24.1 测量-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

24. 1　 测量 利用勾股定理测量 1. (3 分)(湖北荆州中考)《九章算术》中的“折 竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根 六尺. 问折高者几何? 意思是:一根竹子,原 高一丈(一丈= 10 尺),一阵风将竹子折断,其 竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部 6 尺远,问 折断处离地面的高度是多少? 设折断处离地 面的高度为 x 尺,则可列方程为(　 　 ) A. x2 -6 = (10-x) 2 B. x2 -62 = (10-x) 2 C. x2 +6 = (10-x) 2 D. x2 +62 = (10-x) 2 2. (3 分) (河南镇平一模)在直角△ABC 中,AD 是斜边 BC 上的高,BA= 4,CA= 9,则 AD= 　 　 　 　 . 3. (3 分)如图所示的是一段 楼梯,高 BC = 3 m,斜边 AB = 5 m,现计划在楼梯上铺 地毯,至少需要地毯的长为　 　 　 　 m. 4. (6 分)(河南镇平一模)如图,某人欲从 A 点 横渡河游到 B 点,由于水流的影响,实际上岸 地点 C 点偏离欲到达地点 B 点 50 m. 结果他 在水中实际游的路程比河的宽度多 10 m. 求 该河的宽度为多少? 利用相似三角形性质测量 5. (3 分)小明高 1. 5 米,在操场的影长为 2 米, 同时测得教学楼在操场的影长为 60 米,则教 学楼的高度为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米 6. (3 分)如图,小明用长为 3 m 的竹竿 CD 做测 量工具,测量学校旗杆 AB 的高度,移动竹竿, 使竹竿与旗杆的距离 DB = 12 m,O,C,A 在同 一直线上,OD= 6 m,则旗杆 AB 的高为(　 　 ) A. 6 m B. 9 m C. 8 m D. 10 m 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. (3 分)(北京昌平模拟)如图是测量水塘宽度 AB 的示意图,AB∥CD,AO = 30 m,OD = 10 m, CD= 12 m,则 AB= 　 　 　 　 m. 8. (7 分)如图,小明拿着一把厘米刻度尺,站在 距电线杆约 30 m 的地方,把手臂向前伸直,刻 度尺竖直,刻度尺上 18 个刻度恰好遮住电线 杆,已知手臂长约 60 cm,小明能求出电线杆 的高度吗? 请你替小明写出求解过程. 66 9. (3 分)如图,为了估计河的宽度,在河的对岸 选定一个目标点 P,在近岸取点 Q 和 S,使点 P,Q,S 在一条直线上,且直线 PS 与河垂直, 在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当 的点 T,PT 与过点 Q 且与 PS 垂直的直线 b 的 交点为 R. 如果 QS = 60 m,ST = 120 m,QR = 80 m,则河的宽度 PQ 为(　 　 ) A. 40 m B. 60 m C. 120 m D. 180 m 10. (3 分) (河南西峡月考)如图,AB 是斜靠在 墙上的长梯,测得梯脚 B 距离墙 1. 84 m,梯 上点 D 距离墙 1. 52 m,BD 长 0. 72 m,则梯 子的长为(　 　 ) A. 3. 85 m　 　 　 　 　 B. 4. 15 m C. 4. 14 m D. 3. 50 m 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 11. (3 分)(河南南阳月考)如图所示,将一根长 24 cm 的筷子,置于底面直径为 5 cm、高为 12 cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的 长 为 h cm, 则 h 的 取 值 范 围 是　 　 　 　 　 　 　 . 12. (10 分) (河南方城期末)如图 所示,在与某建筑物 CE 相距 4 m 处有一棵树 AB,在某时刻, 一根 1. 2 m 长的竹竿垂直地 面,影长为 2 m,此时,树的影子有一部分映 在地面上,还有一部分影子映在建筑物的墙 上,墙上的影高为 2 m,那么这棵树高约有多 少米? 13. (10 分) (重庆模拟)如图,某测量工作人员 与标杆顶端 F、电视塔顶端 E 在同一直线上, 已知此人眼睛距地面 1. 6 米,标杆为 3. 2 米, 且 BC= 1 米,CD= 5 米,求电视塔的高 ED. 76 (2)等腰直角 14. 证明:由△DEO 与△ABO 位似得到OD OA = OE OB . 由 △OEF 与△OBC 位似可得OE OB =OF OC . ∴ OD OA = OF OC ,即 OD·OC=OF·OA. 第 24 章　 解直角三角形 24. 1　 测量 1. D 2. 36 97 97 　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∴ BC= 42 +92 = 97 . ∵ 1 2 AD·BC = 1 2 AB·AC,∴ AD= 4 ×9 97 = 36 97 97 . 3. 7　 【解析】AC= AB2 -BC2 = 52 -32 = 4(m),地毯 的长至少为 AC+BC= 4+3 = 7(m) . 4. 解:设该河的宽度为 xm. 根据题意,得 x2 +502 = (x+ 10) 2,解得 x= 120. 即该河的宽度为 120m. 5. A　 【解析】60×1. 5 2 = 45(米) . 故选 A. 6. B　 【解析】OD OB = CD AB ,即 6 6+12 = 3 AB ,AB = (6 +12)×3 6 = 9(m) . 故选 B. 7. 36　 【解析】OA OD = AB CD ,即30 10 =AB 12 ,AB= 36(m) . 8. 解:作 AN⊥EF 于点 N,交 BC 于点 M, ∵ BC∥EF,∴ AM⊥BC. ∴ △ABC∽△AEF. ∴ BC EF =AM AN . ∵ AM = 60cm = 0. 6m,AN = 30m,BC = 18cm = 0. 18m,∴ EF=BC·AN AM = 0. 18×30 0. 6 = 9(m). 即电线杆的高度为 9m. 9. C　 【解析】由题可知 a∥b,∴ △PQR∽△PST,PQ PS = QR ST ,即 PQ PQ+60 = 80 120 ,PQ= 120(m) . 故选 C. 10. C　 【解析】由题可知△ADE∽△ABC,则AD AB =DE BC , 即 AD AD+0. 72 = 1. 52 1. 84 ,AD = 3. 42(m),AB = AD+BD = 4. 14(m) . 故选 C. 11. 11≤h≤12　 【解析】当筷子垂直于底部时,24-12 = 12(cm),当筷子斜靠时,h 最小为 24- 122 +52 = 11(cm),∴ 11≤h≤12. 12. 解:延长 AD,BC 交于点 F,则有DC CF = 1. 2 2 , 即 2 CF = 1. 2 2 ,解得 CF= 10 3 ,∴ BF= 4+10 3 = 22 3 . ∵ △ABF∽△DCF,∴ AB DC =BF CF ,即AB 2 = 22 3 10 3 , 解得 AB= 4. 4. 即这棵树高 4. 4m. 13. 解:过点 A 作 AH⊥ED,交 FC 于 G,交 ED 于 H. 由题意可知:△AFG∽△AEH,∴ AG AH =FG EH , 即 1 1+5 = 3. 2-1. 6 EH ,解得 EH= 9. 6, ∴ ED= 9. 6+1. 6 = 11. 2(米) . 即电视塔高 ED 为 11. 2 米. 24. 2　 直角三角形的性质 1. D　 【解析】在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中 线,∴ CD = 1 2 AB = AD, ∴ ∠DCA = ∠A = 20°, ∴ ∠BCD= 90°-∠DCA= 70°. 故选 D. 2. D 3. B　 【解析】由题可知 CE= 1 2 AB,CE = CD2 +DE2 = 2 a,则 AB= 2 2 a. 故选 B. 4. 9cm 5. (1)证明:连结 EF,AE,∵ E,F 分别为 BC,AC 的中 点,∴ EF∥AB,EF= 1 2 AB,又∵ AD= 1 2 AB,∴ AD =EF,AD∥EF,∴ 四边形 AEFD 为平行四边形, ∴ AF 与 DE 互相平分; (2) 解: ∵ ∠BAC = 90°,E 为 BC 的中点, ∴ AE = 1 2 BC,又∵ AE=DF,∴ DF= 1 2 ×4 = 2. 6. C　 【解析】AB= 2AC= 2×(2×AD)= 8(cm) . 故选 C. 7. C　 8. 9 9. 解:过点 P 作 PD⊥AB 延长线于点 D,∵ ∠PAB = 15°,∠PBD= 30°, ∴ ∠APB= 15°,∴ ∠PAB= ∠APB,∴ PB=AB. ∵ AB= 15×2 = 30(海里),∴ PB= 30(海里) . 在 Rt△PBD 中,∠PDB= 90°,∠PBD= 30°, ∴ PD= 1 2 PB = 1 2 ×30 = 15(海里) . ∵ 15 海里< 18 海里,∴ 轮船继续向前航行,有触礁的危险. 10. D　 【解析】 由题可知 ∠EFB = ∠EFB′ = 60°,∴ ∠B′FC= 180°-2∠EFB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ AD∥BC,∠A′B′F = 90°,∠EB′F = ∠B′FC = 60°,∴ △EFB′是等边三角形,∠A′B′E = 30°. ∵ A′E=AE= 2,∴ EB′ = 2A′E = 4,∴ AD = AE+DE = 8, AB= A′B′ = EB′2 -A′E2 = 2 3 . ∴ S矩形ABCD = AB· AD= 2 3 ×8 = 16 3 . 故选 D. 11. C　 【解析】∵ 点 D 是斜边 AB 上的中点,AD = 5, ∴ AB = 10. ∵ ∠ACB = 90°, BC = 6, ∴ AC = AB2 -BC2 = 8,CD = AD = 5. ∵ CE = AD,∴ CE = CD. ∵ CM⊥DE,∴ DM = EM. ∵ BC = 6,CE = 5,∴ —02—