专题1.9 集合专项复习（3大考点11种题型）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.9 集合专项复习 【考点1：集合的概念】 1 【题型一：集合中元素的特性】 1 【题型二：集合中元素的个数】 3 【考点2：集合的基本关系】 4 【题型三：求集合的子集或真子集】 5 【题型四：求集合的子集或真子集个数】 7 【题型五：两个集合包含关系的判断】 9 【题型六：空集】 12 【考点3：集合的基本运算】 13 【题型七：交集】 14 【题型八：并集】 16 【题型九：补集与全集】 18 【题型十：集合的应用】 21 【题型十一：集合的新定义】 24 【课时达标检测】 27 【考点1：集合的概念】 1．集合的有关概念 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2.与集合概念有关问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么，即确定性． (2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质． (3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【题型一：集合中元素的特性】 1．（2024·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合元素与集合的关系计算即可得. 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）设集合中含有三个元素1，，，若，则 . 【答案】或5 【分析】根据题意可得，或，求出后，再由集合中的元素具有互异性分析判断即可. 【详解】因为集合中含有三个元素1，，，且， 所以，或， 当时，得，此时集合中含有三个元素1，4，25，符合题意， 当时，得或， 当时，集合中只有两个元素1，4，不合题意，舍去， 当时，集合中含有三个元素1，4，，符合题意， 综上，或. 故答案为：或5 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 4．（2024高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 【答案】2 【分析】根据集合相等的性质可得，从而可得结果 【详解】因为，所以，于是可得或， 由得，而无解，所以， 所以=2. 故答案为：2 5．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可. 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 【题型二：集合中元素的个数】 1．（2024高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 2．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）20以内的素数组成集合S，S有多少个元素？ 【答案】8 【分析】根据素数定义及数的范围求出元素即可. 【详解】20以内有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个素数， 所以集合S有8个元素. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）方程的解是什么？ （2）集合且中有多少个元素？ 【答案】（1）无解；（2）　0个 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）直接判断即可. 【详解】（1）因为，所以方程无解； （2）因为且，所以集合有0个元素. 【考点2：集合的基本关系】 1．集合间的基本关系 　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 2．判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 　　　 [易错提醒] (1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系． (2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．　　 【题型三：求集合的子集或真子集】 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）集合的子集有 ；其中真子集有 ． 【答案】 【分析】根据子集和真子集的定义求解即可. 【详解】集合{a，b，c}的子集有：； 真子集有：. 故答案为：； 2．（2024高一下·全国·课堂例题）写出满足的集合M： ． 【答案】 【分析】根据子集的定义，列举所有符合条件的集合即可求解． 【详解】根据，可得可以为． 故答案为： 3．（2024高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 4．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【答案】，，，． 【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集. 【详解】当时，， 集合A的所有子集有，，，． 5．（2024高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【分析】解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可. 【详解】由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 6．（2024高一·上海·课堂例题）已知集合.是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出实数a的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由. 【答案】存在，答案见解析 【分析】先根据题意分析得方程只有一个根或有两个相等实根，再分类讨论与两种情况，结合子集的定义即可得解. 【详解】要使集合有且仅有两个子集，即集合有且只有一个元素， 即方程只有一个根或有两个相等实根， 当，即时，方程化为，得， ，对应的两个子集：. 当，即时，，解得， 此时， 对应的两个子集：. 综上，当时，集合对应的两个子集为：； 当时，集合对应的两个子集为：. 【题型四：求集合的子集或真子集个数】 1．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】求出，再利用结论即可得到其真子集个数. 【详解】， 则集合A的真子集个数为. 故选：C. 2．（宁夏2025届高三8月新起点调研模拟试卷（一）数学试题）集合的真子集个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式不等式，化简完集合，根据真子集定义即可求得结果. 【详解】由题意得， 所以该集合的真子集个数为. 故选：C 3．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】根据子集的概念得到答案. 【详解】因为集合， 则集合可以为,，，，，，， 共8个， 故选：C 4．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）满足集合为的真子集且的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为集合， 则集合可以为，，，，，，共7个， 故选：B 5．（24-25高一上·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合． 【答案】 【分析】利用子集个数的公式可确定A中元素个数，结合方程解的个数讨论即可. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以A中只有一个元素， 若，此时，符合题意； 若，要符合题意则需一元二次方程只有一个实数根， 即，即， 综上满足条件的实数组成的集合为. 【题型五：两个集合包含关系的判断】 1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，进而用列举法表示集合A，然后根据元素和集合，集合与集合的关系判断即可. 【详解】由, 得, 所以，故C正确； 对于A,故A错误； 对于B,,故B错误； 对于D,故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的关系得到结果； 【详解】集合的关系如图：    故选：B. 3．（24-25高三上·湖北荆门·阶段练习）如果集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得答案. 【详解】集合，， ． 故选：C． 4．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 5．（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）下列各对集合M，N中，满足M是N的子集的是（    ） A．， B．， C．M＝{x|x是正方形}，N＝{x|x是矩形} D．， 【答案】BC 【分析】根据子集的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为是数集，是点集， 所以M不是N的子集，所以A错误， 对于B，因为，， 所以M是N的子集，所以B正确， 对于C，因为M＝{x|x是正方形}，N＝{x|x是矩形}，正方形是特殊的矩形， 所以M是N的子集，所以C正确， 对于D，因为，， 所以N是M的子集，所以D错误. 故选：BC 6．（2024高一下·全国·随堂练习）判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集定义可判断； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； 【详解】（1）x是矩形是平行四边形， ； （2），， ，， 的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数， 例如： 所以； 【题型六：空集】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）方程的实数解组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【分析】只需要说明原方程无实数解，即可得到所求集合为空集. 【详解】由于对任意实数都有，故满足的实数构成的集合为空集. 故答案为：. 2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用根的判别式可解. 【详解】依题意，一元二次方程无实根， 则， 即，解得. 4．（2024高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 【考点3：集合的基本运算】 1．集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 2.集合的三种基本运算的常见性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A. (2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. [方法技巧1]　　求集合交集或并集的方法步骤 [方法技巧2] 解决交、并、补混合运算的一般思路 (1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义． (2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到． (3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．　　 [方法技巧3] 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【题型七：交集】 1．（24-25高三上·四川遂宁·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何交集运算求解即可. 【详解】由集合， 可得. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义结合已知条件求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C 3．（山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集可得，再解方程可得集合； 【详解】因为，所以， 代入，可得， 所以方程变为，可解得或3， 所以， 故选：C. 4．（2024高一上·江苏淮安·学业考试）设集合则= 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】集合则. 故答案为： 5．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值集合是 【答案】，或 【分析】化简集合，由条件可得，结合集合的包含关系列关系式，由此可得结论. 【详解】因为方程的解集为， 所以， 因为，所以或或或， 又， 所以或或或， 所以或， 所以的取值集合是，或. 故答案为：，或. 【题型八：并集】 1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：B 3．（24-25高三上·浙江·开学考试）设集合，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取，排除选项ACD，利用反证法证明. 【详解】对于A，取可得， 则，此时，A错误； 则，此时，C错误； 则，此时，D错误； 对于B，若，则或或， 由，可得，此时，与中有三个不同元素矛盾， 由，可得，此时，与中有三个不同元素矛盾， 由，可得或（舍去）， 若，则，与中有三个不同元素矛盾， 所以，B正确； 故选：B. 4．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为或． 5．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，． (1)当时，求集合，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) ． 【分析】（1）利用交集和并集的概念求出答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，当时，． 所以，． （2）当时，，解得，满足， 当时，若，则，解得， 故实数的取值范围为． 【题型九：补集与全集】 1．（2024高一下·湖南株洲·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集定义直接求解即可. 【详解】由补集定义知：. 故选：C. 2．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解. 【详解】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为， 故选：. 3．（多选）（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AD 【分析】根据选项条件，结合补集的定义，集合的包含关系，即可求解； 【详解】对于A中，当时，， 满足且中有6个元素，所以A正确； 对于B中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于C中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于D中，当时，， 满足且中有6个元素，所以D正确. 故选：AD. 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设全集，集合，若，则实数 ． 【答案】－3 【分析】由题意确定，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 5．（2024高一上·江苏南通·开学考试）已知全集，. (1)列举法表示集合； (2)求； (3)求. 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）先用列举法求出集合；再用交并补的概念进行计算即可. 【详解】（1）全集，集合， 集合； 集合 （2） （3） 6．（2024高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若；求实数的取值范围. 【答案】(1) , (2) 或 【分析】（1）由可得，然后根据不等式求解即可； （2）由，得，然后分和两种情况求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，， 所以，解得； （2）由，，得或， 因为，所以， 当时，满足，则，得， 当时，因为， 所以或， 解得或， 综上，或. 【题型十：集合的应用】 1．（2024高一上·安徽·阶段练习）某校高一（3）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．27 B．23 C．15 D．7 【答案】A 【分析】由题意，求出参加田赛或径赛的同学人数，即可求解． 【详解】设高一（3）班50名学生组成的集合为U ，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为 由题意集合A有15个元素，B有20个元素，中有12个元素， 所以有个元素， 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 故选：A 2．（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 3．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 【答案】10 【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可. 【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人， 只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图， 则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为 人， 故答案为：10 4．（2024高一上·福建厦门·阶段练习）某地中学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是 ． 【答案】 【分析】先求得既喜欢游泳，又喜欢足球的人数，从而求得正确答案. 【详解】既喜欢游泳，又喜欢足球的人数有， 所以该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是. 故答案为： 5．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【答案】 9 8 10 【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可. 【详解】由题意得 ，则，解得， 故答案为：9，8，10. 【题型十一：集合的新定义】 1．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 2．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 【答案】B 【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得. 【详解】集合的所有非空子集为 ， 所以交替和的总和为 . 故选：B 3．（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】对于，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即正确； 对于，因为，所以， 即与是相同的，所以，B正确； 对于，因为，所以， 所以，即错误； 对于，由于 , 而，故，即错误． 故选：AB． 4．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 【答案】 【分析】根据定义，先求A❀B，再求其补集即可. 【详解】因为U=Z, 所以A❀B=， 所以❀= 故答案为：. 5．（24-25高一·上海·课堂例题）设全集，对集合A、B定义：，．若集合，，求：，． 【答案】； 【分析】根据新定义，分别求得，再求，，再根据新定义求. 【详解】因为全集，所以或， 所以或， 或，， 所以或． 【课时达标检测】 一、单选题 1．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合，，所以， 故选：A 2．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 【答案】C 【分析】根据子集包含关系得到答案. 【详解】，故BA. 故选：C 3．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知集合，且，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对或分类讨论，结合互异性即可得到正确答案. 【详解】若，则，根据集合中元素的互异性，舍去； 若或3，又，故． 故选：D 4．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知全集为，集合 如图所示，则图中阴影部分可以表示为． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：根据图示可知，阴影部分含于集合，并且不含于集合，因此阴影部分表示的是； 考点：集合交并补运算的图形表示； 二、多选题 5．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设，，若，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解. 【详解】解：由题意，集合，由可得， 则或或或， 当时，满足即可； 当时，需满足，解得：； 当时，需满足，解得：； 因为时有且只有一个根，所以. 所以的值可以为. 故选：ABD. 6．（24-25高一上·湖北·阶段练习）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（    ） A．若是“阶集”，则 B．若是“阶集”，则为任意正实数 C．若是“阶集”，则 D．若是“阶集”，则 【答案】ABC 【分析】根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可. 【详解】对于A，若是“阶集”，则，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，若是“阶集”，则，则为任意正实数，故B正确； 对于C，若是“阶集”，则，由得出， 当时，，所以，当时，取，，满足， 但是，所以为使成立时，，正实数的取值范围是，故C是正确； 对于D，若是“阶集”，则， 当，，时，，故不成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 三、填空题 7．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）某小学六年级一班共有名学生．在某次测试中，语文成绩优秀的学生有名，数学成绩优秀的学生有名，则两门成绩都优秀的学生最多有 名，最少有 名． 【答案】 【分析】根据题意，当所有数学成绩优秀的学生语文成绩也优秀时，两门成绩都优秀的学生最多，当所有学生至少有一门成绩为优秀时，两门成绩都优秀的学生最少，进而算出答案. 【详解】当所有数学成绩优秀的学生语文成绩也优秀时，两门成绩都优秀的学生最多，最多有名．当所有学生至少有一门成绩为优秀时，两门成绩都优秀的学生最少，最少有名． 故答案为：30；25. 8．（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，且，则 ， ， ． 【答案】 1 2 【分析】根据,且,故,解出、、即可 【详解】∵,,, 又 ∴,,, ∴, 故答案为1,,2 【点睛】本题考查集合的相等,考查元素的互异性 四、解答题 9．（2024高一上·江西九江·阶段练习）已知集合，或，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) . 【分析】（1）将代入集合中确定出，求出与的交集，求出的补集，求出与补集的交集即可； （2）根据交集的定义可得答案. 【详解】（1）将代入集合中的不等式得：， ∵或， ∴，， 则； （2）∵，或， 因为，所以不是空集， 因为，所以， 解得. 10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}． (1)若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 【答案】(1) m≤3 (2) 3≤m≤4 (3) 【分析】（1）根据B⊆A分或两种情况进行解答即可； （2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m的范围； （2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m的范围． 【详解】（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}， 由B⊆A得或， 即或m+1＞2m﹣1， 解得2≤m≤3或m＜2， 所以实数m的取值范围是m≤3； （2）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}， 由A⊆B得， 解得3≤m≤4； （3）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}， 由A＝B得，无解， 所以实数． 18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 集合专项复习 【考点1：集合的概念】 1 【题型一：集合中元素的特性】 1 【题型二：集合中元素的个数】 2 【考点2：集合的基本关系】 3 【题型三：求集合的子集或真子集】 3 【题型四：求集合的子集或真子集个数】 5 【题型五：两个集合包含关系的判断】 5 【题型六：空集】 7 【考点3：集合的基本运算】 7 【题型七：交集】 8 【题型八：并集】 9 【题型九：补集与全集】 10 【题型十：集合的应用】 11 【题型十一：集合的新定义】 12 【课时达标检测】 13 【考点1：集合的概念】 1．集合的有关概念 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2.与集合概念有关问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么，即确定性． (2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质． (3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【题型一：集合中元素的特性】 1．（2024·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）设集合中含有三个元素1，，，若，则 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 4．（2024高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 5．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【题型二：集合中元素的个数】 1．（2024高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高一上·全国·课前预习）20以内的素数组成集合S，S有多少个元素？ 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）方程的解是什么？ （2）集合且中有多少个元素？ 【考点2：集合的基本关系】 1．集合间的基本关系 　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 2．判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 　　　 [易错提醒] (1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系． (2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．　　 【题型三：求集合的子集或真子集】 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）集合的子集有 ；其中真子集有 ． 2．（2024高一下·全国·课堂例题）写出满足的集合M： ． 3．（2024高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 4．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 5．（2024高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 6．（2024高一·上海·课堂例题）已知集合.是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出实数a的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由. 【题型四：求集合的子集或真子集个数】 1．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（宁夏2025届高三8月新起点调研模拟试卷（一）数学试题）集合的真子集个数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 4．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）满足集合为的真子集且的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 5．（24-25高一上·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合． 【题型五：两个集合包含关系的判断】 1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北荆门·阶段练习）如果集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）下列各对集合M，N中，满足M是N的子集的是（    ） A．， B．， C．M＝{x|x是正方形}，N＝{x|x是矩形} D．， 6．（2024高一下·全国·随堂练习）判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)， 【题型六：空集】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）方程的实数解组成的集合是 ．（用符号表示） 2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 4．（2024高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【考点3：集合的基本运算】 1．集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 2.集合的三种基本运算的常见性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A. (2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. [方法技巧1]　　求集合交集或并集的方法步骤 [方法技巧2] 解决交、并、补混合运算的一般思路 (1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义． (2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到． (3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．　　 [方法技巧3] 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【题型七：交集】 1．（24-25高三上·四川遂宁·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·江苏淮安·学业考试）设集合则= 5．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值集合是 【题型八：并集】 1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江·开学考试）设集合，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，． (1)当时，求集合，； (2)若，求实数的取值范围． 【题型九：补集与全集】 1．（2024高一下·湖南株洲·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 3．（多选）（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设全集，集合，若，则实数 ． 5．（2024高一上·江苏南通·开学考试）已知全集，. (1)列举法表示集合； (2)求； (3)求. 6．（2024高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若；求实数的取值范围. 【题型十：集合的应用】 1．（2024高一上·安徽·阶段练习）某校高一（3）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．27 B．23 C．15 D．7 2．（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 3．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 4．（2024高一上·福建厦门·阶段练习）某地中学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是 ． 5．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【题型十一：集合的新定义】 1．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 3．（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 4．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 5．（24-25高一·上海·课堂例题）设全集，对集合A、B定义：，．若集合，，求：，． 【课时达标检测】 一、单选题 1．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 3．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知集合，且，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知全集为，集合 如图所示，则图中阴影部分可以表示为． A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设，，若，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖北·阶段练习）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（    ） A．若是“阶集”，则 B．若是“阶集”，则为任意正实数 C．若是“阶集”，则 D．若是“阶集”，则 三、填空题 7．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）某小学六年级一班共有名学生．在某次测试中，语文成绩优秀的学生有名，数学成绩优秀的学生有名，则两门成绩都优秀的学生最多有 名，最少有 名． 8．（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，且，则 ， ， ． 四、解答题 9．（2024高一上·江西九江·阶段练习）已知集合，或，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}． (1)若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$