第十一章《三角形》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第十一章《三角形》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．已知三角形的两边长分别是和，那么这个三角形第三边长可能是（      ） A． B． C． D． 2． 是的高，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 3．在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（    ） A．栅栏 B．可伸缩晾衣架 C．电动伸缩门 D．升降平台 4．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为边延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，，与的平分线交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 6． 边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 7．小强用一些完全相同的等腰三角形纸片（图中）拼接图案，已知，．若按照如图所示的方法拼接下去，则得到的图案的外轮廓是（        ） A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 8．两个直角三角板如下图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ） A．60° B．67.5° C．75° D．82.5° 9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4都是五边形的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，则∠A的度数是（    ） A．120° B．115° C．110° D．108° 10．四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（    ） ①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36° A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知、、是三角形的三边，化简： ． 12．将一副三角尺按如图所示方式摆放，若斜边，则的度数为 ． 13.如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线． 14．如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，，则的度数为 ． 15．如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，ABC的周长是28cm，AB＝2BC，BD是AC边上的中线． （1）当BC＝6cm时，求AD的长； （2）当BC＝8cm时，能否求出AD的长？若能，则请求出AD的长度；若不能，请说明理由． 17．如图，点P是内一点． (1)按下列要求画出图形． ①过点P画的垂线，垂足为点D； ②过点P画交于点E；过点P画交于点F； (2)在（1）所画出的图形中，若，求和的度数． 18．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB． (1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么? (2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)若，求的度数； (2)若与相交于点，，请求出、所满足的等量关系式． 20．如图，和是的两条外角平分线． 求证：．    21．如图，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知点A的坐标是，点B的坐标是，过点A作线段，使，连接交于点E．    (1)直接写出线段的长； (2)求证：； (3)如图1，点F，G分别在线段上，且，若，，请用含m，n的式子表示． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 23．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与满足的数量关系式； (4)深入探究：如图2，过点A作直线，若，求的大小． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章《三角形》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．已知三角形的两边长分别是和，那么这个三角形第三边长可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行判断作答即可，解题的关键是熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴第三边边长大于小于， ∴三角形第三边长可能是， 故选：． 2． 是的高，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】①如图1，当高在的内部时，； ②如图2，当高在的外部时，， 综上所述，的度数为或． 故选：D． 3．在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（    ） A．栅栏 B．可伸缩晾衣架 C．电动伸缩门 D．升降平台 【答案】A 【分析】主要考查了三角形的性质中的稳定性．属于基础题，比较简单．三角形的特性之一就是具有稳定性．找到图形中有三角形固定的即可． 【详解】解：A、利用了三角形的稳定性，正确； B、四边形不具有稳定性，故错误； C、四边形不具有稳定性，故错误； D、四边形不具有稳定性，故错误， 故选：A 4．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，为边延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，，与的平分线交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，图形的变化规律．根据角平分线的定义及三角形的内角和的定理及外角的性质可得，，，据此找规律可求解． 【详解】解：在中，， 的平分线与的平分线交于点， ， 同理可得， ， 以此类推，， ， ， 即． 故选：C． 6． 边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过边形的一个顶点可以作条对角线，得到过个顶点可以作条对角线，但每条对角线重复一次， 由此可得为的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线， ∴过个顶点可以作条对角线， 但每条对角线重复一次， ∴边形所有对角线的条数有条， 故选：． 7．小强用一些完全相同的等腰三角形纸片（图中）拼接图案，已知，．若按照如图所示的方法拼接下去，则得到的图案的外轮廓是（        ） A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的外角的性质与内角的性质等知识点，先求出的度数，再求出图中正多边形的每一个内角的度数，进而求出答案，熟记正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴多边形的每一个内角的度数为：， ∵多变形的每一条边相等， ∴多变形为正多边形， ∴正多边形的边数等于：， 故选：B． 8．两个直角三角板如下图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ） A．60° B．67.5° C．75° D．82.5° 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键． 首先根据直角三角形两锐角互余可算出和的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数． 【详解】解：在和中，，，， ， ， ， ， 在中，． 故选：C． 9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4都是五边形的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，则∠A的度数是（    ） A．120° B．115° C．110° D．108° 【答案】A 【详解】多边形的外角和为360°，所以与∠A相邻的外角的度数是360°-75°×4=60°，则∠A=180°-60°=120°. 故选A. 10．四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（    ） ①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36° A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据四边形内角和证明结论②正确，再根据和结合结论②证明结论④正确，连接AP并延长至点G，根据外角和定理证明结论①正确，结论③也可以通过前面的证明得到． 【详解】解：∵，， ∴，故②正确， ∵， ， ∴， ∵EP平分，FP平分， ∴，， ∴，故④正确， 同理：， 如图，连接AP并延长至点G， ，故①正确， ∴，故③正确． 故选：D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知、、是三角形的三边，化简： ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和第三边，两边之差第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值合并同类项即可． 考查了三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边， 得，，． 则 ． 故答案为：． 12．将一副三角尺按如图所示方式摆放，若斜边，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，先根据平行线的性质，得到的度数，再根据三角形外角性质，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， 又， ， 故答案为：． 13.如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律，根据已有多边形对角线的条数，归纳出规律成为解题的关键． 先确定一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线， 则一个n边形共有（，且n为整数）条对角线． 故答案为：． 14．如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算的度数，从而得出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵平分，交于，平分，交于， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 15．如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ． 【答案】 【分析】延长交于点，结合所给的条件，则可找到，通过角之间关系的转化，可以得到，从而可得，再结合可求得的度数，则可求的度数．本题主要考查了平行线的性质，垂线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形，找到已知条件与所求角之间的关系． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，整理得：， ， ， 在中，， ， ， 即， ， 解得：， ． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，ABC的周长是28cm，AB＝2BC，BD是AC边上的中线． （1）当BC＝6cm时，求AD的长； （2）当BC＝8cm时，能否求出AD的长？若能，则请求出AD的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）5cm；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）先求出AB＝12cm，再利用ABC的周长求出AC＝10，最后根据BD是AC边上的中线即可求得AD的长； （2）先求出AB＝16cm，再利用ABC的周长求出AC＝4，然后根据三角形的三边关系即可判断此时的三角形是不存在的，由此可得答案． 【详解】解：（1）∵AB＝2BC，BC＝6cm， ∴AB＝12cm， ∵ABC的周长是28cm， ∴AB＋BC＋AC＝28cm， ∴AC＝28－12－6＝10cm， 又∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝AC＝5cm， ∴AD的长为5cm； （2）不能求出AD的长，理由如下： ∵AB＝2BC，BC＝8cm， ∴AB＝16cm， ∵ABC的周长是28cm， ∴AB＋BC＋AC＝28cm， ∴AC＝28－16－8＝4cm， ∵4＋8＜16， ∴AC＋BC＜AB（与AC＋BC＞AB矛盾）， ∴此时的ABC不存在， ∴此时不能求出AD的长． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中线，三角形的周长等相关知识，注意运用三角形的三边关系解决（2）是解决本题的关键． 17．如图，点P是内一点． (1)按下列要求画出图形． ①过点P画的垂线，垂足为点D； ②过点P画交于点E；过点P画交于点F； (2)在（1）所画出的图形中，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了画平行线，垂线，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质． （1）按要求画图即可； （2）根据平行线的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB． (1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么? (2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数． 【答案】(1)∠1与∠2互余 (2)4° 【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2=90°； （2）根据∠A与∠C互补可得∠C的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可． 【详解】（1）∠1与∠2互余． ∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°， ∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC， ∴∠1＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC， ∵EG∥AB， ∴∠2=∠ABE， ∴∠1+∠2=∠ADC+∠ABC＝90°， 即∠1与∠2互余． （2）∵∠A=100°，∠1=42°， ∴∠C=80°，∠2=48°， ∴∠ABE=∠CBE=48°， ∴∠BEC=180°-48°-80°=52°， ∴∠CEG=52°-48°=4°． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义；弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)若，求的度数； (2)若与相交于点，，请求出、所满足的等量关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，利用外角的性质是解本题的关键． （1）利用两个平角和四边形内角和求出即可； （2）利用（1）的等量关系套入，根据）推导出即可． 【详解】（1） ； （2） ， ， ． 20．如图，和是的两条外角平分线． 求证：．    【答案】见解析 【分析】根据外角的性质和角平分线的性质证明，再根据三角形内角和定理得到，就可以证明结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵BP平分，CP平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行角度求解． 21．如图，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知点A的坐标是，点B的坐标是，过点A作线段，使，连接交于点E．    (1)直接写出线段的长； (2)求证：； (3)如图1，点F，G分别在线段上，且，若，，请用含m，n的式子表示． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，即可求解； （2）根据三角形外角的性质和平行线的性质即可证明； （3）由（2）可得，根据得出，再根据三角形内角和得出，即可得，化简即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， ∴； （2）解：由三角形外角的性质得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分两种情况：或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：48； （2）解：， ， 故答案为：222； （3）解：由（2）知， ， 由折叠知， ， ， 得：； （4）解：如图，当时， ， ， ， 由（3）知， ， 由折叠知， ； 如图，当时， ； 如图，当时，点与点C在直线的同侧，不合题意； 综上可知，的度数为或． 23．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与满足的数量关系式； (4)深入探究：如图2，过点A作直线，若，求的大小． 【答案】(1)140，90，50； (2)； (3)（2）中的结论不成立，，，； (4)． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形的内角和定理求解即可． （2）猜想：．利用三角形内角和定理即可解决问题． （3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可． （4）延长交于点Q，根据平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意，在中，； 在中， ∵， ∴ ． 故答案为：140，90，50． （2）解：猜想：． 理由：在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：判断：（2）中的结论不成立． ①如图中，结论：． 理由：设交于． ∵， ∴， ∴． ②如图中，结论：． 证明：设交于． ∵， ∴， ∴． ③如图中，结论：． 理由：∵，， ∴， ∴． （4）解：延长交于点Q， 由题意，∵， ∴． 又，, ∴． ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$