；旋转前后对应点到旋转中心的距离相等；若旋转 180 度，旋转中心是对应点的中点（与翻折类似）；若旋转其他角度，需结合几何图形性质计算 3.易错提醒：旋转方向（顺时针 / 逆时针）影响结果，容易忽略；旋转中心不是原点时坐标变换复杂，需用距离和中点关系；多次旋转时周期判断错误 变式训练1（25-26七年级上·河南安阳·期末）【材料阅读+方法迁移】 如图1，数轴上的点A，B表示的数分别为，8，点M是线段的中点． （1）点M表示的数是______； （2）若点P，Q分别从点A，B同时出发，以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，若P，Q两点之间的距离为3，求t的值； 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线，分别从，同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．直接写出经过几秒后，射线，的夹角为． 【答案】（1）2；（2）9或15；（3）10秒或20秒 【分析】本题主要考查了数轴，线段中点的性质，动点问题，两点之间的距离，动角问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据中点的性质求出中点对应的数即可； （2）根据点平移的性质表示出两个点所表示的数，然后利用两点之间的距离公式进行求解即可； （3）假设时间为秒，表示出两条射线旋转的角度，然后分两种情况进行讨论，根据角的和差列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点A，B表示的数分别为，8，点M是线段的中点， ∴点M表示的数是， 故答案为：2； （2）根据题意得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得或； （3）假设时间为秒，根据题意得， 射线旋转的角度为，射线旋转的角度为， ∵，平分， ∴， 当没有追到时，， 解得； 当超过时，， 解得； 所以，时间为10秒或20秒． 变式训练2（25-26七年级上·陕西西安·期末）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离，在数轴上，点的位置如图1所示，． 【问题解决】 如图2所示，点是数轴上的三点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是7． （1）点和点之间的距离为___________； （2）若点以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，当时，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3所示，点为直线上一点，射线，，位于直线上方，．若射线绕点按每秒的速度顺时针方向旋转，同时，射线绕点分别按每秒和的速度逆时针方向旋转，当射线旋转到与重合时，三条射线同时停止运动．若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，角的和差，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）表示出和的长，列出方程即可解答； （3）表示出，列出的式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：点和点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：由题意可得移动后点表示的数为， ，, 则可得， 解得或； （3）解：由题意可得，，， 当射线旋转到与重合时，三条射线同时停止运动， ，即， ， ， ， ， ， 当时， ， 则时，即时，为定值； 当时， ， 则时，即时，为定值； 综上，或． 变式训练3（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1． （1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动 个单位长度； （2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒6个单位长度和每秒5个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为 ， ， （用含t的代数式表示）； ②记点P与点Q之间的距离为d，点Q与点R之间的距离为m，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线的夹角为？ 【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 【答案】（1）2（2）①；； ②没有变化；23；方法迁移10秒或27.5秒；生活运用 【分析】主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移动前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可；②表示出，化简后即可判断； 【方法迁移】分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； 【生活运用】设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）∵数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1，要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等， 则，． 故可将点B向左移动2个单位长度， 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为；；， 故答案为：；；； ②∴不变化；理由如下： 点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴， ∴不变化，； 【方法迁移】∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线的夹角为， 当追上前，则， 解得：； 当追上后，则， 解得：． ∴经过10秒或27.5秒后，射线的夹角为； 【生活运用】设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的运算进行解答即可； （2）先根据数轴得到，则，再化简绝对值并合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：根据题意可知，， ∴ ∴ 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【答案】(1)①5；②2或8； (2)5 【分析】（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； 【详解】（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 4．（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 5．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【答案】(1)； (2)①或；②； (3)； (4)①；②，； 【分析】（1）数轴上两个点所表示的数的差的绝对值即为两点之间的距离； （2）①解绝对值方程即可；②根据题意得到，再根据与的距离是，得到在和之间，即可得解； （3）根据题意求出折叠点对应的数是，即可得解； （4）①根据题意求出折叠点对应的数是，即可得解；②设点表示的数是，则点表示的数是，根据①所得折叠的点表示的数求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； （2）解：①若，则或， 解得：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ， 与的距离是， ， 是整数， 的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为； （3）解：表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合； （4）解：①表示的点和 表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数是． 6．（2026·河北唐山·二模）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“与互为相反数”找出原点的位置即可求出的值； （2）根据的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定的值求解； （3）根据“数轴上点的位置右边点表示的数两点之间的距离”，用将的值表示出来进行求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为0，2，3，此时点B是点A，C的“唯美点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为3，下列各数，，5，7所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“唯美点”的是 ； (2)点A表示的数为a（a为整数），点B表示的数为，点T是数轴上的一个动点，对应的数用t表示若，且点A、B、T中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的t的值有 个，其中非整数t的值为 （用含有a的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)6，或或或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式分别求出点A和点B到，，，四个点的距离，再根据“唯美点”的定义判断即可； （2）先求出，，，再分三种情况：当A是B、T的“唯美点”时，当B是A、T的“唯美点”时，当T是A、B的“唯美点”时，根据“唯美点”的定义建立方程分别求解，最后，得到非整数t的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，，， ，，，， ∴，， ∴，是点，的“唯美点”； （2）解：由题意，得，，， 当A是B、T的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或； 当B是A、T的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或．   ∴或或或(舍去)； 当T是A、B的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或(舍去)或或， 综上，或或或或或， ∴t的值一共有6个，其中非整数t的值为或或或． 【点睛】掌握两点间的距离公式及“唯美点”的定义，能得出，，，再分三种情况：当A是B、T的“唯美点”时，当B是A、T的“唯美点”时，当T是A、B的“唯美点”时，进行“分类讨论”是解决问题的关键． 8．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 【答案】(1) 12；3 (2)5 (3) 秒 (4) 或． 【分析】用来表示，根据题目意思即可构造等量关系求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 则当时，， 当时，， （2）解：点P和点Q相遇时， 则， 解得： （3）解：由题可知，的中点为：， 由（2）可知，点P和点Q相遇时，， 则点表示的数为：， 则（秒）． （4）解：由题可知，点P到点O的距离为：， ， ∴， 解得：或． 9．（25-26七年级上·广东惠州·期中）【知识背景】数轴上，点表示的数为，则两点的距离，的中点表示的数为． 【知识运用】已知数轴两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为． (1)_______，________； (2)若点为线段的中点，则点对应的数为_________．若为线段的中点时，则点对应的数为________； (3)若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间，点到线段中点的距离恰好是1 ？ 【答案】(1)， (2)， (3)经过或秒后，点到线段中点的距离恰好是1 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）根据线段中点坐标公式即可求解； （3）设经过秒后，点到线段中点的距离恰好是1，秒后，点的位置为：，点的位置为：，点的位置为：，由题意列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：由题意得：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， 若点为线段的中点，则点对应的数， 若为线段的中点时，则， 解得：； （3）解：设经过秒后，点到线段中点的距离恰好是1， 秒后，点的位置为：，点的位置为：， ∴点的位置为：， 由题意得：， 解得：或， ∴经过或秒后，点到线段中点的距离恰好是1． 10．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $