精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测（一）数学试题

实验中学2025届高三学业质量统测（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用复数的四则运算得到，再求的共轭复数即可. 【详解】， 的共轭复数为. 故选：A 2. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得. 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 3. 设集合，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式得到，，再求集合C即可. 【详解】对于，则，解得，即， 对于，可得，即， 所以且. 故选：C. 4. 命题．若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 【详解】因为的一个充分不必要条件是， 则是的真子集， ， 故选：D． 5. 设是定义域为的奇函数，，当时，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据奇函数的性质得到，从而得到，再计算即可. 【详解】是定义域为的奇函数，， 当时，， 所以， 所以当时，，. 故选：A 6. 我们知道当或时，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合基本不等式和对数运算可知，由题意结合对数的运算性质可判断，即可得出答案. 【详解】因为， ， 所以， 因，所以，所以， 所以. 故选：B. 7. 函数，对任意，且，都有，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设任意，且，构造函数得到在为增函数，从而得到，恒成立，即可得到答案。 【详解】设任意，不妨令，都有， 等价于任意，且，都有， 等价于任意，且，都有， 设，，则函数在为增函数， 则，恒成立。 等价于，恒成立。 因为在为减函数，所以，即. 故选：D 8. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 分析】利用换元法可得，即可利用不等式求解. 【详解】令，则， 故，因此， 故，故，最小值为， 当且仅当时等号成立，即时取到等号， 故选：B 【点睛】关键点点睛：得，由基本不等式求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 的最小值为 D. 在点处切线为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可判断ABC，再根据导数的几何意义求切线方程，判断D. 【详解】，， 对于A，当时，，所以在单调递增，故A正确； ，得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，C正确， 当时，，当时，， 所以函数只有1个零点，故B错误， 对于D，，，所以曲线在点处的切线方程为，故D正确； 故选：ACD. 10. 设偶函数的定义域为，若为奇函数，则（ ） A. B. C. 函数的一个周期是6 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】函数是上的奇函数，令，求得，可判断A的正误,由题意得，令，可得，通过代换可求得，从而得到函数的周期，可判断BC的正误；根据函数的周期性和即可求解D. 【详解】函数是上的奇函数，当时，，即，又为偶函数，故，故A正确； 又， 即， 令，则， ，①， 令替换，上式化为：，②， 由①②得：，即，函数的周期，故C错误； 在①中，令替换得：，即，③ 由①③得：，即， 函数的图象关于直线对称；故B正确， 由于 ,故D正确， 故选：ABD． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对选项A，利用作差法即可判断A错误.对选项B，构造函数再利用的单调性即可判断B正确，对选项C，构造函数再利用的单调性即可判断C正确，对选项D，构造函数再利用的单调性即可判断D错误. 【详解】对选项A，因为 所以，故A错误. 对选项B，设， ，所以在为减函数， 所以. 因为，所以. 又因为，所以，故B正确. 对选项C，设， 因为，所以在为增函数， 因为，所以，即，即，故C正确. 对选项D，设， 因为， 设，， ，所以在为增函数， 因为，所以 即， 所以在为增函数， 因为，所以，即，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式代入即可求解. 【详解】 . 故答案为： 13. 设幂函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由是幂函数可得，再由幂函数的单调性和定义域解不等式即可得出答案. 【详解】因为幂函数， 所以，则， 因为函数的定义域为，且， 所以函数在上单调递减， 所以由可得：，解得：. 故答案为：. 14. 已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可. 【详解】设曲线与的切点分别为，， 因为，，则两切线斜率，， 所以，， 所以，所以， 即， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量 12 21 33 41 52 63 （1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？ （2）该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）72台 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算出与后，借助回归直线过样本中心点即可得回归直线方程，再借助回归直线方程代入计算即可得解； （2）得出的所有可能取值后，计算每种取值对应概率即可得其分布列，借助分布列计算即可得其期望. 【小问1详解】 ， ， 又回归直线过样本中心点， 所以，得， 所以， 当时，， 所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台. 【小问2详解】 因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 16. 设公比为正的等比数列前项和为，且成等差数列． （1）求的通项； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列求和计算求出公比，再根据等差中项列式基本量运算得出首项，最后应用等比数列通项公式计算即可； （2）根据（1）中计算得出,化简得出累加得出，最后应用裂项相消求和即得. 【小问1详解】 因为等比数列公比,， 所以，即， 是等差数列，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以 所以，故， 累加法得出， ， . 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点． （1）证明：直线平面； （2）设，求平面与平面的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据三角形中位线的性质得到，从而得到四边形为平行四边形，即.再利用线面平行的判定即可证明. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示： 因为分别为的中点，所以且. 又因为为的中点，所以且， 所以且，即四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令得. ，， ，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 因为， 所以平面与平面的夹角为. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B． （1）求A点坐标； （2）在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，求的最大值； （3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为，，若，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）设，根据，得到，联立方程组，即可求解； （2）设P点坐标为，由，结合二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，得到点O到线段的距离，结合，求得点M到线段的距离应为，代入椭圆的方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的左，右焦点分别为，， 设，因为，可得， 整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点点坐标为. 【小问2详解】 解：设P点坐标为，则可得Q点坐标为， 由， 当时，取最大值，最大值为. 小问3详解】 解：点坐标为，点的坐标为， 则点O到线段的距离， 若，则点M到线段的距离应为， 故M点的纵坐标为或，代入椭圆方程， 解得M点的横坐标为或， 故M点的坐标为或. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：曲线是轴对称图形； （3）若函数在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明详见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）令，由求得的对称轴，也即曲线的对称轴. （3）由在区间上恒成立列不等式，通过构造函数，结合图象来求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，则切点为. ，则斜率为. 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，， 则，由解得， 令， ， 设， 令， 所以在区间上单调递减，且. ， 所以的图象关于直线对称， 所以曲线是轴对称图形（关于直线对称）. 【小问3详解】 ，， 所以 ， 依题意，在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 画出和的大致图象如下图所示， 由图可知，要使在区间上恒成立，则需即. 【点睛】关键点睛：求解切线有关问题，关键点有3个，第一个是要判断已知点是在曲线上还是在曲线外；第二个是切点的坐标，切点既在曲线上，也在切线上；第三个斜率，斜率可利用导数求得，也可以利用直线上两点坐标来求得.求解函数的对称性，可考虑利用来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验中学2025届高三学业质量统测（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 3. 设集合，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 命题．若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义域为奇函数，，当时，，则（ ） A 1 B. C. D. 6. 我们知道当或时，.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数，对任意，且，都有，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 的最小值为 D. 在点处切线为 10. 设偶函数的定义域为，若为奇函数，则（ ） A B. C. 函数一个周期是6 D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则______． 13. 设幂函数，则不等式的解集为______． 14. 已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量 12 21 33 41 52 63 （1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？ （2）该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望． 16. 设公比为正的等比数列前项和为，且成等差数列． （1）求的通项； （2）若数列满足，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点． （1）证明：直线平面； （2）设，求平面与平面的夹角． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B． （1）求A点坐标； （2）在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，求的最大值； （3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为，，若，求点M的坐标． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：曲线是轴对称图形； （3）若函数在上单调递减，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$