精品解析：辽宁省沈阳市浑南区广全实验学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

广全实验学校2024—2025学年度上学期高二开学考试 数 学 命题人：隋岩 审核人：数学教研组 满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系和商数关系，即可求出结果. 【详解】因为为第二象限角，且，所以， 得到， 故选：B. 2. 已知向量．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得列方程求解即可. 【详解】因，， 所以，解得. 故选：A 3. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等式变形得，运用复数的四则运算求出，即得其虚部. 【详解】由可得，则虚部为1. 故选：B. 4. 下列几何体是旋转体的是（ ） A. 五棱柱 B. 六棱锥 C. 八棱台 D. 球 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转体、多面体的定义，判断即可． 【详解】根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体； 一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体． 故选：D 5. 在空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设对称点为，由题可知点M为线段的中点，根据中点坐标公式列出式子进行计算即可得解. 【详解】设对称点为，则点M为线段的中点， 由中点坐标公式，可得：，所以 故选：C. 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点关于点的对称问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 6. 在△ABC中， 角 A， B， C所对的边分别为a， b， c， 则角C为（ ） A. 15° B. 45° C. 15°或105° D. 45°或135° 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理直接求解. 【详解】由正弦定理可得，，即， 所以， 由知，又， 或. 故选：D 7. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算直观图的面积为，再根据直观图的面积与原图面积的关系为，计算得到答案. 【详解】直观图的面积，原图面积，由直观图的面积与原图面积的关系为， 得. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面图形的直观图的面积与原面积的关系，属于基础题. 8. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用立体几何公理、定理结合反例证明即可. 【详解】对于A，若，，，当m，n都平行于，的交线时， 满足条件，此时，相交，故A错误； 对于B，若，，，则m，n可能异面，故B错误； 对于C，若，，，则，故C正确； 对于D，若，，，则m，n可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知点是所在的平面外一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合空间向量的数量积的坐标运算，以及模的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量若， 对于A中，由，所以，即，所以A正确； 对于B中，由，可得， 所以与不垂直，即与不垂直，所以B不正确； 对于C中，由，可得， 即，所以C正确； 对于D中，由，所以，即，所以D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在四面体 中，，，D，E，F 分别是棱，，的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求得. 【详解】对于A中，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，且平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，因为，且为的中点，可得， 又因为，且为的中点，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为，所以平面，所以B正确. 对于C中，由B项知：平面，因为平面， 所以平面平面，所以C正确； 对于D中，设直线，易得，可得，所以， 假设平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为与不一定垂直，所以平面与平面不一定垂直，所以D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，下列判断中正确是（ ） A. 平面平面 B. C. D. 异面直线与所成角的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明平面，结合面面垂直判定定理证明平面平面，判断A； 证明平面，结合线面垂直的定义证明，判断B； 由平面平面，结合锥体体积公式证明，由此判断C； 根据异面直线夹角的定义判断D. 【详解】因为，， ，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，， ，平面， 所以平面，平面， 所以， ，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，A正确； 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，平面， 所以，B正确； 因为平面平面，点在直线上， 所以点到平面的距离等于到平面的距离 所以，C正确； 因为， 所以异面直线与所成角为或中的锐角或直角， 又为等边三角形，所以当点为的中点时，， 故异面直线与所成角可能为，D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正三棱锥的底面三角形的边长为，斜高为，则该正三棱锥的体积为______cm3 【答案】 【解析】 【分析】先利用斜高所在直角三角形求出棱锥的高，再利用体积公式求解可得. 【详解】如图，正三棱锥，取的中心为，连接，连接并延长交于，连接， 由正三棱锥的定义得面，且为的中点， 则即为正三棱锥的斜高，， , 又为等边三角形，则， 所以正三棱锥的高, 故该正三棱锥的体积为. 故答案为：. 13. 已知向量，且，则向量，夹角的大小是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平面向量夹角余弦公式求出夹角的余弦，从而可得答案. 【详解】因为向量，且， 所以， 又因为, 所以向量夹角的大小是． 故答案为: ． 14. 若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为____________. 【答案】. 【解析】 【分析】取的中点，连接，则为二面角的平面角，在中，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，取的中点，连接，则为二面角的平面角， 因为，所以为直角三角形，所以. 【点睛】本题主要考查了二面角的求解，其中解答中根据二面角的平面角的定义，得到为二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即得. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明； （2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质即可证明． 【小问1详解】 连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 17. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 18. 设锐角的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若边，面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）20. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，求出； （2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 又，得， 所以，又为锐角，所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以的周长为． 19. 棱长为2的正方体中，分别是的中点. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0推理即得. （2）利用空间向量的夹角公式计算即得. （3）求出向量的模即可. 【小问1详解】 正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由分别是的中点，得， ，则， 因此，所以. 【小问2详解】 ，而，则， 所以与所成角的余弦值是. 【小问3详解】 ，则，所以的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广全实验学校2024—2025学年度上学期高二开学考试 数 学 命题人：隋岩 审核人：数学教研组 满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体是旋转体的是（ ） A. 五棱柱 B. 六棱锥 C. 八棱台 D. 球 5. 在空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中， 角 A， B， C所对的边分别为a， b， c， 则角C为（ ） A. 15° B. 45° C. 15°或105° D. 45°或135° 7. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知点是所在平面外一点，若，则（ ） A B. C. D. 10. 如图，在四面体 中，，，D，E，F 分别是棱，，的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，下列判断中正确是（ ） A. 平面平面 B C. D. 异面直线与所成角的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正三棱锥的底面三角形的边长为，斜高为，则该正三棱锥的体积为______cm3 13. 已知向量，且，则向量，夹角的大小是___________． 14. 若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算 （1） （2） （3） 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 17. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 18. 设锐角的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若边，面积为，求的周长． 19. 棱长为2的正方体中，分别是的中点. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$