1.3.1 空间直角坐标系-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系，涵盖点的坐标确定、对称关系、投影向量及距离计算等核心知识点。通过基础题（如点坐标判断）到综合题（如几何体中坐标应用）再到斜坐标系拓展题的设计，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层检测与素养导向，基础题巩固概念（如点到Oxy平面距离），能力题结合正三棱柱等几何体培养空间观念，拓展题引入斜坐标系发展创新意识。通过逻辑推理（如对称点方程求解）和数学语言表达（坐标描述空间关系），助力学生提升数学思维，教师可高效评估学情。

课后达标检测 1 1.已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、 轴的正方向上的 单位向量，且，则点 的坐标是( ) A. B.，， C. D. 解析：选A.由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点 的坐标为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.在空间直角坐标系中，已知点，点 ，则( ) A.点和点关于轴对称 B.点和点关于 轴对称 C.点和点关于轴对称 D.点和点 关于原点中心对称 解析：选B.由题得点与点 的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同， 所以点和点关于 轴对称. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面 的距离 为( ) A.1 B.2 C.3 D. 解析：选C.由题意可知，点到平面 的距离为该点竖坐标的绝对 值，即为3. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影是点 ， 则点 的坐标为( ) A. B. C. D. 解析：选C.点在坐标平面内的射影是点，故点 的坐标是 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.以长方体的顶点 为坐标原点， 过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，若的坐标为 ， 则 的坐标是( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为，为坐标原点，所以， , 又因为 为长方体， 所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）在空间直角坐标系中，已知点 ，则( ) A.在轴上的投影向量的坐标为 B.在轴上的投影向量的坐标为 C.在轴上的投影向量的坐标为 D.点在坐标平面内的射影的坐标为 解析：选.在轴上的投影向量的坐标为，A正确；在 轴 上的投影向量的坐标为，B正确；在 轴上的投影向量的坐标为 ，C错误；点在坐标平面内的射影的坐标为 ，D正确. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7.在空间直角坐标系中，过点作轴的垂线，则垂足与点 的中 点坐标为_____________. ，， 解析：过点作轴的垂线，垂足的坐标为 ，故所求中点 坐标为，， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 8.（2025·聊城期末）在空间直角坐标系中，若点 关于平面 对称的点为，则点 的坐标为_________. 解析：由题意知，在空间直角坐标系 中， 点关于平面的对称点为，又 ， 所以解得所以点的坐标为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 9.已知空间向量，则向量在坐标平面 上的投影向量的坐 标是_________；在 轴上的投影向量的坐标是_______. 解析：根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点 在坐标平面 上的投影坐标的横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变，所以空间向量 在坐标平面上的投影向量的坐标是 ；空间中点 在 轴上的投影坐标的横坐标为1，纵坐标与竖坐标均为0，所以空 间向量在轴上的投影向量的坐标是 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 10.（13分）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系 ， 若，，，是的中点，求点 的坐标. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 解：方法一：设点在轴、轴、 轴上的射影分 别为，，，它们的坐标分别为 , ,，所以点的坐标是 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 方法二：设，，的单位向量分别为，，，则{，， }为空间 的一个基底， . 所以点的坐标是 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 11.（多选）如图，在正三棱柱 中， 已知的边长为2，三棱柱的高为1， ， 的中点分别为，，以 为坐标原点，分别 以，，的方向为轴、轴、 轴的正方 向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐 标表示正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 解析：选.在等边三角形中，，，所以 ，则 ，，，， ，则 ， .故A，B，C正确，D错误. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 12.在空间直角坐标系中，点在平面，平面， 平面 上的射影分别为，，，则四面体 的体积为___. 1 解析：由，可得点在平面，平面， 平面上的射影分别 为，，， 平面，且 是直角三角形， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.（13分）在单位正交基底{，，}下，已知向量 ， ，求向量在和 上的投影向量的坐标. 解：因为 ， ， 所以 ，故向 量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 14.（15分）空间中，两两互相垂直且有公共原点 的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两 条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标 系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹 角均为 ，我们将这种坐标系称为“空间斜 坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 坐标系”下向量的斜 坐标：，，分别为 “斜 坐标系”下三条数轴轴、轴、轴 正 方向的单位向量，若向量，则与有序实数组 相对 应，称向量的斜 坐标为，记作 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 （1）若，，求的斜 坐标；（5分） 解：由， ， 知， ， 所以 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （2）在平行六面体中，， ， ，如图，以，， }为基底建立 “空间斜 坐标系”.若，且，求 .（10分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 解：设，，分别为与，，同方向的单位向量，则 ， ， ， 由题知， ， 因为，所以 ， 由知 ,所以 , 即 , 解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 15.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制 “十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂 直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四 棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两 条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯 穿体”由两个底面边长为2，高为 的正四棱柱构成，在其直观图中建立 如图2所示的空间直角坐标系，则点 的坐标为___________. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 解析：部分点、线在平面 的射影 如图所示，可得点 的坐标为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 $