第五单元圆专题：羊吃草问题（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第五单元《圆》专题：“羊吃草”问题 【本质】求几何图形的面积或周长； 【解题思路】关键在于画出羊活动的范围图，较复杂的问题一般由多个不同图形组成，需分开计算。 （1） 根据绳长和拐点确定半径； （2） 确定扇形圆心角； （3）计算图形的面积、周长。 1、 一片草地中央的木桩上拴着一只羊，栓羊的绳子长4米，这只羊绕木桩走一圈的最长路线是多少米？最多能吃到多少平方米的草？ 根据题意画图如下。 绕木桩走一圈的最长路线是半径为4m的圆周长，最多能吃到草的面积是半径为4m的圆面积。代入圆的周长、面积公式即可。 解：走一圈最长路线：2×4π=25.12（m） 最多能吃到：4²×π=50.24（m²） 答：这只羊绕木桩走一圈的最长路线是25.12米，最多能吃到50.24平方米的草。 2、 如图，一只羊被拴在一根5m的绳子上，另一头系再一面墙的中点，这面墙长16m，这只羊最多能吃到多少平方米的草？ 根据题意画图如下。 墙外的地方羊吃不到，所以最多能吃到草的面积是半径为5m的圆面积。 解：π×5²=39.25（m²） 答：这只羊最多能吃到39.25平方米的草。 3、如图，草地上有一个正方形建筑物，边长是4米，1只羊被拴在建筑物的一角上，已知绳子长6米。 （1）这只羊能吃到草的最大面积是多少？ （2）这只羊拉紧绳最多能走多少米？ 根据题意画图如下。 （1）羊活动范围分为两部分，一部分是半径为6m的圆面积，另一部分是半径为2m的圆面积； （2）这只羊拉紧绳最多能走半径为6m的圆周长和半径为2m的圆周长。 解：最多能吃到：×π×6²+×π×（6-4）² =π×6²+π×4=91.06（平方米） 最多能走：×2×6×π+×2×2×π=34.54（米） 答：这只羊能吃到草的最大面积是91.06平方米，拉紧绳最多能走34.54米。 4、一座房子的地面长8米，宽6米，主人在房角拴着一只狗，栓狗的绳子长4米，狗能活动的面积最大是多少平方米？ 根据题意画图如下。 小狗活动范围是半径为4m的圆面积。 解：×π×4²=π×4²=37.68（平方米） 答：狗能活动的最大面积是37.68平方米。 5、一间房子的占地形状是长方形，长6米，宽4米，房子周围是草地。王大爷将一只羊拴在房子的外墙角处(紧靠地面)，如图。已知拴羊的绳子长6米，这只羊能吃到草的最大面积是多少？ 根据题意画图如下。 羊的活动范围分为两部分，一部分是半径为6m的圆面积，另一部分是半径为2m的圆面积。 解：×π×6²+×π×（6-4）²=π×6²+π×4==87.92（平方米） 答：这只羊能吃到草的最大面积是87.92平方米。 6、如图所示，草坪上有一个长20米宽10的长方形羊圈，羊圈由1.5米高的竹栅栏围成，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊，问：这只羊能吃到草的最大面积是多少？（结果保留π） 根据题意画图如下。 羊的活动范围分为三部分，一是半径为30m的圆面积，二是半径为10m的圆面积，三是半径为20m的圆面积。 解：×π×30²+×π×（10²+20²） =π×30²+π×500=π×（675+125）=800π（平方米） 答：这只羊能吃到草的最大面积是800π平方米。 7、墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？ 根据题意画图如下。 羊的活动范围分为两部分，一部分是半径为4m的圆面积，另一部分是半径为2m的圆面积。 解：×π×4²+×π×（4-2）² =π×4²+π×4=18.84（平方米） 答：这只羊能吃到草的面积最多是18.84平方米。 8、如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是多少？（结果保留π） 根据题意画图如下。 羊的活动范围分为两部分，一部分是半径为5m的圆面积，另一部分是半径为1m的圆面积。 解：×π×5²+×π×（5-4）² =π×5²+π×1=π×（+）=π（平方米） 答：小羊A在草地上的最大活动区域面积π平方米。 9、如图，一只羊拴在一个长方形的建筑的一角，长方形建筑长8m，宽6m，绳子长18m，这只羊如果从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 根据题意画图如下。 羊的活动范围分为三部分，一是半径为18m的圆周长，二是半径为12m的圆周长，三是半径为4m的圆周长。 解：×2π×18+×2π×（18-6）+×2π×（18-6-8） =×（36π+24π+8π）=53.38（米） 答：最多可跑53.38米。 10、如图，一只羊被拴在边长为4米的正三角形建筑物的一个顶点上，绳子长6米，这只羊能吃到草的最大面积是多少？（结果保留π） 根据题意画图如下。 羊的活动范围分为两部分，一部分是半径为6m的圆面积，另一部分是半径为2m的圆面积。 解：×π×6²+×π×（6-4）² =π×6²+π×4=π×（30+）=π（平方米） 答：这只羊能吃到草的最大面积是π平方米。 11、如图，一只羊被5米长的绳子拴在等腰直角三角形建筑物的一个顶点上，建筑物的两条直角边长为4米，周围都是草地，这只羊能吃到草的最大面积是多少？ 根据题意画图如下。 羊的活动范围分为两部分，一部分是半径为5m的圆面积，另一部分是半径为1m的圆面积。 解：×π×5²+×π×（5-4）² =π×25+π×1=61.23（平方米） 答：这只羊能吃到草的最大面积是61.23平方米。 12、一头羊被7米长的绳子栓在正五边形的一个顶点上，已知建筑物边长为3米，周围都是草地，这只羊能吃到草的最大面积是多少？（π取3） 根据题意画图如下。 羊的活动范围分为三部分，一是半径为7m的圆面积，二是半径为4m的圆面积，三是半径为1m的圆面积。 解：正五边形每个角均为108°，据此可得： ×π×7²+×π×（7-3）²+×π×（7-3-3）² =π×7²+π×16+π×1=123.3（平方米） 答：这只羊能吃到草的最大面积是123.3平方米。 13、把一只羊拴在长8m、宽6m的长方形草地上，拴羊的绳子长为2m，那么这只羊吃到草的最大面积是多少平方米？最小面积是多少平方米？（画图并计算）。 最大： 最小： 吃到草的最大面积是半径为2m的圆面积；吃到草的最小面积是拴在顶点处，面积是半径为2m的圆面积。 解：画图如下。 最大面积：π×2²=12.56（平方米） 最小面积：π×2²=3.14（平方米） 答：吃到草的最大面积是12.56平方米，最小面积是3.14平方米。 14、一个边长是10米的正方形草地，对角线的两个端点有两根木桩拴着两头牛，绳子都和正方形相等，两头牛都能吃到草的草地面积是多少？ 根据题意画图如下。 两头牛都能吃到草的草地面积，也就是两头牛活动范围的重叠面积，下图阴影部分。 解：S阴影=2×（π×10²-×10²）=57（平方米） 答：两头牛都能吃到草的草地面积是57平方米。 15、有一块边长6米的的正方形草地，在这块地的相邻两边中点各有一棵树，每棵树上各用3米长的绳子栓一只羊，请算一算这两只羊都不能吃到草的面积是多少平方米？（精确到0.1） 根据题意画图如下。 两只羊都不能吃到草的面积，下图阴影部分。 解：S阴影=大正方形面积-圆面积-小正方形面积，其中大正方形边长是6、圆半径是3，小正方形边长是3，所以： S阴影=6²-π×3²-3×3=12.87≈12.9（平方米） 答：这两只羊都不能吃到草的面积是12.9平方米。 16、如图是一块由篱笆围起的面积为3π平方米的等边三角形草地，一只羊拴在三角形顶点的柱子上，要使羊能够吃到这块地上的一半面积的草，则这条栓羊的绳子至少多少米？ 羊拴在等边三角形的顶点，能吃到草的面积是圆心角为60°的扇形。 已知草地面积是3π，吃一半面积的草，也就是扇形面积=，根据扇形的面积公式可求半径，即栓羊绳子的长度。 解：设绳子长度为r米，由题可得：×π×r²=，则r=3。 答：这条栓羊的绳子至少3米。 17、一只羊圈在一块面积为6.28平方米，形状是正方形的草地上，草地四周有栅栏，把羊拴在位于正方形的一个顶点的木桩上，这条绳子至少要多长才能使羊吃到草地上一半的草？ 羊拴在正方形的顶点，能吃到草的面积是圆心角为90°的扇形。 已知草地面积是6.28，吃一半面积的草，也就是扇形面积=6.28÷2=3.14，根据扇形的面积公式可求半径，即拴羊绳子的长度。 解：设绳子长度为r米，由题可得：×π×r²=6.28÷2，则r=2。 答：这条绳子至少要2米长才能使羊吃到草地上一半的草。 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$