专题2.7 一元二次函数、方程和不等式综合检测1（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第一册）

专题2.7一元二次函数、方程和不等式综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）不等式(1＋x)(1－|x＞0的解集是 A． B．     C． D． 2．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024高一上·黑龙江佳木斯·阶段练习）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·重庆涪陵·阶段练习）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（2024高一上·山东青岛·阶段练习）设实数满足，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·浙江金华·阶段练习）若，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三上·湖北恩施·阶段练习）若，则使得不等式关于恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·重庆·期中）若不等式的解集为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 10．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知，则下列关系中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三上·河南洛阳·阶段练习）若，，且，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最小值 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 13．（23-24高一上·上海·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．（2024高一上·湖北黄石·阶段练习）若，则的最大值是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高一上·北京·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 16．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知，，求证： （1）； （2）. 17．（2024高一上·河北唐山·阶段练习）求下列代数式的最值 (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值. 18．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小. （1）与，； （2）与. 19．（23-24高三上·湖北·期中）为庆祝建国70周年，某高中准备设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面高与宽的比为，画的上下部分各留出的空白，左右部分各留出的空白. （1）当时，该宣传画的高和宽分别为多少？ （2）如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张面积最小，并求出此时的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7一元二次函数、方程和不等式综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）不等式(1＋x)(1－|x＞0的解集是 A． B．     C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为成立； 当时，不等式化为，解得且； 综上所述，不等式的解集为且. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 2．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，由均值不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以由均值不等式， ，当且仅当时，即时，不等式取等号， 故的最小值为3． 故选：B 3．（2024高一上·黑龙江佳木斯·阶段练习）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质一一判定即可. 【详解】由题意可知，即A错误，B正确； 若，即C、D错误. 故选：B 4．（2024高一上·重庆涪陵·阶段练习）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先讨论a是否为0，若不为0，则通过判别式法求得答案. 【详解】由题意，若，则，显然不合题意； 若，由对一切实数都成立可知，. 于是，. 故选：C. 5．（2024高一上·山东青岛·阶段练习）设实数满足，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对函数化简，应用基本不等式求和的最小值. 【分析】因为，所以， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 6．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可． 【详解】方法一：因为，可知，所以， 所以，，所以，，， 所以A正确，B，C错误． 因为，所以，所以D错误， 故选：A 方法二；因为，设，， 所以，，，所以，,,, 所以A正确，B，C，D错误, 故选：A 7．（2024高一上·浙江金华·阶段练习）若，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】使用基本不等式，直接可得结果. 【详解】由题可知：， 所以，即 又，所以 即且， 所以（当且仅当时取等号） 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属基础题. 8．（2024高三上·湖北恩施·阶段练习）若，则使得不等式关于恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求出，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案. 【详解】若，，当且仅当，即时等号成立， 所以若不等式恒成立，则， 其集合表示为， 则使得不等式关于恒成立的一个充分不必要条件需要是的真子集，分析只有D正确. 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·重庆·期中）若不等式的解集为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求出，即可判断ABC，根据一元二次不等式解法即可判断D. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，故A正确； 因为的两个根是，所以， 所以，则，，故BC错误； 将代入得，即， 解得或，故D错误. 故选：BCD. 10．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知，则下列关系中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的基本性质判断. 【详解】，A正确； 取，，，B错误； ∵，，∴，C正确； ∴，，∴，∴，D错误. 故选：AC. 11．（2024高三上·河南洛阳·阶段练习）若，，且，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最小值 【答案】ABC 【分析】根据题意结合基本不等式逐项分析求解. 【详解】对于选项A：， 当且仅当，即，时等号成立，故ab有最大值，故A正确； 对于选项B：， 当且仅当，时等号成立， 所以有最大值，故B正确； 对于选项C：， 当且仅当，即时等号成立， 即有最小值4，故C正确； 对于选项D：， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为，故D错误． 故选：ABC． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】根据，先利用基本不等式“”的代换求的最小值，再求结果. 【详解】且， （当且仅当，即时取等号）， ， 故答案为：10 【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式. 13．（23-24高一上·上海·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分类讨论的解题思想，结合一元二次不等式恒成立，可得答案. 【详解】当时，不等式化简为，显然此时不等式恒成立； 当时，由一元二次不等式恒成立可得，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 14．（2024高一上·湖北黄石·阶段练习）若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】转化函数形式为，结合均值不等式，即得解 【详解】由题意， 又，故 由于，由均值不等式 ，当且仅当，即时等号成立 故，当时等号成立 则的最大值是-1 故答案为：-1 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高一上·北京·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. （2）根据绝对值不等式的解法求得不等式的解集. （3）根据分式不等式的解法求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意：，解集为. （2）依题意：或，或，解集为或. （3）依题意：,,,,解集为. 16．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知，，求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）由，可得，结合，可得； （2）由，，，利用基本不等式可得，，，三个式子相乘，进而可证明结论成立. 【详解】证明：（1）因为，所以，， 于是，即， 由，得. （2）因为，，，所以，，， 所以， 当且仅当时，等号同时成立，因为，所以上式中等号不能同时取得. 所以. 【点睛】本题考查不等式的证明，考查不等式的性质、基本不等式的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 17．（2024高一上·河北唐山·阶段练习）求下列代数式的最值 (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1)5； (2)18. 【分析】（1）利用基本不等式求最小值，注意取值条件； （2）由题设得，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. （2）由，且，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18. 18．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小. （1）与，； （2）与. 【答案】（1）；（2）. 【解析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）， ，且， ，. ，即. （2） （当且仅当时取等号）， 又，，. . 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于较难题. 19．（23-24高三上·湖北·期中）为庆祝建国70周年，某高中准备设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面高与宽的比为，画的上下部分各留出的空白，左右部分各留出的空白. （1）当时，该宣传画的高和宽分别为多少？ （2）如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张面积最小，并求出此时的值. 【答案】（1）54，126（2）画面的高为，宽； 【分析】(1)设画面的高为，宽，由面积列出方程求出x即可得解；(2) 设画面的高为，则宽为，求出面积表达式利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）设画面的高为，宽，由题意得，解得， ∴该画的高为：， 宽为：； （2）设画面的高为，则宽为，根据题意得 当且仅当即时等号成立，此时宽为， ∴. 【点睛】本题考查函数的实际应用，涉及基本不等式求和的最小值，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$