专题相似模型-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 专题　 相似模型 A 字型与 A 字型变形 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 A 字型: 如图 BC∥DE→△ADE∽△ABC;则 AD AB = AE AC =DE BC . 1. (3 分) (四川南充中考)如图所示,在△ABC 中,DE∥BC,BF 平分∠ABC,交 DE 的延长线 于点 F. 若 AD = 1, BD = 2, BC = 4, 则 EF = 　 　 　 　 . 2. (6 分)如图所示,在▱ABCD 中,点 E 为边 BC 延长线上一点,连结 AE,交 BD 于点 F,过点 F 作 FG∥AB,交 BC 于点 G. 求证:BG GC =BE AD . 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 A 字型变形 1: DE 与边 AB、AC 相交于点 D、E. 如图,∠1 = ∠B→△ADE∽△ACB;则 AD AC =AE AB =DE BC . 3. (3 分)如图,D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点,∠1 = ∠B,AE = EC = 4,BC = 10,AB = 12,则△ADE 和△ACB 的周长之比为(　 　 ) A. 1 ∶2　 　 B. 1 ∶3　 　 C. 1 ∶4　 　 D. 1 ∶6 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 A 字型变形 2: DE 拉下来经过点 C,又称之为母子型. 如图,∠ACE = ∠B→△AEC∽△ACB;则(1) AE AC =AC AB ;(2)AC2 =AE·AB. AC2 =AE·AB⇒ AB2 =BD·BC AC2 =CD·CB{ 4. (3 分)(河南淅川期末)如图,在 Rt△ABC 中, AB= 6,AC = 4,D 是 AB 边上的一点,当 AD = 　 　 　 　 时,△ABC∽△ACD. 06 5. (8 分)(浙江宁波期末)如图,△ABC 中,点 E 在中线 BD 上,∠DAE= ∠ABD. 求证:(1)AD2 =DE·DB; (2)∠DEC= ∠ACB. 8 字型与 8 字型变形 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 8 字型: 如图,BC∥DE →△ADE∽△ACB;则 AD AC = AE AB =DE BC . 6. (3 分)(河南邓州期末)如图,在正方形 ABCD 中,F 是 AD 的中点,BF 与 AC 交于点 G,则 △BGC 与四边形 CGFD 的面积之比是(　 　 ) A. 1 ∶2 B. 2 ∶3 C. 3 ∶4 D. 4 ∶5 第 6 题图 　 第 7 题图 7. (3 分)如图,AB∥GH∥CD,点 H 在 BC 上,AC 与 BD 交 于 点 G, AB = 2, CD = 4, 则 GH 的长为　 　 　 　 . 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 8 字型变形: 如图,已知∠E = ∠B→ △AED∽ △ABC;则 AD AC =AE AB =DE BC . 8. (8 分) (上海崇明一模)如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点,连结 DE,过顶点 B 作 BF⊥DE,垂足为 F,BF 交边 DC 于点 G. (1)求证:GD·AB=DF·BG; (2)连结 CF,求证:∠CFB= 45°. 一线三等角模型 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 一线三等角模型: 如图,已知 B、C、D 在同一条直线上,且∠B = ∠C= ∠ADE→△ABD∽△DCE. 16 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 9. (8 分)在△ABC 中,AB = AC = 6,BC = 8,D 是 BC 边上任意一点,AB 边上有一点 E,AC 边上 有一点 F,使∠EDF = ∠C. 已知 BD = 6,BE = 4. 求 CF 的长. 10. (9 分) 【感知】如图①,在四边形 ABCD 中, ∠C = ∠D = 90°, 点 E 在边 CD 上, ∠AEB= 90°,求证:AE EB =DE CB . 【探究】如图②,在四边形 ABCD 中, ∠C = ∠ADC= 90°,点 E 在边 CD 上,点 F 在 边 AD 的 延 长 线 上, ∠FEG = ∠AEB= 90°,且EF EG = AE EB ,连结 BG 交 CD 于点 H. 求证:BH=GH. 【拓展】 如图③,点 E 在四边形 ABCD 内, ∠AEB+∠DEC= 180°,且AE EB =DE EC ,过 E 作 EF 交 AD 于点 F,若∠EFA = ∠AEB,延长 FE 交 BC 于点 G. 求证: BG=CG. 旋转模型 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 旋转模型: 如图,若△ABC∽△ADE,则△ABD∽△ACE. 11. (3 分)(江苏南京一模)如图,将△ABC 绕点 A 旋转任意角度得到 △AB′ C′, 连结 BB′, CC′,则 BB′ ∶CC′等于(　 　 ) A. AB ∶AC　 　 　 　 　 B. BC ∶AC C. AB ∶BC　 　 　 　 　 D. AC ∶AB 第11 题图 　 第 12 题图 12. (3 分) (河南模拟改编)如图 1,△ABC 是等 腰直角三角形,∠ACB= 90°,D,E 分别为 AB, AC 边上的点,且 DE∥BC,把△ADE 绕点 A 逆 时针旋转(如图 2),则BD CE 的值为(　 　 ) A. 2　 　 　 B. 2 　 　 　 C. 3　 　 　 D. 3 26 形,∴ △ACB∽△CED. ∵ 相似比为 1 ∶ 3,∴ 2 DE = 1 3 ,解得 DE= 6. ∵ △CED 为等腰直角三角形,∴ CE=DE= 6. ∵ 等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△CDE 关 于原点 O 成位似关系,∴ △OCB∽△OED,∴ OC OE = BC DE ,即 OC OC+6 = 1 3 . 解得 OC= 3,∴ OE =OC+CE = 9, ∴ 点 D 的坐标为(9,6) . 故选 A. 11. 8 2 7 　 12. (4,2)或( -4,-2) 13. 解:(1)如图 1,三角形 B 为所作(作法不唯一); (2)如图 2,长方形 D 为所作(作法不唯一) . 图 1 　 　 图 2 14. 解:(1)如图,△A1B1C1 为所作; (2)如图,△A2B2C2 为所作; S△A2B2C2 = 10×8- 1 2 ×2×6- 1 2 ×4×8- 1 2 ×6× 10 = 28. 15. 解:(1)如图,△A1B1C1 为所作,C1( -1,2); (2)如图,△A2B2C2 为所作. ∵ C ( 3, 2 ), C2 ( - 2, - 3 ), △A2B2C2 与 △ABC 关于直线 l 对称, ∴ 直线 l 垂直平分线段 CC2, ∴ 直线 l 的函数解析式为 y= -x. 专题　 相似模型 1. 2 3 2. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AD∥BC. ∵ FG∥AB,∴ FG∥CD. ∴ △BFG∽△BDC,∴ BG GC =BF FD . ∵ AD∥BE,∴ △ADF∽△EBF. ∴ BF FD =BE AD . ∴ BG GC =BE AD . 3. B　 4. 8 3 5. 证明:(1)∵ ∠DAE= ∠ABD,∠ADE= ∠BDA, ∴ △ADE∽△BDA. ∴ AD BD =DE AD . 即 AD2 =DE·DB. (2)∵ D 是 AC 边上的中点,∴ AD=DC. ∵ AD BD =DE AD ,∴ DC BD =DE DC . ∵ ∠CDE= ∠BDC. ∴ △CDE∽△BDC. ∴ ∠DEC= ∠ACB. 6. D　 【解析】设△AFG 的面积为 a,∵ 点 F 是 AD 中 点,∴ AF = FD = 1 2 AD = 1 2 BC. ∵ AD∥BC,∴ △AFG ∽△CBG. ∴ S△AFG S△BCG =(AF BC ) 2 = 1 4 . ∴ S△BCG = 4a. ∵ FG GB = AF BC = 1 2 ,∴ S△AFG S△ABG = 1 2 . ∴ S△ABG = 2a. 则 S△ABC = S△BCG +S△ABG = S△ACD = 6a. ∴ S四边形CGFD = S△ACD -S△AFG = 5a,故 S△BGC ∶S四边形CGFD = 4a ∶5a= 4 ∶5. 故选 D. 7. 4 3 8. 证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BCD= ∠ADC= 90°,AB=BC. ∵ BF ⊥ DE, ∴ ∠GFD = 90°, ∠BCD = ∠GFD. ∵ ∠BGC= ∠FGD,∴ △BGC∽△DGF, ∴ BG DG =BC DF . ∴ DG·BC=DF·BG. ∵ AB=BC,∴ DG·AB=DF·BG; (2)连结 BD,∵ △BGC∽△DGF,∴ BG CG =DG FG . 又∵ ∠BGD= ∠CGF,∴ △BGD∽△CGF, ∴ ∠BDG= ∠CFG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,BD 是对角 线, ∴ ∠BDG = 1 2 ∠ADC = 45°. ∴ ∠CFG = 45°. 9. 解:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C. 又∵ ∠EDF= ∠C,∴ ∠B= ∠EDF= ∠C. ∵ ∠BDF = ∠BDE + ∠EDF = ∠C + ∠CFD, ∴ ∠CFD= ∠BDE. ∴ ∠BED= ∠CDF. ∴ △BDE∽△CFD,∴ BD CF =BE CD . ∵ BC= 8,BD= 6,∴ CD= 2. ∴ 6 CF = 4 2 . ∴ CF= 3. 10. 解:【感知】∵ ∠C= ∠D= ∠AEB= 90°, ∴ ∠BEC+∠AED= ∠AED+∠EAD= 90°. ∴ ∠EAD= ∠BEC. ∴ Rt△BCE∽Rt△EDA, —81— ∴ AE EB =DE CB . 【探究】如图 1,过点 G 作 GM⊥CD 于点 M. 由(1),易得EF EG = DE GM ,AE EB =DE CB . ∵ EF EG = AE EB ,∴ DE GM =DE CB . ∴ BC=GM. 又∵ ∠C= ∠GMH= 90°,∠CHB= ∠MHG, ∴ △BCH≌△GMH,∴ BH=GH. 【拓展】如图 2,在 EG 上取点 M,使∠BME = ∠AEB, 过点 C 作 CN∥BM,交 EG 的延长线于点 N,则 ∠N= ∠BMG. ∵ ∠EAF + ∠EFA + ∠AEF = ∠AEF + ∠AEB + ∠BEM= 180°,∠EFA= ∠AEB, ∴ ∠EAF= ∠BEM,∵ ∠EFA= ∠BME. ∴ △AEF∽△EBM. ∴ AE EB = EF BM . ∵ ∠AEB + ∠DEC = 180°, ∠EFA + ∠DFE = 180°, 而∠EFA= ∠AEB,∴ ∠CED= ∠EFD. ∵ ∠BMG+∠BME= 180°,∴ ∠N= ∠EFD. ∵ ∠EFD+ ∠EDF+ ∠FED = ∠FED+ ∠DEC + ∠CEN= 180°,∴ ∠EDF = ∠CEN,∴ △DEF∽ △ECN. ∴ DE EC =EF CN . 又∵ AE EB = EF BM ,AE EB =DE EC , ∴ EF BM =EF CN . ∴ BM=CN. 又∵ ∠BMG= ∠N,∠BGM= ∠CGN, ∴ △BGM ≌△CGN,∴ BG=CG. 11. A 12. B　 【解析】∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角三角 形,∴ ∠BAC = ∠ABC = ∠ADE = ∠DAE = 45°, ∠ACB= ∠AED = 90°,∴ ∠BAD = ∠CAE. ∵ AC AB = AE AD = 2 2 ,∴ AB AD = AC AE . ∵ ∠BAD = ∠CAE,∴ △ABD ∽△ACE,∴ BD CE =AB AC =AD AE = 2 . 故选 B. 追梦第 23 章章末复习　 图形的相似 1. C　 2. B 3. (1)1 ∶1　 1 ∶2 (2)12 5 　 7 24 　 19 7 4. D 5. B　 【解析】∵ AB⊥BC,CD⊥BC,∴ ∠ABE = ∠DCE = 90°. 又∵ ∠AEB = ∠DEC,∴ △ABE∽△DCE,∴ AB 20 = 20 10 ,解得 AB= 40m. 故选 B. 6. D 7. 解:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AB∥CD, ∴ ∠ADF= ∠CED,∠B+∠C= 180°. ∵ ∠AFE+∠AFD= 180°,∠AFE= ∠B, ∴ ∠AFD= ∠C,∴ △ADF∽△DEC; (2)∵ CD=AB= 4,AE⊥BC,BC∥AD, ∴ AE⊥AD. 在 Rt△ADE 中, DE= AD2 +AE2 = (3 3 ) 2 +32 = 6. ∵ △ADF∽△DEC,∴ AD DE = AF CD , ∴ 3 3 6 =AF 4 ,解得 AF= 2 3 . 8. 1 2 　 1 2 　 1 4 9. 解:连结 BP 并延长交 AC 于点 G. 由题意,得 BP ∶ PG= 2 ∶1. ∵ DE∥AC,∴ BD ∶DA = BP ∶PG = 2 ∶1, ∴ BD ∶BA= 2 ∶3,AD ∶AB = 1 ∶3. ∵ DE∥AC,DF∥ BC, ∴ △BDE ∽ △BAC, △ADF ∽ △ABC, ∴ S△BDE ∶S△BAC = 4 ∶9,S△ADF:S△ABC = 1 ∶9,∴ S△BDE = 8cm2,S△ADF = 2cm2 ∴ S四边形ECFD = 18 - 2 - 8 = 8 (cm2). 10. D　 11. B 12. ( 4 5 ,2)　 【解析】∵ ∠ACB= 90°,四边形 OCDE 为 正方形,而 A(-2,5),∴ OC =OE =DE = 2. 设直线 AB 的解析式为 y = kx+b,把 A(-2,5),B(6,0)分 别代入,得 -2k+b= 5 6k+b= 0{ ,解得 k= - 5 8 b= 15 4 ì î í ï ï ï ï . ∴ 直线 AB 的 解析式为 y= - 5 8 x+15 4 . ∵ 正方形 OCDE 沿 x 轴向 右平移,∴ E 点的纵坐标为 2. 当 y = 2 时- 5 8 x+15 4 = 2,解得 x = 14 5 . 当点 E 落在 AB 边上时,此时 E 点坐标为(14 5 ,2) . 把 E(14 5 ,2)向左平移 2 个单位 得到 D 点,此时点 D 的坐标为( 4 5 ,2) . 13. 解:(1)如图: —91—