精品解析：广东省湛江市博雅学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

湛江博雅学校高中部2023—2024学年第一学期第一次月考 高二数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，22小题，满分为150分，考试用时120分钟. 2.答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项日填写清楚.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题卷上，在试题卷上作答无效. 一､单选题（共8小题，40分） 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可. 【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为. 故选：A. 2. 若平面的法向量，直线l的方向向量，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据法向量与方向向量数量积的运算结果，结合线面关系进行判断即可. 【详解】因为，所以或. 故选：D 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 4. 如图，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由斜率的定义判断大小即可. 【详解】由斜率的定义知，. 故选：D. 5. 如图，在四面体中，且，用表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，用表示出. 【详解】因为， 所以，， 故 故选：C 6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A. B. 133 C. D. 61 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可． 【详解】因为，，， 所以 故选：A． 7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为. 【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体， 所以其体积为. 设正四面体内切球的半径为， 则，得. 如图，取的中点为，则 . 显然，当的长度最小时，取得最小值. 设正四面体内切球的球心为，可求得. 因为球心到点的距离， 所以球上的点到点的最小距离为， 即当取得最小值时，点到的距离为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径. 二､多选题（共4小题，20分） 9. (多选)下列说法中，错误的是（ ） A. 任何一条直线都有唯一的斜率 B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角 D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】 【详解】解析　A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0，90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错． 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D. 【详解】因为，所以，不垂直，A错， 因为，所以，B对， 因为，所以，所以不是钝角，C错， 因为在方向上的投影向量，D对， 故选：BD. 11. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A. +，-2， B. -， +3，2 C. ，2，- D. +，-， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共面向量定理结合基底的定义逐项判断. 【详解】A. 设+=x（-2）+y= ，则无解，所以+，-2，不共面，故正确； B. 设-=x（+3）+2y= ，则 ，解得，所以-， +3，2共面，故错误； C. 设=2x）+y= ，则 ，无解，所以，2，-不共面，故正确； D. 设+=x（-）+y= ，则 ，解得，所以+，-，共面，故错误； 故选：AC 12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三､填空题（共4小题，20分） 13. 平面的法向量是，点在平面内，则点的到平面的距离___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】解：设直线PA与平面所成的角为， ， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用空间向量的夹角公式，结合数量积和模长可解. 【详解】解：两平面的法向量分别为， 设两平面的夹角为，所以， 因为，所以，即两平面的夹角为. 故答案为：. 15. 若直线与平行，则实数a的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，解得，再代入检验即可； 【详解】解：因为直线与平行， 所以，解得， 当时，直线与，两条直线重合，故舍去. 当时，直线与，符合题意. 故答案为： 16. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是______． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求得，取线段的中点，可知点的轨迹为线段，求出点关于直线的对称点的坐标，由此可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 因为，则，即，即点， 由题意可得，则， 取点，则点的轨迹为线段，设点关于直线的对称点为点， 则线段的中点在直线上，所以，，可得，① ，，②， 联立①②可得，，则点，由对称性可知， 所以，点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值， 即为点到平面的距离，即为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，再计算得到点的轨迹，最后利用对称的知识得到最值. 四､解答题（共6小题，70分） 17. 已知点. （1）求直线的倾斜角 （2）过点的直线与过两点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线的倾斜角； （2）求出直线与直线的斜率，从而可得结果. 【小问1详解】 由已知得：直线的斜率 又 【小问2详解】 直线的斜率 直线的斜率 过点直线与过两点的线段有公共点， 直线斜率的取值范围为 18. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 19. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 20. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解； （2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解． 【小问1详解】 ∵为线段的中点，∴， ∵，∴， ∴ ； 【小问2详解】 ． 21. 已知. （1）若可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）点的坐标为或或 （2）平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【解析】 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. 【小问2详解】 若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，然后证明平面，可得，即可证明； （2）首先证明平面，然后以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案. 【小问1详解】 连接，由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，； 又为中点，， 因为二面角为直二面角， 即平面平面，平面平面平面 平面，又平面； 又平面平面. 【小问2详解】 ， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面 平面， 则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设，则， ； 由（1）知：平面平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，则； ， 令，则； ， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江博雅学校高中部2023—2024学年第一学期第一次月考 高二数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，22小题，满分为150分，考试用时120分钟. 2.答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项日填写清楚.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题卷上，在试题卷上作答无效. 一､单选题（共8小题，40分） 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 若平面的法向量，直线l的方向向量，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，且，用表示，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A. B. 133 C. D. 61 7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共4小题，20分） 9. (多选)下列说法中，错误的是（ ） A. 任何一条直线都有唯一的斜率 B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角 D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 11. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A. +，-2， B. -， +3，2 C. ，2，- D. +，-， 12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三､填空题（共4小题，20分） 13. 平面的法向量是，点在平面内，则点的到平面的距离___________. 14. 两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为__________. 15. 若直线与平行，则实数a的值是___________. 16. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是______． 四､解答题（共6小题，70分） 17. 已知点. （1）求直线的倾斜角 （2）过点的直线与过两点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围. 18. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 19. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 21. 已知. （1）若可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $