辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期9月联合考试数学试题

绝密★启用前 辽宁省名校联盟2024年高二9月份联合考试 数学 本试卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 班 B. A} C1 D.- 2.已知向量a=(1,2),b-(2,-1),c=(3,-4),若()a十+b)1c,则a C2 D- A.1 B.2 3.用斜二测画法画出水平放置的平面图形△OAB的直观图为如图所示的△OAB',已知OD'- D'B'-DA'-A'B'-2,则△OAB的面积为 ___ C.8 A.46 B.23 D.43 x C D. A.2 B.-2 5.已知a-3-0.),6一()”*,c-log。,13,则an,b.c的大小关系是 C.ca<b B.b<a<: A.a<bc D.c<a 6.2024年7月,第17届欧洲杯足球赛落下帷幕,西班牙国家队以7战全胜的成绩获得冠军,队中出 生于2007年,不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球,4个助攻的优秀数 数学 第1页(共4页) 据,打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录,据记者报道,由 于他还是个高中生,在欧洲杯期间每天的训练和比赛后,还要完成自己的家庭作业,如图,已知足 球比赛的球门宽度AB大约为7米,D在场地的底线上,与点B距离5米,CD与底线垂直,CD长 为15米,若在训练中,球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门,要想 获得最大的射门角度(/APB),则他需要带球的距离CP大约是(参考数据:15~3.9) 球门 D A.3.6米 B.3.9米 C.7.2米 D.7.8米 7.已知关于x的方程v3(1一sinwx)一cosax在(0,x)内恰有3个不相等的实数根,则。的取值范 围是 A.1) B.(13 C.[,10) D.({,0 8.已知正方体ABCDA.B.C.D.的梭长为2,E,F分别是校AD,B.C 上的动点,若正方体ABCD A.B.C.D.的外接球的球心是O.,三梭锥F-BCE的外接球的球心是O,则O.O。的最大值是 C# D3-7 A.v2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列寡函数中,既是奇函数,又在(0,十oo)上单调递增的是 C.y-{} B.-{ A.y--寸 D.- 10.在△ABC中,AC-BC-/2,AB-2,△ABD是有一个角是30{*}的直角三角形,若二面角D-AB-C 是直二面角,则DC的长可以是 C B.2 A.2 D.14 _3 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.,已知-sinB十cosBtanC,2a2十6-8,则c 可能为 A.5 B.5-1 C.2 D.22 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.函数f(x)-ln(2cosx一1)的定义域是_. 13.已知i是虚数单位,复数z满足z-z十4一z+2il,则z= 14.在四校锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E是梭PA的中点,F在校BC上,满足CF一 数学 第2页(共4页) 四、解答题;本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知圆锥的底面半径为2,高为4,D是母线PA的中点,C在底面圆周上,OC1AB (1)求圆锥的表面积和体积 (2)求DC与平面ABC所成角的正弦值 16.(15分) 已知向量a-(/3cosx,2cosx),b-(2sinx,cosx) (1)若lal-lbl,x(,x),求tan2x的值; (2)设函数f(x)一a·b,求f(x)图像的对称中心坐标,并写出f(x)的图像经过怎样的平移变换, 可以得到一个奇函数的图像(写出一种变换方式即可). 17.(15分) (1求AD和BC的长; (2)若 BAC-60*,BAC的平分线交BC于点F,求AF的长 数学 第3页(共4页) 18.(17分) 已知在四楼锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB/DC,AB1AD,AD-③,PB-PC-DC= 2AB-2,M是校PD的中点 (1)求证:AM/平面PBC: (2)在校BC上是否存在点N,满足MN1PD且MN1BC?若存在,确定点N的位置并给出证 明;若不存在,请说明理由; (③)若PD-1,求点D到平面PBC的距离 19.(17分) 通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式,可以推导出三倍角公式 例如:cos 3a-cos(2g+g)-cos 2acos g-sin 2asin g=(2cos^}g-1)cos g-2sin?gcosg=4cos^- 3cosa. (1)根据上述过程,推导出sin3a关于sina的表达式; (2)求sin18*的值; (3)求sin126*十sin6*-sin366*的值 数学 第4页(共4页)辽宁名校联盟高二9月联考 ·数学· 香考誉亲及解折 一、选择题 GH的中点，所以当MG和NG最小时，OO取得最大 1.A【解折1#名得昌-号-所以 值.设MG=d,B,F=a,由MC=MF,可得+1=(2 是+，嘘部为？故选A项， -)2+(1-a),整理得d=1 a-1+是，放当= 2.B【解析】a十b=(2+A,2x-1),因为(aa十b)⊥c,所 1,即F为B,G的中点时，MG取得最小值子，同理可 以(a十b)·c=3(2+A)一4(2λ一1)=-5λ+10=0，解 得NG的最小值也是子，此时0，O,G三点共线.O,0 得A=2.故选B项. 3.A【解析】因为D'=DB=DA'=A'B'=2,所以 =0,G-0G=2-32-2.故选C项. 4 △OA'B是直角三角形且∠OB'A'=90°，可得OB'= 25.所以△0AB'的面积S=之0B·AB'=25 B 则△OAB的面积S=2√2S'=4√6.故选A项。 4,D【解析】因为tan(x一a)=一tana=3,所以tana= 1 sin2a十cosa =tana十1 D 3,sin 2a cos a 2sin acos acos a 2tan aI B =一9故选D项。 二、选择题 5.D【解析】因为函数y=3在R上单调递增，所以9.BD【解析】A项，函数y=x在(0，+o∞)上单调递 bg13<0<(仔）广=8<84，即6<ba.故连 减，不合题意：C项，函数y=x立的定义城是[0，十∞)， 不具有奇偶性，不合题意.故选BD项. D项， 10.ACD【解析】如图①，当∠DAB=30且∠DBA=90 6,C【据折】设PD-e0,15.m∠APD-品-号 时，DB⊥平面ABC,所以DB⊥BC,因为DB=2,所 3 同理可得am∠BPD=；,则am∠APB=am(∠APD 以DCVD丽+C-:同理，当∠ADB=30且 12_5 ∠BPD)=Xx 7 ≤7 ∠DBA=90°时，DC=√/14：如图②，当∠ADB=90° ，意125十之0」 -1正，当且 60 时，过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CE,则DE 仅当-2即=2V压时等号度立，此时CP=15 平面ABC,所以DE1CE,此时DE-复，CE=号.所 2√15≈15-2×3.9=7.2.故选C项. 以DC=√DE+CE=√2，故选ACD项. 2B【解折】原方程可整理为m(r十音）=，由代 (0,m),可得+吾∈（若x十吾），因为方程有3个 不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得< 十吾<经解得wE(停，]故选B项 ① ② 1L,ABC【解析】由已知可得sinA sin C=sin B+sin Ccos B 8.C【解析】如图，设BC的中点为G,A:D的中点为H, cos C △FBC的外接圆圆心为M,△EBC的外接圆圆心为N, (C≠受），即血ACC-sin Bos C+inCeos B.整 sin C 易得MG⊥BC,NG⊥BC,过M,N分别作平面 BCCB:,平面ABCD的垂线，交点即为O,又O为 理得sinC=cosC,故C=牙，由2a+:=8,可得 1· ·数学· 参考答案及解析 (号)+() =1.设a=2cos0,b=22sin0.0∈ (0,受），则c2=a2+2-2 abeos C=4cos20+8sim0- 8sin0cos0=6-(4sin20+2cos20)=6-2√5sin(20+ p,其中如g=5og-2,因为c(0,受）所 5 因为D,E分别是PA,OA的中点，所以DE∥PO. 所以DE⊥平面ABC, (6分) 以20+p∈(g,r+g),又sin(x十g)=-sin9=- 5 5 所以CE是DC在平面ABC内的射影， (7分) 所以m(20+gc(-9.1]可得2∈[6-25,8. 所以∠DCE是DC与平面ABC所成角， (8分) 又DE=P0-2.CE=V0C+0E=5,10分) c∈[5-1,2√2).故选ABC项. 所以DC=√DE+CE=3, (11分) 三、填空题 12.(2km-牙，2km+号）k∈Z【解桥】由题意可得 可得n∠CE--号 (13分) 20asx-1>0,即cos>号，所以r∈(2x-吾，2x+ 即DC与平面ABC所成角的正弦值是号 16.解：(1)由|a|=|b1.可得√3cosr+4cosF= 吾)kez √4sinx十cosx, (2分) 13.√5【解析】由复数的几何总义及=|x+4,可得在 整理得60os=4m,即an=号 (3分) 复平面内复数￥对应的点Z(x,y)到O(0,0)和A(一4， 0)的距离相等，所以Z在线段OA的垂直平分线上，即 因为re(乏)，所以anx<0, x=一2，同理，由z=x十2i,可得y=一1，所以x 所以anx= 2, (4分) -2-i.故|=√4+T=√5 14.是【解折】知图，延长DF,交AB的延长线于点Q,连 2x(-9】 则tan2x= 2tan x =2√6. 1一tanx (6分) 接EQ,EQ与PB的交点即为G,取AB的中点M,连 接EM.易得BG=EM,EM=7PB,所以BG= (2)f(x)=a·b=25 sin rcos r+2cos2x=√5sin2r+ }PB放器-是 cos2r+1=2sim(2x+若）+1. (9分) 令2十-∈解得r=-是+经k乙。 所以)图像的对称中心坐标是（一吾+经.），k∈ Z. (12分) 令k=0,可得f(x)的图像的一个对称中心坐标是 （- (13分) 所以将f()的图像向右平移吾个单位长度，再向下平 四、解答题 移1个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像。 15.解：(1)圆维的母线PB=√PO+OB=2√5，(1分) (15分) 则圆锥的表面积S=x×2+x×2×25=(4十45)元， (不写k∈Z扣1分) (3分) 17.解：(1)AB.AC=(AD+Di)·(AD+DC)=1Ai1 圆锥的体积V=号×x×2×4=1 31 (5分) +市.D成+D心+D成.DC-=AD-BC, (2)取AO的中点E,连接DE,CE, (2分) ·2 辽宁名校联盟高二9月联考 ·数学· 同理可得EB.E心-上AD一上BC, (3分) (3)解：过点D作DQ⊥PN,垂足为Q, 由(2)得BC⊥平面PDN, (AD-BC=3. AD=V19 因为BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDN, 解得 (7分) 又平面PBCn平面PDN=PN,DQ⊥PN, AD-BC-- 6 BC=7 所以DQ⊥平面PBC, (12分) (直接写出A.AC=AD-BC扣2分） 故线段DQ的长度就是点D到平面PBC的距离， (13分) (2)设AB=c,AC=b, 在△PDN中，cos∠PND=PN+DN-PD_5. 由AB·AC=3,得ccos∠BAC=3,故bc=6,(9分) 2PN·DN 6, 由余弦定理得BC=6十c2-2hcs∠BAC-(b十c) (15分) 2x-2ccos∠BAC=7,解得6+c=5, (11分) 则sim∠PND=V-eos∠PVD= 6 (16分) 由Sar=Sa十Sar,可得号kin60°= 2c·AF. 所以DQ=DN·sin∠PND=宽 6 (17分) m30+2b:AF·sn30, (13分) 19.解：(1)sin3a 整理得AF=Sc-5区 =sin(2a+a) b+c 5 (15分) =sin 2acos a+cos 2asin a (其他方法的情给分) =2sin acos'a+(1-2sin'a)sin a 18.()证明：取PC的中点E,连接ME,BE, =-4sin'a +3sin a. (4分) (2)因为36+54=90°，所以sin36°=cos54, 即sin(2×18)=cos(3×18), (5分) 可得2sin18cos18°=4cos18°-3cos18°， 因为cos18°≠0，所以2sin18°=4cos218°-3，(7分) 可得2sin18°=4(1-sin18)-3, 因为M,E分别是PD,PC的中点， 整理得4sin18°+2sin18°-1=0， 所以ME/DC,ME=号DC. (2分) 因为sin18>0,所以sim18°=5-1 4 (9分) 又AB∥DC,AB=号DC. (用几何法求出也给分) (11分) 所以ME∥AB,ME=AB, （3)由1)得ma-子ine-子m3a, 所以四边形ABEM是平行四边形， (3分) 所以sin126°+sin6°-sin'66 所以AM∥BE, 3 n126-}m378+是m6-号 sin18° 因为AM过平面PBC,BEC平面PBC, 3 所以AM∥平面PBC. (4分) 有sin66"+L sin 198" (2)解：存在BC的中点N,满足MN⊥PD且MN⊥BC (5分) =是(sn126+血6-sm6)-子(sm37g+ 证明如下： sin18°-sin198) 连接DB,DN,MN,PN, [sin(120°+69)+sin6-sin(60°+6)] 4 易得DB=BC=2,DN=PN=√5， (6分) 因为DN=PN,M是PD的中点， sim(360+18)+m18-sim(180+18)】 所以MN⊥PD. (7分) =（os6-n6+n6-号s6 又PB=PC,DB=DC,N是BC的中点， 所以BC⊥PN,BC⊥DN, (8分) m6）-n18 因为PNODN=N,PN,DNC平面PDN, 3 所以BC⊥平面PDN, (9分) sin18° 因为MNC平面PDN,所以BC⊥MN, -3-35 即MN⊥PD且MN⊥BC, (10分) 16 (17分) ·3· 辽宁省名校联盟2024年高二9月份联合考试 数学 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 选择题 复数的运算 易 2 选择题 5 平面向量数量积的坐标运算 易 3 选择题 5 斜二测画法 易 4 选择题 5 诱导公式，同角三角函数基本关系式及二倍角公式 易 5 选择题 5 指数函数和对数函数的单调性 易 6 选择题 5 三角恒等变换的应用 中 7 选择题 三角函数的图像和性质的应用 中 8 选择题 5 空间儿何体及其外接球 难 9 选择题 6 幂函数的性质 易 10 选择题 6 二面角的定义及空间中的垂直关系 中 11 选择题 三角恒等变换及正，余弦定理的应用 难 12 填空题 5 对数函数的性质及三角函数的定义 多 13 填空题 复数的几何意义 易 14 填空题 5 空间儿何体的截面 酸 15 解答题 13 旋转体的表面积和体积及直线与平面所成角 易 16 解答题 15 向量数量积的应用、三角函数的图像和性质及三角恒等变换 中 17 解答题 15 向量的运算及解三角形 中 18 解答题 17 空间中的平行，垂直问题及距离问题 中 19 解答题 17 三角恒等变换的应用 难