追梦第23章章末复习 图形的相似-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

追梦第 23 章章末复习　 图形的相似 第 23 章知识汇总 平行线分线 段成比例 定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对 应线段成比例 ì î í ï ï ï ï 相似三角 形的判定 一般三角形 1. 两角分别相等的两个三角形相似 2. 两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似 3. 三边分别成比例的两个三角形相似 ì î í ï ï ï ï 直角三角形 1. 一组锐角对应相等 2. 两边对应成比例 ①两直角边对应成比例 ②斜边和一直角边对应成比例{ ì î í ï ï ï ï ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ï 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应角相等,对应边成比例 2. 相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比 3. 相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 ì î í ï ï ï ï 相似多边形的性质 1. 相似多边形对应角相等,对应边的比等于相似比 2. 相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方{ 相似三角 形的实际 应用 1. 运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题, 如利用光的反射定律求物体的高度,利用影子计算建筑物的高度, 同一时刻,物高与影长成比例,有身高 影长 =建筑物的高度 建筑物的影长 2. 运用相似三角形的判定条件和 性质解决实际问题的方法步骤 (1)将实际问题转化为相似三角形问题 (2)找出一对相似三角形 (3)根据相似三角形的性质,表示出相应的量,并求解 ì î í ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 三角形的中位线 定义:连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半{ 三角形的重心 定义:三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心 性质:三角形的重心与一边中点连线的线段长是对应中线长的 1 3 ì î í ï ï ïï 位似图形 定义:如果两个多边形不仅相似,并且对应点的连线都相交于一点,像这样的 相似叫位似,这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫位似中心,这时 的相似比叫位似比 性质:位似图形不仅相似,且对应顶点的连线交于一点,对应边平行或共线, 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 ì î í ï ï ïï ï ï ïï 图形与坐标 确定位置的方法 直角坐标系法 角度(方向)、距离{ 坐标变化 平移:向左(或向右)平移 k 个单位,横坐标减去(或加上)k 个单位, 向上(或向下)平移 k 个单位,纵坐标加上(或减去)k 个单位 对称:关于 x 轴对称,前后两个图形对应点横坐标相等,纵坐标互为相反数, 关于 y 轴对称,前后两个图形对应点纵坐标相等,横坐标互为相反数 旋转 180°:前后两个图形对应点横坐标与纵坐标都互为相反数 ì î í ï ï ïï ï ï ïï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 36 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 成比例线段 1. (3 分)下列各组中的四条线段,是成比例线段 的是(　 　 ) A. 3 cm,6 cm,12 cm,18 cm B. 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm C. 2 cm, 10 cm, 5 cm,5 cm D. 5 cm,2 cm,3 cm,6 cm 2. (3 分)已知线段 a= 4,b= 16,线段 c 是线段 a, b 的比例中项(即 a c = c b ),那么 c 等于(　 　 ) A. 10　 　 　 B. 8　 　 　 C. -8　 　 　 D. ±8 3. (3 分) (河南新野月考)如图,C 是 AB 的中 点,D 在 BC 上,AB= 24 cm,BD= 5 cm. (1)AC ∶CB= 　 　 　 ,AC ∶AB= 　 　 　 ; (2)BC BD = 　 　 　 ,CD AB = 　 　 　 ,AD CD = 　 　 　 . 相似三角形 4. (3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AD ⊥BC,AB= 10,BD= 6,则 BC 的值为(　 　 ) A. 18 5 B. 2 5 C. 100 3 D. 50 3 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. (3 分)如图,为估算某河的宽度,在河对岸选 定一个目标点 A,在近岸取点 B,C,D,使得 AB ⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A,E,D 在同一条直线上. 若测得 BE = 20 m,CE = 10 m,CD= 20 m,则河的宽度 AB 等于(　 　 ) A. 60 m B. 40 m C. 30 m D. 20 m 6. (3 分)如图,△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,且AD DB = AE EC = 2,下列结论错误的是(　 　 ) A. DE∥BC B. DE ∶BC= 2 ∶3 C. △ADE 与△ABC 的面积 比为 4 ∶9 D. △ADE 与△ABC 的周长比为 1 ∶2 7. (8 分) (安徽安庆一模)如图,在▱ABCD 中, 过点 A 作 AE⊥BC,垂足为点 E,连结 DE,F 为 线段 DE 上一点,且∠AFE= ∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若 AB= 4,AD= 3 3 ,AE= 3,求 AF 的长. 三角形的中位线 8. (3 分)如图,在△ABC 中,中 线 BE,CD 相交于点 G,则DE BC = 　 　 　 　 ; DG GC = 　 　 　 　 ; S△GED S△GBC = 　 　 　 　 . 9. (6 分) (浙江绍兴模拟)如图. 点 P 是△ABC 的重心,过 P 作 AC 的平行线,分别交 AB,BC 于点 D,E,作 DF∥EC 交 AC 于点 F,若△ABC 的面积为 18 cm2,求四边形 ECFD 的面积. 46 位似图形与图形的坐标 10. (3 分)(江西南昌一模)如图,将正方形 ABCD 放于平面直角坐标系中,已知点 A( -4,2),B (-2,2),以原点O 为位似中心把正方形 ABCD 缩小得到正方形 A′B′C′D′,使 OA′ ∶OA = 1 ∶2, 则点 D 的对应点 D′的坐标是(　 　 ) A. ( -8,8) B. ( -8,8)或(8,-8) C. ( -2,2) D. ( -2,2)或(2,-2) 第 10 题图 　 第 11 题图 11. (3 分) (黑龙江牡丹江中考)如图,把△ABC 经过一定的变换得到△A′B′C′,如果△ABC 上点 P 的坐标为( x,y),那么这个点在△A′ B′C′中的对应点 P′的坐标为(　 　 ) A. ( -x,y-2)　 　 　 　 B. ( -x,y+2) C. ( -x+2,-y) D. ( -x+2,y+2) 12. (3 分) (河南南阳期中)如图,在△ABC 中, ∠ACB = 90°, 边 BC 在 x 轴上,顶点 A,B 的坐 标分别为( -2,5)和(6, 0) . 将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移,当点 E 落在 AB 边上时,点 D 的坐标为　 　 　 　 . 13. (8 分)(福建中考)如图,在 10×10 的正方形 网格中,点 A,B,C,D 均在格点上,以点 A 为 位似中心画四边形 AB′C′D′,使它与四边形 ABCD 位似,且相似比为 2. (1)在图中画出四边形 AB′C′D′; (2)△AC′D′是　 　 　 　 三角形. 14. (8 分)如图,已知△DEO 与△ABO 是位似图 形,△OEF 与△OBC 是位似图形,试说明: OD·OC=OF·OA. 56 ∴ AE EB =DE CB . 【探究】如图 1,过点 G 作 GM⊥CD 于点 M. 由(1),易得EF EG = DE GM ,AE EB =DE CB . ∵ EF EG = AE EB ,∴ DE GM =DE CB . ∴ BC=GM. 又∵ ∠C= ∠GMH= 90°,∠CHB= ∠MHG, ∴ △BCH≌△GMH,∴ BH=GH. 【拓展】如图 2,在 EG 上取点 M,使∠BME = ∠AEB, 过点 C 作 CN∥BM,交 EG 的延长线于点 N,则 ∠N= ∠BMG. ∵ ∠EAF + ∠EFA + ∠AEF = ∠AEF + ∠AEB + ∠BEM= 180°,∠EFA= ∠AEB, ∴ ∠EAF= ∠BEM,∵ ∠EFA= ∠BME. ∴ △AEF∽△EBM. ∴ AE EB = EF BM . ∵ ∠AEB + ∠DEC = 180°, ∠EFA + ∠DFE = 180°, 而∠EFA= ∠AEB,∴ ∠CED= ∠EFD. ∵ ∠BMG+∠BME= 180°,∴ ∠N= ∠EFD. ∵ ∠EFD+ ∠EDF+ ∠FED = ∠FED+ ∠DEC + ∠CEN= 180°,∴ ∠EDF = ∠CEN,∴ △DEF∽ △ECN. ∴ DE EC =EF CN . 又∵ AE EB = EF BM ,AE EB =DE EC , ∴ EF BM =EF CN . ∴ BM=CN. 又∵ ∠BMG= ∠N,∠BGM= ∠CGN, ∴ △BGM ≌△CGN,∴ BG=CG. 11. A 12. B　 【解析】∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角三角 形,∴ ∠BAC = ∠ABC = ∠ADE = ∠DAE = 45°, ∠ACB= ∠AED = 90°,∴ ∠BAD = ∠CAE. ∵ AC AB = AE AD = 2 2 ,∴ AB AD = AC AE . ∵ ∠BAD = ∠CAE,∴ △ABD ∽△ACE,∴ BD CE =AB AC =AD AE = 2 . 故选 B. 追梦第 23 章章末复习　 图形的相似 1. C　 2. B 3. (1)1 ∶1　 1 ∶2 (2)12 5 　 7 24 　 19 7 4. D 5. B　 【解析】∵ AB⊥BC,CD⊥BC,∴ ∠ABE = ∠DCE = 90°. 又∵ ∠AEB = ∠DEC,∴ △ABE∽△DCE,∴ AB 20 = 20 10 ,解得 AB= 40m. 故选 B. 6. D 7. 解:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AB∥CD, ∴ ∠ADF= ∠CED,∠B+∠C= 180°. ∵ ∠AFE+∠AFD= 180°,∠AFE= ∠B, ∴ ∠AFD= ∠C,∴ △ADF∽△DEC; (2)∵ CD=AB= 4,AE⊥BC,BC∥AD, ∴ AE⊥AD. 在 Rt△ADE 中, DE= AD2 +AE2 = (3 3 ) 2 +32 = 6. ∵ △ADF∽△DEC,∴ AD DE = AF CD , ∴ 3 3 6 =AF 4 ,解得 AF= 2 3 . 8. 1 2 　 1 2 　 1 4 9. 解:连结 BP 并延长交 AC 于点 G. 由题意,得 BP ∶ PG= 2 ∶1. ∵ DE∥AC,∴ BD ∶DA = BP ∶PG = 2 ∶1, ∴ BD ∶BA= 2 ∶3,AD ∶AB = 1 ∶3. ∵ DE∥AC,DF∥ BC, ∴ △BDE ∽ △BAC, △ADF ∽ △ABC, ∴ S△BDE ∶S△BAC = 4 ∶9,S△ADF:S△ABC = 1 ∶9,∴ S△BDE = 8cm2,S△ADF = 2cm2 ∴ S四边形ECFD = 18 - 2 - 8 = 8 (cm2). 10. D　 11. B 12. ( 4 5 ,2)　 【解析】∵ ∠ACB= 90°,四边形 OCDE 为 正方形,而 A(-2,5),∴ OC =OE =DE = 2. 设直线 AB 的解析式为 y = kx+b,把 A(-2,5),B(6,0)分 别代入,得 -2k+b= 5 6k+b= 0{ ,解得 k= - 5 8 b= 15 4 ì î í ï ï ï ï . ∴ 直线 AB 的 解析式为 y= - 5 8 x+15 4 . ∵ 正方形 OCDE 沿 x 轴向 右平移,∴ E 点的纵坐标为 2. 当 y = 2 时- 5 8 x+15 4 = 2,解得 x = 14 5 . 当点 E 落在 AB 边上时,此时 E 点坐标为(14 5 ,2) . 把 E(14 5 ,2)向左平移 2 个单位 得到 D 点,此时点 D 的坐标为( 4 5 ,2) . 13. 解:(1)如图: —91— (2)等腰直角 14. 证明:由△DEO 与△ABO 位似得到OD OA = OE OB . 由 △OEF 与△OBC 位似可得OE OB =OF OC . ∴ OD OA = OF OC ,即 OD·OC=OF·OA. 第 24 章　 解直角三角形 24. 1　 测量 1. D 2. 36 97 97 　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∴ BC= 42 +92 = 97 . ∵ 1 2 AD·BC = 1 2 AB·AC,∴ AD= 4 ×9 97 = 36 97 97 . 3. 7　 【解析】AC= AB2 -BC2 = 52 -32 = 4(m),地毯 的长至少为 AC+BC= 4+3 = 7(m) . 4. 解:设该河的宽度为 xm. 根据题意,得 x2 +502 = (x+ 10) 2,解得 x= 120. 即该河的宽度为 120m. 5. A　 【解析】60×1. 5 2 = 45(米) . 故选 A. 6. B　 【解析】OD OB = CD AB ,即 6 6+12 = 3 AB ,AB = (6 +12)×3 6 = 9(m) . 故选 B. 7. 36　 【解析】OA OD = AB CD ,即30 10 =AB 12 ,AB= 36(m) . 8. 解:作 AN⊥EF 于点 N,交 BC 于点 M, ∵ BC∥EF,∴ AM⊥BC. ∴ △ABC∽△AEF. ∴ BC EF =AM AN . ∵ AM = 60cm = 0. 6m,AN = 30m,BC = 18cm = 0. 18m,∴ EF=BC·AN AM = 0. 18×30 0. 6 = 9(m). 即电线杆的高度为 9m. 9. C　 【解析】由题可知 a∥b,∴ △PQR∽△PST,PQ PS = QR ST ,即 PQ PQ+60 = 80 120 ,PQ= 120(m) . 故选 C. 10. C　 【解析】由题可知△ADE∽△ABC,则AD AB =DE BC , 即 AD AD+0. 72 = 1. 52 1. 84 ,AD = 3. 42(m),AB = AD+BD = 4. 14(m) . 故选 C. 11. 11≤h≤12　 【解析】当筷子垂直于底部时,24-12 = 12(cm),当筷子斜靠时,h 最小为 24- 122 +52 = 11(cm),∴ 11≤h≤12. 12. 解:延长 AD,BC 交于点 F,则有DC CF = 1. 2 2 , 即 2 CF = 1. 2 2 ,解得 CF= 10 3 ,∴ BF= 4+10 3 = 22 3 . ∵ △ABF∽△DCF,∴ AB DC =BF CF ,即AB 2 = 22 3 10 3 , 解得 AB= 4. 4. 即这棵树高 4. 4m. 13. 解:过点 A 作 AH⊥ED,交 FC 于 G,交 ED 于 H. 由题意可知:△AFG∽△AEH,∴ AG AH =FG EH , 即 1 1+5 = 3. 2-1. 6 EH ,解得 EH= 9. 6, ∴ ED= 9. 6+1. 6 = 11. 2(米) . 即电视塔高 ED 为 11. 2 米. 24. 2　 直角三角形的性质 1. D　 【解析】在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中 线,∴ CD = 1 2 AB = AD, ∴ ∠DCA = ∠A = 20°, ∴ ∠BCD= 90°-∠DCA= 70°. 故选 D. 2. D 3. B　 【解析】由题可知 CE= 1 2 AB,CE = CD2 +DE2 = 2 a,则 AB= 2 2 a. 故选 B. 4. 9cm 5. (1)证明:连结 EF,AE,∵ E,F 分别为 BC,AC 的中 点,∴ EF∥AB,EF= 1 2 AB,又∵ AD= 1 2 AB,∴ AD =EF,AD∥EF,∴ 四边形 AEFD 为平行四边形, ∴ AF 与 DE 互相平分; (2) 解: ∵ ∠BAC = 90°,E 为 BC 的中点, ∴ AE = 1 2 BC,又∵ AE=DF,∴ DF= 1 2 ×4 = 2. 6. C　 【解析】AB= 2AC= 2×(2×AD)= 8(cm) . 故选 C. 7. C　 8. 9 9. 解:过点 P 作 PD⊥AB 延长线于点 D,∵ ∠PAB = 15°,∠PBD= 30°, ∴ ∠APB= 15°,∴ ∠PAB= ∠APB,∴ PB=AB. ∵ AB= 15×2 = 30(海里),∴ PB= 30(海里) . 在 Rt△PBD 中,∠PDB= 90°,∠PBD= 30°, ∴ PD= 1 2 PB = 1 2 ×30 = 15(海里) . ∵ 15 海里< 18 海里,∴ 轮船继续向前航行,有触礁的危险. 10. D　 【解析】 由题可知 ∠EFB = ∠EFB′ = 60°,∴ ∠B′FC= 180°-2∠EFB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ AD∥BC,∠A′B′F = 90°,∠EB′F = ∠B′FC = 60°,∴ △EFB′是等边三角形,∠A′B′E = 30°. ∵ A′E=AE= 2,∴ EB′ = 2A′E = 4,∴ AD = AE+DE = 8, AB= A′B′ = EB′2 -A′E2 = 2 3 . ∴ S矩形ABCD = AB· AD= 2 3 ×8 = 16 3 . 故选 D. 11. C　 【解析】∵ 点 D 是斜边 AB 上的中点,AD = 5, ∴ AB = 10. ∵ ∠ACB = 90°, BC = 6, ∴ AC = AB2 -BC2 = 8,CD = AD = 5. ∵ CE = AD,∴ CE = CD. ∵ CM⊥DE,∴ DM = EM. ∵ BC = 6,CE = 5,∴ —02—