第22章 一元二次方程 过关检测卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

第 5 页 第 6 页 第 22 章追梦过关检测卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列方程中,是关于 x 的一元二次方程 的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 5x+5 = 2x-1 B. y2 -7y= 0 C. ax2 +bc+c= 0 D. 2x2 +2x= x2 -1 2. 如果(m+2)x |m | +mx-1 = 0 是关于 x 的一 元二次方程,那么 m 的值为(　 　 ) A. 2 或-2 B. 2 C. -2 D. 0 3. 一元二次方程(3x-1) 2 = 5x 化简成一般 式后,二次项系数为 9,一次项系数为 (　 　 ) A. 1 B. -1 C. -11 D. 11 4. 已知 x= 1 是关于 x 的一元二次方程 x2 + kx+4 = 0 的一个根,则 k 的值为(　 　 ) A. 5 B. -5 C. 3 D. -3 5. 关于 x 的一元二次方程(a+b)x2 +(a-c)x -c-a 4 = 0 有两个相等的实数根,那么以 a、 b、c 为三边的三角形是(　 　 ) A. 以 a 为斜边的直角三角形 B. 以 c 为斜边的直角三角形 C. 以 b 为底边的等腰三角形 D. 以 c 为底边的等腰三角形 6. 用配方法将方程 x2 -4x-1 = 0 变形为(x- 2) 2 =m,则 m 的值是(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 定义新运算:对于两个不相等的实数 a,b, 我们规定符号 max{a,b}表示 a,b 中的较 大值,如:max{2,4} =4.因此,max{-2,-4} = - 2;按照这个规定,若 max { x, - x} = x2-3x-2 2 ,则 x 的值是(　 　 ) A. -1 B. -1 或5 + 33 2 C. 5 + 33 2 D. 1 或5 - 33 2 8. 某同学在解关于 x 的方程 ax2 +bx+c = 0 时,只抄对了 a= 1,b= -8,解出其中一个 根是 x= -1. 他核对时发现所抄的 c 是原 方程的 c 的相反数,则原方程的根的情 况是(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个根是 x= 1 D. 不存在实数根 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +mx+3 = 0 有两个实数根 x1 = 1,x2 = n,则代数式 (m+n) 2 022 的值为(　 　 ) A. 0　 　 B. 1　 　 C. 32 022 　 　 D. 72 022 10. 某市一楼盘准备以每平方米 8 000 元 的均价对外销售,由于国务院有关房地 产的新政策出台后,购房者持币观望, 为了加快资金周转,房地产开发商对价 格经过连续两次下调后,决定以每平方 米 7 220 元的均价开盘销售,则平均每 次下调的百分率是(　 　 ) A. 4. 875% B. 5% C. 5. 4% D. 10% 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若关于 x 的方程(a-1)xa 2+1 -7 = 0 是一 元二次方程,则 a= 　 　 　 　 . 12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 -2 3 x+ k= 0 有两个相等的实数根,则 k 的值 为　 　 　 　 . 13. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 -3x+a= 0 的两个实数根,x1 2 -3x1x2 +x22 = 4,则 a= 　 　 　 　 . 14. 小明设计一个魔术盒,当任意实数对 (a,b)进入其中时,会得到一个新的实 数 a2 +2b-3. 例如把(2,-5)放入其中, 就会得到 22 +2×( - 5) - 3 = - 9,现将实 数对(m,-3m)放入其中,得到实数 4, 则 m= 　 　 　 　 . 15. 《九章算术》 中有一题:“今有二人同 立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南 行十步而斜东北与乙会,问甲乙各行几 何?”大意是说:“甲、乙二人同从同一 地点出发,甲的速度为 7,乙的速度为 3,乙一直向东走,甲先向南走 10 步,后 又斜向北偏东方向走了一段后与乙相 遇. 甲、乙各走了多少步?”请问甲走的 步数是　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)解方程: (1)x2 = x+12; (2)2(x+3) 2 = x(x+3) . 17. (8 分)试证明:不论 m 为何值,关于 x 的方程(m2 +2m+2)x2 -(4m-1) x-7 = 0 总为一元二次方程. 18. (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 + (2k-1)x+k(k-2)= 0(k 是常量),它有 两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)请你从 k= 2 或 k= -2 或 k= -1 三者 中,选取一个符合( 1) 中条件的 k 的数值代入原方程,求解出这个一 元二次方程的根. 19. (9 分)定义新运算:对于任意实数 m、n 都有 m☆n=m2n+n,等式右边是常用的 加法、减法、乘法及乘方运算. 例如:-3☆2 = ( -3) 2 ×2+2 = 20. 根据以上知识解决问题: (1)x☆4 = 20,求 x; 第 7 页 第 8 页 (2)若 2☆a 的值小于 0,请判断方程: 2x2 -bx+a= 0 的根的情况. 20. (10 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 5 cm,BC= 6 cm,点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1 cm / s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2 cm / s 的速度移动,如果点 P,Q 分别 从 A,B 同时出发,当点 Q 运动到点 C 时,两点停止运动,设运动时间为 t s( t >0) . (1) BQ = 　 　 　 cm,PB = 　 　 　 cm (用含 t 的代数式表示); (2) 当 t 为何值时, PQ 的长度等于 5 cm? (3 ) 是否存在 t 的值, 使 得 五 边 形 APQCD 的面积等于 26 cm2? 若存 在,请求出此时 t 的值;若不存在, 请说明理由. 21. (10 分)“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各 地消费者青睐的优质新品种,在我国西 部区域广泛种植,重庆市某葡萄种植基 地 2020 年种植“阳光玫瑰” 100 亩,到 2022 年“阳光玫瑰” 的种植面积达到 196 亩. (1)求该基地这两年“阳光玫瑰” 种植 面积的平均增长率; (2)市场调查发现,当“阳光玫瑰”的售 价为 20 元 /千克时, 每天能售出 200 千克,售价每降价 1 元,每天可 多售出 50 千克,为了推广宣传,基 地决定降价促销,同时尽量减少库 存,已知该基地“阳光玫瑰”的平均 成本价为 12 元 /千克, 若使销售 “阳光玫瑰”每天获利 1 750 元,则 售价应降低多少元? 22. (11 分)某生物实验室需培植一群有益 菌,现有 60 个活体样本,经过两轮培植 后,总和达 24 000 个,其中每个有益菌 每一次可分裂出若干个相同数目的有 益菌. (1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出 多少个有益菌? (2)按照这样的分裂速度,经过三轮培 植后共有多少个有益菌? 23. (11 分)某超市购进一批水杯,其中 A 种 水杯进价为每个 15 元,售价为每个 25 元;B 种水杯进价为每个 12 元,售价为 每个 20 元. (1)该超市平均每天可售出 60 个 A 种 水杯,后来经过市场调查发现,A 种 水杯单价每降低 1 元,则平均每天 的销量可增加 10 个. 为了尽量让 顾客得到更多的优惠,该超市将 A 种水杯售价调整为每个 m 元,结果 当天销售 A 种水杯获利 630 元,求 m 的值; (2)该超市准备花费不超过 1 600 元的 资金购进 A、B 两种水杯共 120 个, 其中 B 种水杯的数量不多于 A 种 水杯数量的两倍. 请设计获利最大 的进货方案,并求出最大利润. 14. n+ 1 n+2 = (n+1) 1 n+2 15. 2 022 -1　 【解析】原式 = 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +…+ 2 022 - 2 021 = 2 022 -1. 三、16. 解:(1)原式= 2×6 +3 3 - 3 = 2 3 +3 3 - 3 = 4 3 ; (2)原式= 2 3 ×3 x +6× x 2 -2x× 2x 2x = 2 x +3 x - 2x = 5 x - 2x . 17. 解:(1)由题意可知: 4a-5 = 13-2a,a= 3; (2)∵ a= 3,∴ 3≤x≤6, ∴ x-2≥1,x-6≤0. 原式= | x-2 | + | x-6 | = x-2-(x-6)= 4. 18. 解:设长方体塑料容器中水下降的高度为 h, 根据题意,得 4 3 × 3 2 h = 3 × ( 2 2 ) 2 × 3 2 ,解得 h= 2 3 , ∴ 长方体塑料容器中的水面下降 2 3 cm. 19. 解:(1)∵ a= 3 2 12 = 3 3 ,b= 1 2 48 = 2 3 , ∴ 长方形的周长是:2(a+b) = 2(3 3 + 2 3 )= 10 3 ; (2)设正方形的边长为 x, 则有 x2 =ab= 3 2 12 × 1 2 48 = 18, ∴ x= 18 = 3 2 , ∴ 正方形的周长是 4x= 12 2 . 20. 解:(1)∵ a2 -12a+36+ b-8 = 0, ∴ (a-6) 2 + b-8 = 0, ∴ a-6 = 0,b-8 = 0,则 a= 6,b= 8, ∴ 8-6<c<8+6,即 2<c<14, ∵ c 是三角形的最大边,∴ 8<c<14; (2)∵ b+c-8 + 8-b-c = a-5 , ∴ b +c-8≥0 8-b-c≥0{ ,解得 b +c≥8 8≥b+c{ , ∴ b+c= 8,∴ a-5 = 0,解得 a= 5, ∴ 这个三角形的周长为:a+b+c= 5+8 = 13. 21. 解:(1) ∵ Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 10 + 2 ,BC= 10 - 2 ,∴ Rt△ABC 的面积 = AC·BC 2 = ( 10 + 2 )( 10 - 2 ) 2 = 4,即 Rt△ABC 的面积是 4; (2)∵ Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 10 + 2 ,BC = 10 - 2 ,∴ AB = AC2 +BC2 = ( 10 + 2 ) 2 +( 10 - 2 ) 2 = 2 6 , 即 AB 的长是 2 6 ; (3)∵ Rt△ABC 的面积是 4,AB = 2 6 ,∴ AB 边上的高是4 ×2 2 6 = 2 6 3 ,即 AB 边上 的高是 2 6 3 . 22. 解: ( 1) 长方形 ABCD 的周长为 2 ( 243 + 128 )= 2(9 3 +8 2 ) = 18 3 +16 2 (m) . 故长方形 ABCD 的周长为(18 3 +16 2 )m. (2) 购买地砖需要花费为 5 × [ 243 × 128 - ( 14 + 1 ) × ( 14 - 1 )] = 360 6 -65(元) . 故购买地砖需要花费(360 6 -65)元. 23. 解:(1)x= ± 39 ( 2 ) ( 4x2 +6x-5 + 4x2 -2x-5 ) ( 4x2 +6x-5 - 4x2 -2x-5 ) = ( 4x2 +6x-5 ) 2 -( 4x2 -2x-5 ) 2 = (4x2 +6x-5) -(4x2 -2x-5)= 8x. ∵ 4x2 +6x-5 + 4x2 -2x-5 = 4x, ∴ 4x2 +6x-5 - 4x2 -2x-5 = 8x÷ 4x= 2, ∴ 4x 2 +6x-5 = 2x+1 4x2 -2x-5 = 2x-1{ . ∵ ( 4x2 +6x-5 ) 2 = (2x+1) 2, ∴ 4x2 +6x-5 = 4x2 +4x+1, ∴ 2x= 6,解得 x= 3, 经检验 x= 3 是原方程的解, ∴ 方程 4x2 +6x-5 + 4x2 -2x-5 = 4x 的解是:x= 3. 第 22 章追梦过关检测卷 一、1. D　 2. B　 3. C 4. B　 【解析】把 x = 1 代入方程得:1+k+4 = 0,解 得 k= -5. 故选 B. 5. C 6. B　 【解析】 x2 -4x-1 = 0,移项,得 x2 -4x = 1,配 方,得 x2 -4x+4 = 5,即(x-2) 2 = 5,∴ m = 5. 故选 B. 7. B　 【解析】若 x>-x,即 x>0,则 x = x 2 -3x-2 2 ,解 得 x= 5 + 33 2 (负值舍去);若 x<-x,即 x<0,则 -x= x 2 -3x-2 2 ,解得 x= -1(正值舍去) . 故选 B. —82— 8. A　 【解析】x= -1 为方程 x2 -8x-c= 0 的根,1+8 -c= 0,解得 c= 9,∴ 原方程为 x2 -8x+9 = 0,∵ Δ =(-8) 2 -4×9>0,∴ 方程有两个不相等的实数 根. 故选 A. 9. B　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +mx+3 = 0 有两个实数根 x1 = 1,x2 = n,∴ 1+n = -m,解 得 m+n= -1,故(m+n) 2 022 = 1. 故选 B. 10. B　 【解析】设平均每次下调的百分率是 x,根 据题意可得 8 000(1-x) 2 = 7 220,解得 x1 = 1 20 = 5%,x2 = 39 20 (不合题意舍去) . 故选 B. 二、11. -1　 12. 3 13. 1　 【解析】根据题意得 Δ = (-3) 2 -4×a≥0,解 得 a≤ 9 4 ,x1 +x2 = 3,x1x2 = a,∵ x21 -3x1x2 +x22 = 4,∴ (x1 +x2) 2 -5x1x2 = 4,∴ 9-5a= 4,∴ a= 1. 14. 7 或-1 15. 49 2 　 【解析】设甲、乙两人相遇的时间为 t,则 乙走了 3t 步,甲斜向北偏东方向走了(7t-10) 步,依题意得 102 +(3t) 2 = (7t-10) 2 . 整理,得 40t2 -140t= 0. 解得 t1 = 7 2 ,t2 = 0(不合题意,舍 去),∴ 7t= 7× 7 2 = 49 2 . 故甲走的步数是49 2 . 三、16. 解:(1)移项,得 x2 -x-12 = 0, 分解因式,得(x-4)(x+3)= 0, 则 x-4 = 0 或 x+3 = 0, ∴ x1 = 4,x2 = -3; (2)移项,得 2(x+3) 2 -x(x+3)= 0, 分解因式,得(x+3)(2x+6-x)= 0, 整理,得(x+3)(x+6)= 0, 则 x+3 = 0 或 x+6 = 0, ∴ x1 = -3,x2 = -6. 17. 证明:∵ m2 +2m+2 = (m+1) 2 +1, ∴ m2 +2m+2≥1, 故关于 x 的方程(m2 + 2m+ 2) x2 -(4m- 1)x-7 = 0 总为一元二次方程. 18. 解:(1)由题意得 Δ= (2k-1) 2 -4k(k-2) >0, 解得:k>- 1 4 ; (2)由(1)得 k= 2, 则原方程变形为 x2 +3x= 0, 解得:x1 = 0,x2 = -3. 19. 解:(1)∵ x☆4 = 20, ∴ 4x2 +4 = 20,即 4x2 = 16, 解得:x1 = 2,x2 = -2; (2)∵ 2☆a 的值小于 0, ∴ 22a+a= 5a<0,解得:a<0. 在方程 2x2 -bx+a= 0 中, Δ= ( -b) 2 -8a= b2 -8a>0, ∴ 方程 2x2 -bx+a = 0 有两个不相等的 实数根. 20. 解:(1)2t　 (5-t) (2)由题意得(5-t) 2 +(2t) 2 = 52, 解得 t1 = 0(舍去),t2 = 2. 当 t= 2 时,PQ 的长度等于 5cm; (3)存在 t 的值使得五边形 APQCD 的面积 等于 26cm2 . 理由如下: ∵ 矩形 ABCD 的面积 为 5 × 6 = 30 ( cm2 ), 五 边 形 APQCD 的 面 积 为 26cm2, ∴ △PBQ 的面积为 30-26 = 4(cm2), ∴ (5-t) ×2t× 1 2 = 4, 解得 t1 = 4,t2 = 1. ∵ 2t<6,∴ t<3. 故当 t= 1 时,五边形 APQCD 的面积等 于 26cm2 . 21. 解:(1)设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积 的平均增长率为 x,依题意得: 100(1+x) 2 = 196,解得:x1 = 0. 4 = 40%, x2 = -2. 4(不合题意,舍去) . 即该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积 的平均增长率为 40%; (2) 设售价应降低 y 元, 则每天可售出 (200+50y)千克,依题意得: (20-12-y)(200+50y)= 1 750, 整理,得:y2 -4y+3 = 0, 解得:y1 = 1,y2 = 3. ∵ 要尽量减少库存,∴ y= 3. 即若使销售 “ 阳光玫瑰” 每天获利 1 750 元,则售价应降低 3 元. 22. 解:(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂 出 x 个有益菌. 则 60(1+x) 2 = 24 000, ∴ x1 = 19,x2 = -21(舍去), ∴ x= 19. 即每轮分裂中每个有益菌可分裂出 19 个有益菌. (2)60×(1+19) 3 = 480 000(个), 即经过三轮培植后共有 480 000 个有 益菌. 23. 解:(1) 超市将 A 种水杯售价调整为每个 m 元. 则每个利润为(m-15)元,销量为 [60+10(25-m)] = (310-10m)个,依 题意得:(m-15) (310-10m) = 630,解 得:m1 = 22,m2 = 24,即为了尽量让顾 客得到更多的优惠,m 为 22; (2) 设购进 A 种水杯 x 个,则 B 种水杯 (120-x) 个. 设获利 y 元,依题意,得 15x+12(120-x)≤1 600 120-x≤2x{ , 解 不 等 式 组,得 40≤x≤53 1 3 ,利润 y= (25-15) —92— x+(120-x)(20-12)= 2x+960. ∵ 2>0, ∴ y 随 x 增大而增大,当 x = 53 时,获 利最大, 最大利润为: 2 × 53 + 960 = 1 066(元) . 即获利最大的进货方案为:购进 A 种 水杯 53 个,B 种水杯 67 个,最大利润 为 1 066 元. 第 23 章追梦过关检测卷 一、1. C 2. C　 【解析】△BOE∽△COD∽△CAE∽△BAD, 3 个. 故选 C. 3. A 4. C　 【解析】 S△AEG ∶S△ABC = 1 ∶9,S△AFH ∶S△ABC = 4 ∶ 9,S阴影 =S△AFH-S△AEG = 1 3 S△ABC . 故选 C. 5. B　 【解析】∵ ∠C = ∠C,∠B = ∠DAC,∴ △BAC ∽ △ADC, ∴ BC AC = AC DC , 即 AC = BC·DC = 8×4 = 4 2 . 故选 B. 6. C　 【解析】由题可知,S△ADE ∶S△ABC = 1 ∶ 2,则相 似比为 1 ∶ 2 ,设 AD 为 x,则 AB= 2 x,BD= ( 2 -1)x,则BD AD = 2 -1. 故选 C. 7. C　 8. B　 9. A 10. C　 【解析】∵ △MBC 是等边三角形,∴ ∠MBC = ∠MCB = ∠CMB = 60°,BM = BC,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ∠ADC = 90°, AB = BC, ∴ ∠ABM = ∠DCM = 30°,∵ AB=BM,∴ ∠AMB = ∠BAM = 1 2 ×(180° -30°) = 75°,同理 ∠CMD = ∠CDM = 75°,∴ ∠AMD= 360° - 75° - 75° - 60° = 150°,故①正 确;∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BDC= 45°, ∴ ∠MDN= ∠CDM-∠BDC= 75°-45° = 30°,∵ ∠CMD = ∠CMD, ∠MDN = ∠DCM = 30°, ∴ △MND∽△MDC,∴ MN DM = DM MC ,∴ DM2 = MN· MC,∵ ∠BAD = ∠ADC, ∠BAM = ∠CDM, ∴ ∠MAD= ∠MDA,∴ MA = DM,∴ MA2 = MN· MC,故②正确;过点 M 作 MG⊥AB 于 G,设 MG = x,Rt △BGM 中,∠GBM = 30°,∴ BM = BC = AB= 2x,BG = 3 x,∴ AG = 2x- 3 x,∴ S△ADM S△BMC = 1 2 AD·AG 1 2 BC·BG = AG BG = 2x- 3 x 3 x = 2- 3 3 ,故③错误; 过 N 作 NH⊥CD 于 H,设 NH = x. 则 NH∥BC, ∠NDH = ∠DNH = 45°, ∴ NH = DH = x, ∵ ∠NCH = 30°,∠CHN = 90°,∴ CN = 2x,CH = 3 x,∵ NH∥BC,∴ DN BN =DH CH = x 3 x = 3 3 ,故④正 确. 故选 C. 二、11. 6 5 　 【解析】 a b = c d ,即 5 3 = 2 d ,d= 6 5 . 12. 3　 【解析】由题可知,EF = 1 2 AB = 1 2 ×[18 - (OA+OB)] = 1 2 ×[18- 1 2 (AC+BD)] = 1 2 ×(18 - 1 2 ×24)= 3(cm) . 13. 1 ∶3 14. 7　 【解析】由题得△CEF∽△CBA,EF ∶AB= 9 ∶ 12 = 3 ∶4,∴ S△CEF ∶S△CBA = 9 ∶16,设 S△CEF = 9k, 则 S四边形AFEB = 7k,∴ S△CDF = S四边形AFEB = 7k,又∵ △CDF 与△CEF 是同高不同底的三角形,∴ 面积比等于底边之比,∴ DF ∶EF= 7k ∶9k,∴ DF = 7. 15. 3　 【解析】由题知 MC = MN+NC = 2 3 + 3 = 3 3 (米) . △AMC∽△BNC,∴ NC MC =BC AC ,即 3 3 3 = 1 AC ,AC= 3(米) . 三、16. 证明:由题可知:AB∥CD,AD∥BC, ∴ ∠BEF= ∠FCD,∠EBF= ∠CDF. ∴ △BEF∽△DCF,∴ EF CF =BF DF , 同理可得△CBF∽△GDF,∴ BF DF =CF GF , ∴ EF CF =CF GF ,即 CF2 =EF·GF. 17. 证明:过点 C 作 CE∥AD, 交 BA 的延长线于点 E, ∴ ∠1 = ∠AEC, ∠2 = ∠3. 又∵ AD 是 ∠BAC 的平分线, 即 ∠1 = ∠2, ∴ ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠AEC. ∴ AC=AE. ∵ CE∥AD, ∴ BD DC =AB AE ,∴ AB AC =BD DC . 18. 解:(1)如图. (2)相似比为OA OA′ = 1 2 . (3)如图. —03—