24.2 直角三角形的性质-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 24. 2　 直角三角形的性质 直角三角形斜边上中线的性质 1. (3 分)如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上 的中线,∠A= 20°,则∠BCD 的度数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. (3 分)(四川广元模拟)如图,在△ABC 中,CD ⊥AB 于点 D,E 是 AC 的中点,若 AD = 6,DE = 5,则 CD 的长等于(　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. (3 分) (河南淅川一模)如图,在△ABC 中, ∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为 D,点 E 是 AB 的中点,CD=DE=a,则 AB 的长为(　 　 ) A. 2a B. 2 2 a C. 3a D. 4 3 3 a 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. (3 分)如图所示,点 O 为四边形 ABCD 对角线 AC 的中点,AB⊥BC,AD⊥CD. 若 OB 的长为 9 cm,则 OD 的长为　 　 　 　 　 　 . 5. (10 分) (陕西中考) 如图,在 Rt △ABC 中, ∠BAC= 90°,E,F 分别是 BC,AC 的中点,延长 BA 到点 D,使 AD= 1 2 AB,连结 DE,DF. (1)求证:AF 与 DE 互相平分; (2)若 BC= 4,求 DF 的长. 含 30°角的直角三角形的性质 6. (3 分)在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高, ∠B= 30°,AD= 2 cm,则 AB 的长度是(　 　 ) A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm 7. (3 分) 如图,在△ABC 中, ∠C = 90°, ∠B = 30°,边 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 E,交 BC 于点 D,CD= 3,则 BC 的长为(　 　 ) A. 6 B. 6 3 C. 9 D. 3 3 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. (3 分)如图,“人”字形屋梁中,AB = AC,E,F, D 分别是 AB,AC,BC 的中点,AB = 6 m,∠B = 30°,则支撑“人”字形屋梁的木杆 DE,AD,DF 共有　 　 　 　 m. 9. (5 分)【教材 P104 练习第 2 题变式】如图,早 上 8:00,一艘轮船以 15 海里 / 小时的速度由 南向北航行,在 A 处测得小岛 P 在北偏西 15° 方向上,到上午 10:00,轮船在 B 处测得小岛 P 在北偏西 30°方向上,在小岛 P 周围 18 海里 86 内有暗礁,若轮船继续向前航行,有无触礁的 危险? 10. (3 分)如图,把矩形 ABCD 沿 EF 翻折,点 B 恰好落在 AD 边的 B′处,若 AE = 2,DE = 6, ∠EFB= 60°,则矩形 ABCD 的面积是(　 　 ) A. 12 B. 24 C. 12 3 D. 16 3 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. (3 分) (河南上蔡模拟)如图,在 Rt △ABC 中,∠ACB= 90°,点 D 是斜边 AB 上的中点, 连结 CD,延长 BC 至点 E,使得 CE=AD,连结 DE,过点 C 作 CM⊥DE 于点 M,其中 BC= 6, AD= 5,则 S△ABC ∶S△MCE 等于(　 　 ) A. 11 ∶1 B. 44 ∶3 C. 24 ∶5 D. 44 ∶5 12. (6 分)(湖南长沙模拟)如图,△ABC 为等边 三角形,AE=CD,AD 与 BE 相交于点 P,BQ⊥ AD 于点 Q,PQ= 3,PE= 1,求 AD 的长. 13. (12 分)(河南期末)如图,在△ABC 中,点 D 在边 AC 上,DB = BC,E 是 CD 的中点,F 是 AB 的中点,连结 EF. ( 1 ) 直 接 写 出 AB 与 EF 的 数 量 关 系:　 　 　 　 　 　 　 ; (2)若 AD= 3,BD= 2,∠C= 60°,求 EF 的长. 96 (2)等腰直角 14. 证明:由△DEO 与△ABO 位似得到OD OA = OE OB . 由 △OEF 与△OBC 位似可得OE OB =OF OC . ∴ OD OA = OF OC ,即 OD·OC=OF·OA. 第 24 章　 解直角三角形 24. 1　 测量 1. D 2. 36 97 97 　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∴ BC= 42 +92 = 97 . ∵ 1 2 AD·BC = 1 2 AB·AC,∴ AD= 4 ×9 97 = 36 97 97 . 3. 7　 【解析】AC= AB2 -BC2 = 52 -32 = 4(m),地毯 的长至少为 AC+BC= 4+3 = 7(m) . 4. 解:设该河的宽度为 xm. 根据题意,得 x2 +502 = (x+ 10) 2,解得 x= 120. 即该河的宽度为 120m. 5. A　 【解析】60×1. 5 2 = 45(米) . 故选 A. 6. B　 【解析】OD OB = CD AB ,即 6 6+12 = 3 AB ,AB = (6 +12)×3 6 = 9(m) . 故选 B. 7. 36　 【解析】OA OD = AB CD ,即30 10 =AB 12 ,AB= 36(m) . 8. 解:作 AN⊥EF 于点 N,交 BC 于点 M, ∵ BC∥EF,∴ AM⊥BC. ∴ △ABC∽△AEF. ∴ BC EF =AM AN . ∵ AM = 60cm = 0. 6m,AN = 30m,BC = 18cm = 0. 18m,∴ EF=BC·AN AM = 0. 18×30 0. 6 = 9(m). 即电线杆的高度为 9m. 9. C　 【解析】由题可知 a∥b,∴ △PQR∽△PST,PQ PS = QR ST ,即 PQ PQ+60 = 80 120 ,PQ= 120(m) . 故选 C. 10. C　 【解析】由题可知△ADE∽△ABC,则AD AB =DE BC , 即 AD AD+0. 72 = 1. 52 1. 84 ,AD = 3. 42(m),AB = AD+BD = 4. 14(m) . 故选 C. 11. 11≤h≤12　 【解析】当筷子垂直于底部时,24-12 = 12(cm),当筷子斜靠时,h 最小为 24- 122 +52 = 11(cm),∴ 11≤h≤12. 12. 解:延长 AD,BC 交于点 F,则有DC CF = 1. 2 2 , 即 2 CF = 1. 2 2 ,解得 CF= 10 3 ,∴ BF= 4+10 3 = 22 3 . ∵ △ABF∽△DCF,∴ AB DC =BF CF ,即AB 2 = 22 3 10 3 , 解得 AB= 4. 4. 即这棵树高 4. 4m. 13. 解:过点 A 作 AH⊥ED,交 FC 于 G,交 ED 于 H. 由题意可知:△AFG∽△AEH,∴ AG AH =FG EH , 即 1 1+5 = 3. 2-1. 6 EH ,解得 EH= 9. 6, ∴ ED= 9. 6+1. 6 = 11. 2(米) . 即电视塔高 ED 为 11. 2 米. 24. 2　 直角三角形的性质 1. D　 【解析】在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中 线,∴ CD = 1 2 AB = AD, ∴ ∠DCA = ∠A = 20°, ∴ ∠BCD= 90°-∠DCA= 70°. 故选 D. 2. D 3. B　 【解析】由题可知 CE= 1 2 AB,CE = CD2 +DE2 = 2 a,则 AB= 2 2 a. 故选 B. 4. 9cm 5. (1)证明:连结 EF,AE,∵ E,F 分别为 BC,AC 的中 点,∴ EF∥AB,EF= 1 2 AB,又∵ AD= 1 2 AB,∴ AD =EF,AD∥EF,∴ 四边形 AEFD 为平行四边形, ∴ AF 与 DE 互相平分; (2) 解: ∵ ∠BAC = 90°,E 为 BC 的中点, ∴ AE = 1 2 BC,又∵ AE=DF,∴ DF= 1 2 ×4 = 2. 6. C　 【解析】AB= 2AC= 2×(2×AD)= 8(cm) . 故选 C. 7. C　 8. 9 9. 解:过点 P 作 PD⊥AB 延长线于点 D,∵ ∠PAB = 15°,∠PBD= 30°, ∴ ∠APB= 15°,∴ ∠PAB= ∠APB,∴ PB=AB. ∵ AB= 15×2 = 30(海里),∴ PB= 30(海里) . 在 Rt△PBD 中,∠PDB= 90°,∠PBD= 30°, ∴ PD= 1 2 PB = 1 2 ×30 = 15(海里) . ∵ 15 海里< 18 海里,∴ 轮船继续向前航行,有触礁的危险. 10. D　 【解析】 由题可知 ∠EFB = ∠EFB′ = 60°,∴ ∠B′FC= 180°-2∠EFB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ AD∥BC,∠A′B′F = 90°,∠EB′F = ∠B′FC = 60°,∴ △EFB′是等边三角形,∠A′B′E = 30°. ∵ A′E=AE= 2,∴ EB′ = 2A′E = 4,∴ AD = AE+DE = 8, AB= A′B′ = EB′2 -A′E2 = 2 3 . ∴ S矩形ABCD = AB· AD= 2 3 ×8 = 16 3 . 故选 D. 11. C　 【解析】∵ 点 D 是斜边 AB 上的中点,AD = 5, ∴ AB = 10. ∵ ∠ACB = 90°, BC = 6, ∴ AC = AB2 -BC2 = 8,CD = AD = 5. ∵ CE = AD,∴ CE = CD. ∵ CM⊥DE,∴ DM = EM. ∵ BC = 6,CE = 5,∴ —02— S△ BCD ∶ S△ DCE = BC ∶ CE = 6 ∶5. ∵ S△ ABC = 2S△ BCD, S△ CEM = 1 2 S△ CDE,∴ S△ ABC ∶S△ MCE = (2×6) ∶( 1 2 ×5) = 24 ∶5. 故选 C. 12. 解:由题意得 AB = AC, ∠BAC = ∠C = 60°,AE = CD,∴ △ABE≌△CAD,∴ AD=BE,且∠DAC = ∠ABE. 又 ∵ ∠BPQ = ∠ABE + ∠BAP, ∴ ∠BPQ = ∠DAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°. 又∵ BQ⊥AD,∠PBQ = 30°,PQ = 3,∴ BP = 2PQ = 6. ∵ PE= 1,∴ BE=BP+PE= 7,∴ AD=BE= 7. 13. 解:(1)EF= 1 2 AB (2)连结 BE. ∵ BD = BC,∠C = 60°,∴ △CBD 是等边三角形,∴ CD=BD=BC = 2. ∵ E 是 CD 中点, ∴ DE = 1 2 CD = 1,BE⊥CD. 在 Rt△BED 中,BE = BD2 -DE2 = 22 -12 = 3 . 在 Rt△AEB 中,AE=AD+DE= 3+1 = 4, ∴ AB = AE2 +BE2 = 19 . ∵ F 是 AB 中 点,∴ EF= 1 2 AB= 19 2 . 24. 3　 锐角三角函数 第 1 课时　 锐角三角函数 1. A　 2. C 3. B　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,AC ∶ AB = 3 ∶ 5,设 AC = 3x,AB = 5x,∴ BC = AB2 -AC2 = (5x) 2 -(3x) 2 = 4x,∴ tanA=BC AC = 4x 3x = 4 3 . 故选 B. 4. 1 2 5. 解:(1)由勾股定理得 AB= AC2 +BC2 = 72 +242 = 25; (2) sinA = BC AB = 24 25 ,cosA = AC AB = 7 25 ,tanA = BC AC = 24 7 . 6. A　 7. C 8. A　 【解析】∵ 0<sinα<1,∴ 0<3m-2<1,∴ 2 3 <m<1. 故选 A. 9. 解:原方程化为(2x-1)(x-2)= 0,解得 x1 = 1 2 ,x2 = 2,∵ 0<cosα<1,∴ cosα= x1 = 1 2 . 10. C　 【解析】当∠C = 90°时,AB = AC2 +BC2 = 10, cosA=AC AB = 8 10 = 4 5 ;当∠B= 90°时,AB = AC2 -BC2 = 2 7 ,cosA=AB AC = 2 7 8 = 7 4 . 故选 C. 11. A　 【解析】BC = AB2 -AC2 = 4,∵ ∠ACB = ∠CDB = 90°,∠BCD+∠CBD = ∠CBD+∠BAC,∴ ∠BCD = ∠BAC. ∴ tan∠BCD = tan∠BAC = BC AC = 4 3 . 故选 A. 12. A　 【解析】 tanA = 1 2 ,设 BC = x,则 AC = 2x,AB = AC2 +BC2 = 5 x,sinB=AC AB = 2 5 5 . 故选 A. 13. C　 【解析】cosA = 1-sin2A = 1-( 1 2 ) 2 = 3 2 . 故 选 C. 14. C 15. 2 2 　 【解析】如图,C 为 OB 边上的 格点,连结 AC,根据勾股定理,得 AO = 22 +42 = 2 5 ,AC = 12 +32 = 10 ,OC = 12 +32 = 10 ,∵ AO2 = AC2 +OC2 = 20,∴ △AOC 是直角三角形,cos∠AOB =CO AO = 10 2 5 = 2 2 . 16. ②③　 【解析】 AB = AC2 +BC2 = 5 ,sinA = BC AB = 2 5 5 ,故①错;cosB = sinA = 2 5 5 ,故②对;tanA = BC AC = 2,故③对;sinB = AC AB = 5 5 ,故④错. 故正确的为 ②③. 17. 解:(1)过点 B 作 BD⊥OA 于点 D, 在 Rt△BOD 中,sin∠BOA=BD BO = 3 5 , ∴ BD= 5× 3 5 = 3. 由勾股定理, 可得 DO = 52 -32 = 4,∴ 点 B 的坐标为 (4,3); (2)∵ AO= 10,∴ DA= 6, 在 Rt△BDA 中,AB= 32 +62 = 3 5 , ∴ cos∠BAO=AD AB = 6 3 5 = 2 5 5 . 18. 解:当直角边是 6,8 时,斜边是 10,两个锐角的正 弦值分别为 4 5 、 3 5 ; 当斜边是 8 时,直角边是 6,2 7 ,两个锐角的 正弦值分别为 7 4 、 3 4 . 第 2 课时　 特殊角的三角函数值 1. A 2. C　 【解析】由题意,得 cosA = 1 2 ,tanB = 1,∴ ∠A = 60°,∠B= 45°,∴ ∠C = 180°-∠A-∠B = 75°. 故选 —12—