精品解析：广东省广州市执信中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

2023—2024学年度第一学期初三级数学暑假作业完成情况调研试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是 A. y=2x+2 B. y=2x-2 C. y=2（x-2） D. y=2（x+2） 4. 中，若，则（ ） A. 100 B. 80 C. 60 D. 20 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在我国玉树抗震救灾自愿捐款活动中，调查到了某校30名同学的捐款情况如下表：（单位：元） 捐款 5 10 15 20 25 30 人数 11 9 6 2 1 1 则这所学校的同学捐款的平均数为（ ）元． A. 10 B. 11 C. 15 D. 20 7. 如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图１，在中，，点从点出发，沿以的速度运动设的面积为，点的运动时间为，变量与之间的关系如图所示，则在运动过程中，的最大值是（　　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是平行四边形，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则在中（） A. B. C. D. 10. 若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，例如，，都是“整点”，四边形（为原点）为正方形且点坐标为，有4条直线，其中，，，互不相等，则这4条直线在正方形内（包括边上）经过的整点个数最多是（ ）个． A. 22 B. 24 C. 28 D. 25 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是___________． 12. 一组数据25，29，20，x，14，它的中位数是23，则这组数据的平均数为______． 13. 如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为______． 14. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于_______． 15. 已知：正方形的边长为8，点E、F分别在上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为_____． 16. 如图，在菱形中，，与交于点 ，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点 ，，连接，则下列结论中一定成立的是__________． ①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点、、、构成的四边形是菱形 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）（公式法）； （2）（配方法）． 19. 如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点．求证：． 20. 某校要从小明和小亮两名运动员中挑出一人参加立定跳远比赛，学校记录了二人在最近的6次立定跳远选拔赛中的成绩（单位：），并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息， a．如图 b．小亮最近6次选拔赛成绩如下： 250 254 260 271 255 240 c．小明和小亮最近6次选拔赛中成绩的平均数、中位数、方差如下图： 根据以上信息，回答下列问题： 平均数 中位数 方差 小明 a 252.5 129.7 小亮 255 m n （1）_______；_______；_______ （2）根据这6次选拔赛成绩，你认为应选_______（填“小明”或“小亮”）参加这项比赛，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 21. 如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的度数． 22. 某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系． （1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）． （2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？ （3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由． 23. 如图，在矩形中，点在边上，， （1）请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：在的延长线上求作点，使，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①求证：平分； ②求线段的长． 24. 在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化. （1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积. 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴于点E，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是（4，0）． ①求△CGF的面积； ②直线l上是否存在点P，使OP+BP的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＞0），当点E在x轴上运动时，探究下列问题： 当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第一学期初三级数学暑假作业完成情况调研试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得， ， 故选：A． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D、属于最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 3. 将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是 A. y=2x+2 B. y=2x-2 C. y=2（x-2） D. y=2（x+2） 【答案】A 【解析】 【详解】平移时k的值不变，只有b发生变化 原直线的k=2，b=0；向上平移两个单位得到了新直线， 那么新直线的k=2，b=0+2=2． ∴新直线的解析式为y=2x+2． 故选A． 4. 中，若，则（ ） A. 100 B. 80 C. 60 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的邻角互补，和已知，就可建立方程求出两角． 【详解】解：在平行四边形中，，则， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，关键是建立方程组求解． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意， B、原式，故B不符合题意． C、原式，故C不符合题意． D、原式，故D符合题意． 故选：D． 6. 在我国玉树抗震救灾自愿捐款活动中，调查到了某校30名同学的捐款情况如下表：（单位：元） 捐款 5 10 15 20 25 30 人数 11 9 6 2 1 1 则这所学校的同学捐款的平均数为（ ）元． A. 10 B. 11 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，用样本估计总体．先求出这30名同学的平均捐款数，利用样本估计总体的思想即可解答． 【详解】30位同学捐款的平均数为：（元）， 由此估计这所学校的同学捐款的平均数为11元， 故选：B． 7. 如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出直线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可知：当时，，即， 所以不等式的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 8. 如图１，在中，，点从点出发，沿以的速度运动设的面积为，点的运动时间为，变量与之间的关系如图所示，则在运动过程中，的最大值是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式可知，需要求出及的值，而取得最大值时，恰好为边，结合函数图象，求出及，从而可求的最大值． 【详解】解：在中，，的面积为， ， 由图可知，当时，取得最大值；当时，， 又点从点出发，沿以的速度运动， ，， 的最大值是 故选：C． 【点睛】本题考查了动点函数的图象问题，结合图象分析出动点处于什么位置取得最大值是解决问题的关键． 9. 如图，四边形是平行四边形，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则在中（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．由FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE可得S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝m，由此即可解决问题. 【详解】连接BF． 设平行四边形AFEO的面积为4m． ∵FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE ∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝m， ∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝m：m：m＝3：2：1 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 10. 若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，例如，，都是“整点”，四边形（为原点）为正方形且点坐标为，有4条直线，其中，，，互不相等，则这4条直线在正方形内（包括边上）经过的整点个数最多是（ ）个． A. 22 B. 24 C. 28 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据“整点”的定义可知，在正方形内（包括边上）扥整点横坐标的取值范围是0到6的自然数，直线在范围时，当，时对应的整点数最多为7个，其次是或时对应的整点数最多为4个，由此即可得到答案． 【详解】解：由画图可知： ， 直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有7个， 直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有7个， 直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有7个， 直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有4个， 其中点是三条直线、、的交点，点是直线、的交点， 经过的整点的个数最多是：（个）， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的性质，抓住，，，互不相等时哪些直线上的整点数最多，注意整点的函数值与自变量的取值范围是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积与边长的关系，可知，则由此即可求解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理的意义是解题的关键． 12. 一组数据25，29，20，x，14，它的中位数是23，则这组数据的平均数为______． 【答案】22.2 【解析】 【分析】由中位数的定义“将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据”即可判断出x的值，再利用求平均数的公式求出结果即可． 【详解】∵这组数据由5个数组成，为奇数个，且中位数为23， ∴， ∴这组数据为25，29，20，23，14， ∴这组数据的平均数．　 故答案为：22.2． 【点睛】本题考查中位数，求平均数．掌握中位数的定义和求平均数公式是解答本题的关键． 13. 如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，，当时，可求，由，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， ， ， 解得：， 故答案：． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴围成的面积，掌握求法是解题的关键． 14. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，根据一元二次方程的解可得，代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知：正方形的边长为8，点E、F分别在上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证，可得，是直角三角形，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，掌握全等三角形的判断和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，，与交于点 ，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点 ，，连接，则下列结论中一定成立的是__________． ①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点、、、构成的四边形是菱形 【答案】①④ 【解析】 【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=CD=AB，①正确； 先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确； 由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确； 证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD=DE， ∴AB=DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG=DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG=CD=AB，①正确； ∵AB∥CE，AB=DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD=∠BAD=60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB=BD=AD，∠ODC=60°， ∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG， 在△ABG和△DCO中， ， ∴△ABG≌△DCO（SAS）， ∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确； ∵OB=OD，AG=DG， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG∥AB，OG=AB， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF， ∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1， ∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍， 又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积， ∴S四边形ODGF=S△ABF；③不正确； 正确的是①④． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行计算． （2）利用乘法分配律展开，再结合二次根式的乘法法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）（公式法）； （2）（配方法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∴， ， ∴ ∴． 19. 如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴,，. 在和中， ∵ , ∴, ∴,, ∴，即, ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质，证明，再由全等三角形的性质判定出四边形DEBF为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解决本题的关键． 20. 某校要从小明和小亮两名运动员中挑出一人参加立定跳远比赛，学校记录了二人在最近的6次立定跳远选拔赛中的成绩（单位：），并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息， a．如图 b．小亮最近6次选拔赛成绩如下： 250 254 260 271 255 240 c．小明和小亮最近6次选拔赛中成绩的平均数、中位数、方差如下图： 根据以上信息，回答下列问题： 平均数 中位数 方差 小明 a 252.5 129.7 小亮 255 m n （1）_______；_______；_______ （2）根据这6次选拔赛成绩，你认为应选_______（填“小明”或“小亮”）参加这项比赛，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【答案】（1），， （2）小亮；小亮的平均数比小明大，方差较小，且中位数更大 【解析】 【分析】本题考查方差，平均数，中位数等知识； （1）根据平均数，中位数，方差的定义逐个计算即可； （2）从中位数，平均数，方差去分析即可． 【小问1详解】 小明平均数为， 小亮最近6次选拔赛成绩从小到大排列后为240，250，254，255，260，271，则其中位数， 小亮最近6次选拔赛成绩方差为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 选：小亮． 理由：小亮的平均数比小明大，方差较小，且中位数更大． 故答案为：小亮；小亮的平均数比小明大，方差较小，且中位数更大． 21. 如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出；证明是的中位线，得出，证出，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，再由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 22. 某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系． （1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）． （2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？ （3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由． 【答案】（1） （2）4元 （3）不可能达到13万元，理由如下： 设牙膏的销售单价应定为x元，根据题意得： ， 即． ， 该超市日均销售利润不可能达到13万元． 【解析】 【分析】（1）设函数表达式为，把，代入表达式求出解析式即可； （2）设牙膏的销售单价应定为x元，根据该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润列出等式，解方程即可得到答案； （3）设牙膏的销售单价应定为x元，根据超市日均销售利润能否达到13万元列出等式求出答案． 【小问1详解】 解：设函数表达式为，把，代入表达式， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设牙膏的销售单价应定为x元，根据题意得： ， 即． 解得：或． ， ． 答：牙膏的销售单价应定为4元； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式．正确求出一次函数解析式是解题关键． 23. 如图，在矩形中，点在边上，， （1）请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：在的延长线上求作点，使，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①求证：平分； ②求线段的长． 【答案】（1） 解：如图1所示： （2） ①证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 平分； ② 【解析】 【分析】（1）如图：用圆规和直尺作线段的垂直平分线与的延长线的交点即为F； （2）①由矩形的性质可得，进而得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后得到即可证明结论；②如图2，过点作于点．设．然后说明四边形是矩形可得，即；最后运用勾股定理求得x即可解答 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图2，过点作于点．设． 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图、矩形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 24. 在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化. （1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积. 【答案】（1）BP=CE； CE⊥AD； （2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下： 连接AC， ∵菱形ABCD，∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAD=120° ， ∠BAP=120°＋∠DAP， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=AE ， ∠PAE=60° ， ∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，， ∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°， ∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD， ∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立； （3） . 【解析】 【详解】【分析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出 ，即可证得CE⊥AD； （2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可； （3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得， 的长，再根据，进行计算即可得. 【详解】（1）①BP=CE，理由如下： 连接AC， ∵菱形ABCD，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=AE ，∠PAE=60° ， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE； ②CE⊥AD ， ∵菱形对角线平分对角， ∴， ∵△ABP≌△ACE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴CF⊥AD ，即CE⊥AD； （2）略 (3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ， ∵∠ABC=60°，， ∴∠ABO=30° ，∴ ， BO=DO=3， ∴BD=6， 由(2)知CE⊥AD， ∵AD∥BC，∴CE⊥BC， ∵ ， ， ∴， 由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5， ∴， ∵△APE是等边三角形，∴ ， ， ∵， ∴， = = =， ∴四边形ADPE的面积是 . 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键. 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴于点E，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是（4，0）． ①求△CGF的面积； ②直线l上是否存在点P，使OP+BP的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＞0），当点E在x轴上运动时，探究下列问题： 当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值． 【答案】（1）y=﹣x+6；（2）①6；②P（4，3）；（3）m的值为2或6或8 【解析】 【分析】（1）将C（2，4）和A（6，0）代入y=kx+b，即可得到直线AB的解析式； （2）①设点F（4，y1），G（4，y2），分别代入y=2x和y=-x+6，可得FE=8，GE=2，FG=6，过点C作CH⊥FG于H，依据S△FCG=FG×CH，进行计算即可；②设点O关于直线l的对称点为D（8，0），设直线BD的解析式为y=mx+n，将B（0，6），D（8，0）代入y=mx+n，可得直线BD的解析式为y=-x+6，令x=4，则y=3，即可得出P（4，3）； （3）需要分数轴情况进行讨论，画出图形，依据全等三角形的对应顶点的位置，即可得到m的值． 【详解】（1）将点C（a，4）代入y=2x，可得a=2， ∴C（2，4）， 将C（2，4）和A（6，0）代入y=kx+b，可得 ，解得， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+6； （2）①如图1，∵l⊥x轴，点E，F，G都在直线l上，且点E的坐标为（4，0）， ∴点F，G的横坐标均为4， 设点F（4，y1），G（4，y2），分别代入y=2x和y=﹣x+6，可得 y1=8，y2=2， ∴F（4，8），G（4，2）， ∴FE=8，GE=2，FG=6， 如图2，过点C作CH⊥FG于H， ∵C（2，4）， ∴CH=4﹣2=2， ∴S△FCG=FG×CH=×6×2=6； ②存在点P（4，3），使得BP+OP的值最小． 理由：设点O关于直线l的对称点为D（8，0）， 设直线BD的解析式为y=mx+n， 将B（0，6），D（8，0）代入y=mx+n，可得 ，解得， ∴直线BD的解析式为y=﹣x+6， 点P在直线l：x=4上，令x=4，则y=3， ∴P（4，3）； （3）m的值为2或6或8． 理由：分三种情况讨论： ①当△OAC≌△QCA，点Q在第四象限时，∠ECA=∠EAC， ∴AE=CE=4，OE=6﹣4=2， ∴m=2； ②当△ACO≌△ACQ，Q在第一象限时，OE=AO=6， ∴m=6； ③当△ACO≌△CAQ，点Q在第四象限时，四边形AOCQ是平行四边形，CQ=AO=6，AE=2， ∴OE=8， ∴m=8； 综上所述，m的值为2或6或8时，以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等. 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．解决等腰三角形问题的关键是运用分类思想，画出图形，利用等腰三角形的腰长相等列方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $