专题4.3 等差数列的前n项和公式【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.3 等差数列的前n项和公式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 4 【题型3 等差数列前n项和的性质】 6 【题型4 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 7 【题型5 求等差数列的前n项和】 9 【题型6 含绝对值的等差数列前n项和】 11 【题型7 等差数列前n项和的最值】 13 【题型8 等差数列的简单应用】 15 【知识点1 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 【例1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知等差数列中，，前5项和，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等差数列的性质可求得，进而根据等差数列定义求公差d. 【解答过程】设等差数列的公差为， ， 又. 故选C. 【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 【解题思路】根据，求出首项与公差的关系，再根据结合等差数列的前项和公式即可得解. 【解答过程】设公差为， 由，得，所以， 由，得 故， 则， 因为， 所以， 化简得，解得或（舍去）. 故选：D. 【变式1-2】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出即可. 【解答过程】因为， 所以, 所以. 故选：A. 【变式1-3】（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知数列的前项和为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等差数列的性质，先求出的公差，再结合等差数列通项公式求得，即可求得答案. 【解答过程】由题意知是等差数列，设其公差为d， 则由，可得，则， ，则，故， 故, 故选：B. 【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 【例2】（23-24高二上·湖南株洲·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式. (2)求的最大值. 【解题思路】 （1）利用公式进行求解. （2）利用给定的前项和，结合二次函数求出最值即得. 【解答过程】（1）等差数列的前项和， 当时，， 当时，， 显然满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由于，而， 于是当时，， 所以的最大值是28. 【变式2-1】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）等差数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解题思路】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）由时，；当时，求解. 【解答过程】（1）解：当时，； 当时，． 当时，也符合的形式， 所以数列的通项公式为． （2）令，又，解得. 当时，； 当时，， ， 所以. 【变式2-2】（23-24高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【解题思路】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式； （2）先根据第（1）题得到的数列的通项公式即可发现数列是单调递增的等差数列，并进一步分析各项与0的大小关系，进一步分析出数列单调性，即可推导出数列中的最大项和最小项. 【解答过程】（1）由题意，当时，， 当时，， 当时，也满足上式， （2）由（1）可知，， 则数列是单调递增的等差数列， 当，即时，， 当，即时，， 而 所以当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 数列中的最大项为，最小项为. 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前n项和为，且． (1)求及数列的通项公式； (2)求的最小值及对应的n的值． 【解题思路】（1）由等差数列的前n项和的性质可得k＝0，再由与的关系，求数列中的项和通项公式. （2）由的函数特征，求最小值及对应的n的值. 【解答过程】（1）由等差数列的前n项和公式可知，所以k＝0， 即，所以， 当时，． 当n＝1时也符合上式，故． （2）由（1）可得，所以是关于n的二次函数， 又，所以当n＝8或n＝9时，取得最小值，故． 【题型3 等差数列前n项和的性质】 【例3】（23-24高二下·云南大理·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．34 B．39 C．42 D．45 【解题思路】根据等差数列的片段和即可求解. 【解答过程】由成等差数列， 则，即，故. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【解答过程】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高一下·海南海口·期中）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解题思路】设等差数列有，项．公差为．由于奇数项和为40，偶数项和为32，可得，，分别相加相减即可得出． 【解答过程】解：设等差数列有奇数项，．公差为． 奇数项和为40，偶数项和为32， ， ， ，， ，即等差数列共项，且 故选：A． 【变式3-3】（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【解答过程】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D. 【题型4 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得. 【解答过程】等差数列的前n项和是关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数k为2023． 故选：D. 【变式4-1】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【解题思路】根据等差数列前项和的表达式，利用二次函数求最值即可. 【解答过程】由题意可知：数列是以45为首项，以为公差的等差数列， 所以， 关于的二次函数，开口向下，对称轴， 所以当时，最大，即数列的前项和最大， 故选：A. 【变式4-2】（2024高二·全国·课后作业）在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依据等差数列的前n项和的二次函数性质，去判定其开口方向和对称轴位置即可解决. 【解答过程】等差数列的前n项和 由，知，即抛物线开口向下，排除选项AB； 由，，知对称轴，排除选项D. 故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【解题思路】利用等差数列前n项和二次函数性质及求得，进而求得，最后应用等差数列前n项和公式求结果. 【解答过程】由，故对称轴为，又， 所以，即，故， 所以. 故选：B. 【题型5 求等差数列的前n项和】 【例5】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知数列的通项公式为，，则的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，，得是以为首项，公差为的等差数列，再根据等差数列的前项和公式即可求得. 【解答过程】由，， 则，， 又， 是以为首项，公差为的等差数列. 由等差数列的前项和公式知，. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，，则数列的前9项和等于（    ） A．27 B． C．45 D． 【解题思路】根据题意可知是等差数列，首项和公差知道，进而可以求前项和. 【解答过程】由题可得（常数）, 所以数列是以为首项，公差的等差数列, 所以 所以 故选：A. 【变式5-2】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件列方程组求出，从而可求出 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，化简得， 解得， 所以. 故选：B. 【变式5-3】（2024高三下·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ） A．50 B．40 C．30 D．25 【解题思路】借助等差数列的性质与前n项和公式，运算求解即可得． 【解答过程】解法一： ∵，∴，又， ∴，∴． 解法二： 设的公差为d，∵， ∴，又，∴， 则， ∴． 故选：D． 【题型6 含绝对值的等差数列前n项和】 【例6】（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【解题思路】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【解答过程】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C. 【变式6-1】（23-24高三上·北京昌平·期末）已知数列的前项和为，则数列的前12项和为（    ） A．93 B．94 C．95 D．96 【解题思路】由已知得到数列的通项公式，推出数列的前2项为负，即可表示出数列的前12项和，进而得解. 【解答过程】当时，； 当时， 所以数列的通项公式为，即数列从第2项开始为等差数列， 由得，即数列的前2项为负，所以 故选：B. 【变式6-2】（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解题思路】（1）利用可得答案； （2）分、求即可. 【解答过程】（1）时，， 时，， 又， 所以； （2）由（1）， 当时，， 当时， ， . 【变式6-3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【解题思路】（1）结合等差数列的通项公式，前项和公式和等差数列的性质，求出和，得到等差数列的通项公式. （2）由 .再由，求数列的前n项和． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，则： . 所以. （2）由（1）得： 由 . 所以当时，. 当时，. 所以. 【题型7 等差数列前n项和的最值】 【例7】（23-24高二下·北京西城·期中）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值． 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式列方程组求解可得； （2）利用通项公式确定数列的负数项，可得最小，然后由求和公式可得. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 则由条件得， 解得， 所以． （2）由（1）知， 令，得， 所以数列的前项和是的最小值， 即． 【变式7-1】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值，并求最大值. 【解题思路】（1）借助等差数列基本量计算即可得； （2）求出前n项和后借助二次函数性质计算即可得. 【解答过程】（1）设数列的公差为，则有，即， 故； （2）令数列的前n项为，则， 则当时，取得最大值，且最大值为. 【变式7-2】（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列中，， (1)求的通项公式 (2)求数列的前n项和的最小值． 【解题思路】（1）列出关于等差数列首项公差d的方程组，解之即可求得首项和公差d的值，进而得到的通项公式； （2）利用等差数列的单调性即可求得数列的前n项和的最小值． 【解答过程】（1）设等差数列首项为，公差为d， 则，解之得， 则的通项公式为 （2）由的通项公式为，可得数列为递增数列，且 则 故数列前n项和的最小值为． 【变式7-3】（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； (3)求的最小值，并求取最小值时的值． 【解题思路】（1）根据与的关系求出通项公式； （2）根据等差数列的定义判断； （3）结合二次函数性质求解最小值及取得最小值时n的值. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 又， 所以时，也成立， 所以数列的通项公式为，. （2）数列为等差数列，证明如下： 因为， 所以数列是等差数列. （3）因为，又， 所以当或时，最小，最小值为. 【题型8 等差数列的简单应用】 【例8】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【解题思路】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【解答过程】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C. 【变式8-1】（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（    ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 【解题思路】由题意结合等差数列的定义求出通项公式，再由前项和公式计算即可. 【解答过程】设出每一秒钟的路程为数列， 由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以， 由求和公式有，解得， 故选：C． 【变式8-2】（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【解题思路】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【解答过程】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）． 故选：C. 【变式8-3】（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【解题思路】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可. 【解答过程】设第一个尺码为，公差为， 则， 则， 当时，， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为 码， 所有缺货尺码的和为码， 又因为缺货的一个尺寸为码， 则另外一个缺货尺寸码， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 等差数列的前n项和公式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 3 【题型3 等差数列前n项和的性质】 4 【题型4 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 4 【题型5 求等差数列的前n项和】 5 【题型6 含绝对值的等差数列前n项和】 6 【题型7 等差数列前n项和的最值】 6 【题型8 等差数列的简单应用】 7 【知识点1 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型1 等差数列前n项和的基本量计算】 【例1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知等差数列中，，前5项和，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 【变式1-2】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知数列的前项和为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 由等差数列的前n项和求通项公式】 【例2】（23-24高二上·湖南株洲·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式. (2)求的最大值. 【变式2-1】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）等差数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式2-2】（23-24高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前n项和为，且． (1)求及数列的通项公式； (2)求的最小值及对应的n的值． 【题型3 等差数列前n项和的性质】 【例3】（23-24高二下·云南大理·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．34 B．39 C．42 D．45 【变式3-1】（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·海南海口·期中）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-3】（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式4-1】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【变式4-2】（2024高二·全国·课后作业）在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【题型5 求等差数列的前n项和】 【例5】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知数列的通项公式为，，则的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，，则数列的前9项和等于（    ） A．27 B． C．45 D． 【变式5-2】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024高三下·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ） A．50 B．40 C．30 D．25 【题型6 含绝对值的等差数列前n项和】 【例6】（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【变式6-1】（23-24高三上·北京昌平·期末）已知数列的前项和为，则数列的前12项和为（    ） A．93 B．94 C．95 D．96 【变式6-2】（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式6-3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【题型7 等差数列前n项和的最值】 【例7】（23-24高二下·北京西城·期中）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值． 【变式7-1】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值，并求最大值. 【变式7-2】（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列中，， (1)求的通项公式 (2)求数列的前n项和的最小值． 【变式7-3】（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； (3)求的最小值，并求取最小值时的值． 【题型8 等差数列的简单应用】 【例8】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【变式8-1】（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（    ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 【变式8-2】（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式8-3】（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$