第23章 图形的相似 过关检测卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

第 9 页 第 10 页 第 23 章追梦过关检测卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 如图, l1 ∥l2 ∥l3,下列比例式不成立的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. AB BC =DE EF B. AC BC =DF EF C. AB AC =AD CF D. AB DE = AC DF 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,在△ABC 中,BD,CE 是高,则与 △BOE 相似的三角形有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 如图,要测定被池塘隔开的 A,B 两点距 离,可以在 AB 外选一点 C,连结 AC,BC, 并分别找出它们的中点 D,E,连结 ED. 现测得 AC= 30 m,BC= 40 m,DE= 25 m, 则 AB= (　 　 ) A. 50 m B. 48 m C. 45 m D. 35 m 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,△ABC 是等边三角形,被一平行于 BC 的矩形所截,AB 被截成三等份,则图 中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 (　 　 ) A. 1 9 B. 2 9 C. 1 3 D. 4 9 5. 如图,在△ABC 中,AD 是中线,BC = 8, ∠B= ∠DAC,则线段 AC 的长为(　 　 ) A. 4 B. 4 2 C. 6 D. 4 3 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6.如图,平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成 面积相等的两部分,则BD AD 的值为(　 　 ) A. 1 B. 2 2 C. 2 -1 D. 2 +1 7. 如图,在△ABC 中,AB = AC,E,F 分别是 BC, AC 的 中 点, 以 AC 为 斜 边 作 Rt△ADC,若∠CAD = ∠CAB = 45°,则下 列结论不正确的是(　 　 ) A. ∠ECD= 112. 5° B. DE 平分∠FDC C. ∠DEC= 30° D. AB= 2CD 第 7 题图 　 第 8 题图 8. 如 图, 五 边 形 ABCDE 和 五 边 形 A1B1C1D1E1 是位似图形,且 PA1 = 2 3 PA, 则 AB ∶A1B1 等于(　 　 ) A. 2 3 B. 3 2 C. 3 5 D. 5 3 9. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,C 在 x 轴上,点 C 的坐标为( -1,0),AC = 2. 将 Rt△ABC 先绕点 C 顺时针旋转 90°,再 向右平移 3 个单位长度,则变换后点 A 的对应点坐标是(　 　 ) A. (2,2) B. (1,2) C. ( -1,2) D. (2,-1) 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,点 M 是正方形 ABCD 内一点, △MBC 是等边三角形,连结 AM、MD, 对角线 BD 交 CM 于点 N,现有以下结 论:①∠AMD= 150°;②MA2 =MN·MC; ③ S△ADM S△BMC = 2- 3 3 ;④DN BN = 3 3 ,其中正确 的结论有(　 　 ) A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若 a,b, c,d 是成比例线段,其中 a = 5 cm,b = 3 cm, c = 2 cm, 则线段 d = 　 　 　 　 cm. 12. 如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于 点 O,点 E,F 分别是线段 AO,OB 的中 点,若 AC+BD= 24 cm,△OAB 的周长是 18 cm,则 EF= 　 　 　 　 cm. 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. 如图,G 为△ABC 的重心,GE⊥BC,AF ⊥BC,则 GE ∶AF= 　 　 　 　 　 . 14. 如图,已知△ABC 和△DEC 的面积相 等,点 E 在 BC 边上,DE∥AB 交 AC 于 点 F, AB = 12, EF = 9, 则 DF 的 长 是　 　 　 　 . 　 　 　 　 第 14 题图 第 15 题图 15. 如图是一束平行的阳光从教室窗户射 入的平面示意图,窗户的高在教室地面 上的影长 MN = 2 3 米. 若窗户的下檐 到教室地面的距离 BC= 1 米,已知某一 时刻 BC 在地面上的影长 CN = 3 米, 则窗户的上檐到教室地面的距离 AC 为 　 　 　 　 米. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分) 如图,已知平行四边形 ABCD 中,E 是 BA 延长线上一点,CE 与 AD, BD 分别交于 G,F. 求证:CF2 = GF· EF. 17. (8 分)三角形内角平分线定理:三角形 任意两边之比等于它们夹角的平分线 对边之比. 已知:如图,在△ABC 中,AD 是角平分 线. 第 11 页 第 12 页 求证:AB AC =BD DC . 18. (8 分)如图,图中的小方格都是边长为 1 的正方形,△ABC 与△A′B′C′是以点 O 为位似中心的位似图形,它们的顶点 都在小正方形的顶点上. (1)画出位似中心点 O; (2)求出△ABC 与△A′B′C′的相似比; ( 3) 以点 O 为位似中心, 再画一个 △A1B1C1,使它与△ABC 的相似比 等于 1. 5. 19. (10 分)如图,在▱ABCD 中,M,N 为对 角线 BD 的三等分点,连结 AM 并延长 交 BC 于点 E,连结 EN 并延长交 AD 于 点 F. (1)求证:△AMD∽△EMB; (2)求FN NE 的值. 20. (10 分)如图,在△ABC 和△DEC 中, ∠A= ∠D,∠BCE= ∠ACD. (1)求证:△ABC∽△DEC; (2)若 S△ABC ∶S△DEC = 4 ∶9,BC = 4,求 EC 的长. 21. (10 分)如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD, 点 F 在 BC 上,DF 与 AB 的延长线交于 点 G. (1)求证:△CDF∽△BGF; (2)当点 F 是 BC 的中点时,过 F 作 EF ∥CD 交 AD 于点 E,若 AB = 6 cm, EF= 4 cm,求 CD 的长. 22. (10 分)如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的 平分线 BF 分别与 AC,AD 交于点 E,F. (1)求证:AB=AF; (2)当 AB= 3,BC= 5 时,求AE AC 的值. 23. (11 分) ( 1) 观察发现:如图 1,在 Rt △ABC 中,∠B = 90°,点 D 在边 AB 上, 过 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E,AB = 5,AD = 3, AE= 4. 填空: 　 ①△ABC 与△ADE 是否相似? (直 接回答)　 　 　 　 ; ②AC= 　 　 　 　 ,DE= 　 　 　 　 ; (2)拓展探究:将△ADE 绕顶点 A 旋转 到图 2 所示的位置,猜想△ADB 与 △AEC 是否相似? 若不相似,说明 理由;若相似,请证明; (3)迁移应用:将△ADE 绕顶点 A 旋转 到点 B、D、E 在同一条直线上时, 直接写出线段 BE 的长. x+(120-x)(20-12)= 2x+960. ∵ 2>0, ∴ y 随 x 增大而增大,当 x = 53 时,获 利最大, 最大利润为: 2 × 53 + 960 = 1 066(元) . 即获利最大的进货方案为:购进 A 种 水杯 53 个,B 种水杯 67 个,最大利润 为 1 066 元. 第 23 章追梦过关检测卷 一、1. C 2. C　 【解析】△BOE∽△COD∽△CAE∽△BAD, 3 个. 故选 C. 3. A 4. C　 【解析】 S△AEG ∶S△ABC = 1 ∶9,S△AFH ∶S△ABC = 4 ∶ 9,S阴影 =S△AFH-S△AEG = 1 3 S△ABC . 故选 C. 5. B　 【解析】∵ ∠C = ∠C,∠B = ∠DAC,∴ △BAC ∽ △ADC, ∴ BC AC = AC DC , 即 AC = BC·DC = 8×4 = 4 2 . 故选 B. 6. C　 【解析】由题可知,S△ADE ∶S△ABC = 1 ∶ 2,则相 似比为 1 ∶ 2 ,设 AD 为 x,则 AB= 2 x,BD= ( 2 -1)x,则BD AD = 2 -1. 故选 C. 7. C　 8. B　 9. A 10. C　 【解析】∵ △MBC 是等边三角形,∴ ∠MBC = ∠MCB = ∠CMB = 60°,BM = BC,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ∠ADC = 90°, AB = BC, ∴ ∠ABM = ∠DCM = 30°,∵ AB=BM,∴ ∠AMB = ∠BAM = 1 2 ×(180° -30°) = 75°,同理 ∠CMD = ∠CDM = 75°,∴ ∠AMD= 360° - 75° - 75° - 60° = 150°,故①正 确;∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BDC= 45°, ∴ ∠MDN= ∠CDM-∠BDC= 75°-45° = 30°,∵ ∠CMD = ∠CMD, ∠MDN = ∠DCM = 30°, ∴ △MND∽△MDC,∴ MN DM = DM MC ,∴ DM2 = MN· MC,∵ ∠BAD = ∠ADC, ∠BAM = ∠CDM, ∴ ∠MAD= ∠MDA,∴ MA = DM,∴ MA2 = MN· MC,故②正确;过点 M 作 MG⊥AB 于 G,设 MG = x,Rt △BGM 中,∠GBM = 30°,∴ BM = BC = AB= 2x,BG = 3 x,∴ AG = 2x- 3 x,∴ S△ADM S△BMC = 1 2 AD·AG 1 2 BC·BG = AG BG = 2x- 3 x 3 x = 2- 3 3 ,故③错误; 过 N 作 NH⊥CD 于 H,设 NH = x. 则 NH∥BC, ∠NDH = ∠DNH = 45°, ∴ NH = DH = x, ∵ ∠NCH = 30°,∠CHN = 90°,∴ CN = 2x,CH = 3 x,∵ NH∥BC,∴ DN BN =DH CH = x 3 x = 3 3 ,故④正 确. 故选 C. 二、11. 6 5 　 【解析】 a b = c d ,即 5 3 = 2 d ,d= 6 5 . 12. 3　 【解析】由题可知,EF = 1 2 AB = 1 2 ×[18 - (OA+OB)] = 1 2 ×[18- 1 2 (AC+BD)] = 1 2 ×(18 - 1 2 ×24)= 3(cm) . 13. 1 ∶3 14. 7　 【解析】由题得△CEF∽△CBA,EF ∶AB= 9 ∶ 12 = 3 ∶4,∴ S△CEF ∶S△CBA = 9 ∶16,设 S△CEF = 9k, 则 S四边形AFEB = 7k,∴ S△CDF = S四边形AFEB = 7k,又∵ △CDF 与△CEF 是同高不同底的三角形,∴ 面积比等于底边之比,∴ DF ∶EF= 7k ∶9k,∴ DF = 7. 15. 3　 【解析】由题知 MC = MN+NC = 2 3 + 3 = 3 3 (米) . △AMC∽△BNC,∴ NC MC =BC AC ,即 3 3 3 = 1 AC ,AC= 3(米) . 三、16. 证明:由题可知:AB∥CD,AD∥BC, ∴ ∠BEF= ∠FCD,∠EBF= ∠CDF. ∴ △BEF∽△DCF,∴ EF CF =BF DF , 同理可得△CBF∽△GDF,∴ BF DF =CF GF , ∴ EF CF =CF GF ,即 CF2 =EF·GF. 17. 证明:过点 C 作 CE∥AD, 交 BA 的延长线于点 E, ∴ ∠1 = ∠AEC, ∠2 = ∠3. 又∵ AD 是 ∠BAC 的平分线, 即 ∠1 = ∠2, ∴ ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠AEC. ∴ AC=AE. ∵ CE∥AD, ∴ BD DC =AB AE ,∴ AB AC =BD DC . 18. 解:(1)如图. (2)相似比为OA OA′ = 1 2 . (3)如图. —03— 19. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC. ∴ ∠DAM = ∠MEB, ∠ADM = ∠EBM. ∴ △AMD∽△EMB. (2)解:∵ AD∥BC, ∴ ∠FDN= ∠EBN,∠DFN= ∠BEN. ∴ △FDN∽△EBN,∴ FN NE =DN NB . 又∵ M,N 为对角线 BD 的三等分点, 即 BN= 2DN. ∴ FN NE =DN BN = 1 2 . 20. (1)证明:∵ ∠BCE = ∠ACD,∴ ∠BCE+∠ECA = ∠ACD + ∠ACE, 即 ∠BCA = ∠ECD. 又∵ ∠A = ∠D,∴ △ABC∽ △DEC. (2)解:∵ △ABC∽△DEC,S△ABC ∶S△DEC = 4 ∶9, ∴ (EC BC ) 2 = S△DEC S△ABC ,即(EC 4 ) 2 = 9 4 ,∴ EC = 6 或 EC = - 6(不合题意,舍去),∴ EC 的长为 6. 21. (1)证明:∵ 梯形 ABCD 中,AB∥DC,即 CD∥ BG, ∴ ∠C= ∠GBF,∠CDF= ∠BGF, ∴ △CDF∽△BGF. (2)解:由(1) 得△CDF∽△BGF,且 F 是 BC 中点, ∴ DF=FG,CD=BG. 又∵ EF∥CD,AB∥CD,∴ EF∥AG. ∴ △DEF∽△DAG,∴ EF AG =DF DG = 1 2 , ∵ EF= 4cm,∴ AG= 8cm. ∵ AB = 6cm, ∴ CD = BG = AG - AB = 2(cm). 22. (1)证明:在▱ABCD 中,AD∥BC, ∴ ∠FBC= ∠AFB. ∵ BF 是∠ABC 的平分线, ∴ ∠ABF= ∠FBC, ∴ ∠ABF= ∠AFB,∴ AB=AF. (2)解:∵ ∠AEF= ∠CEB,∠AFB= ∠FBC, ∴ △AEF∽△CEB. ∴ AE EC = AF BC = 3 5 ,∴ AE AC = 3 8 . 23. 解:(1)①相似 ②20 3 　 7 　 【解析】 ∵ DE∥BC, ∴ ∠ADE = ∠B = 90°, ∴ DE = AE2 -AD2 = 7 ,∵ △ABC∽△ADE, ∴ AD AB =AE AC ,即 3 5 = 4 AC ,解得 AC= 20 3 . (2)△ADB∽△AEC,证明: 由旋转的性质可知,∠BAD= ∠CAE, 由(1)得,AD AB =AE AC ,又∠BAD= ∠CAE, ∴ △ADB∽△AEC; (3)线段 BE 的长为 4+ 7 或 4- 7 . 　 【解 析】如内文图 2,在 Rt△ADB 中,BD = AB2 -AD2 = 4,∵ 点 B、 D、E 在同一条直线上, ∴ BE = BD+DE = 4+ 7 , 如图 3,BE=BD-DE = 4- 7 ,综上所述,将△ADE 绕顶点 A 旋转到点 B、D、E 在同一条 直线上时,线段 BE 的长为 4+ 7 或 4- 7 . 追梦期中过关检测卷 一、1. B　 2. A 3. C　 【解析】由题可知 x = 5,y = 2,则( 5+2 ) 2 = 7. 故选 C. 4. A　 【解析】当 a≠0 时,Δ=(-2) 2 -4a·(-1)≥ 0,则 a≥-1,当 a = 0 时,2x+1 = 0 有实数根. 故 选 A. 5. D　 【解析】∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,∴ AD AB =AE AC ,即 3 4 = 6 AC ,AC= 8. 故选 D. 6. B 7. B 　 【解析】由题可得,五月:50(1 +x),六月: 50(1+x) 2,则方程为 50+50(1+x)+50(1+x) 2 = 182. 故选 B. 8. C　 9. A　 10. A 二、11. 1 2 　 【解析】 x = 2 代入 2×22 +2a+2 = 0,则 a = -5,原方程为 2x2 -5x+2 = 0,则 x1 = 1 2 ,x2 = 2. 12. 5　 【解析】a-1 = 2,则 a = 3,2b+1 = 7-b,则 b = 2,a+b= 3+2 = 5. 13. 4　 【解析】由题得AO OD =BO OC = 2 3 ,设 AO 为 x,则 OD= 10-x, x 10-x = 2 3 ,x= 4,AO= 4. 14. 10% 15. 5. 1m　 【解析】由题得△ABE∽△C′DE,则AB BE =C′D DE ,DE=BD-BE = 9(m),即1. 7 3 = C′D 9 ,C′D = 5. 1m,CD=C′D= 5. 1m. 三、16. 解:(1)原式= 2 (4 3 + 2 -12 3 )= 2-8 6 ; (2)原式= 4-3+2 2 + 3 4 2 = 1+11 4 2 ; —13—