微专题01 平面直角坐标系面积问题通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 平面直角坐标系面积问题通关专练 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 2．如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 3．已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知两点和，下列说法正确的有（    ）个 ①直线轴；        ②A、B两点间的距离 ③三角形的面积    ④线段的中点坐标是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知，，三点，且三角形的面积等于，则的值为（    ） A．1或 B．9 C．1或9 D．9或 6．在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（    ） A． B．12 C．15 D．24 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 9．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 10．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第n次移动到．则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 12．已知点，，点在正半轴上，且的面积是，则点的坐标为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 14．如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到． （1）若，则的长为 ； （2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．    16．如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 17．如图，点，，，连接，，．若点D在y轴上，三角形与三角形的面积相等，则点D的坐标是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是 ．    19．如图，A，B两点的坐标分别为，点C在x轴上，的面积是10，则点C的坐标是 ． 20．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 三、解答题 21．如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上． (1)若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标； (2)求出的面积； (3)点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标． 22．在平面直角坐标系中，，，． (1)画出，并求的面积； (2)在中，点C经过平移后的对应点为 ，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． (2)若点M为，连接．请用含n的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，将三角形沿x轴方向向右平移得到三角形（点A，M的对应点分别为点D，E），若三角形的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 24．如图，直线l经过点，与x轴和y轴分别交于点E和点F，与正比例函数交于点． (1)求直线l的函数解析式； (2)求的面积． 25．在平面直角坐标系中，为原点，点，，． (1)如图1，三角形的面积为______； (2)如图2，将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点． ①直接写出点的坐标； ②求三角形的面积． 26．如图1，，，我们能够容易地计算出的面积，根据所给的平面直角坐标系探究下列问题．（说明：三角形记作） 【思维启迪】． （1）若点的坐标是，点的坐标是，则 ①的面积是________，的面积是________； ②的面积与的面积之间的数量关系是________； ③，，三点所在的直线与x轴的位置关系是________． 请利用你发现的结论，尝试解决以下问题． 【学以致用】 （2）是轴上方一点，点的坐标是，若的面积与的面积相等，且，求点的坐标． 【发散思维】 （3）如图2，若点的坐标是，连接，点在轴上，若的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标， 27．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将平移，使点A与点重合，点的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标_______；的坐标_______； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为_______． (3)求三角形的面积． 28．综合探究 如1图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)如2图，若过点作交轴于点，且，分别平分和，求的度数． 29．在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：、、、(每格的宽度为1个单位长度)． (1)点到原点的距离是 ； (2)将点向轴的负方向平移个单位，得到点，点的坐标是 ； (3)直线与轴的位置关系是 ； (4)的形状是 ，它的面积是 平方单位． 30．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积． 31．如图，平面直角坐标系中， 的顶点都在网格点上，其中，C 点坐标为． (1)填空：点A 的坐标是 ；点 B 的坐标是 ； (2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'（点A与、点 B 与、点C 与对应），请画出； (3)直接写出的面积______． 32．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，在直角坐标系中，已知，，其中，满足 (1)填空：______，______； (2)如果将点向左移3个单位，再向下移8个单位得到点，连接，，在所给的直角坐标系中画出三角形，并求出三角形的面积； (3)在（2）的条件下，在轴上有一点，使三角形的面积等于三角形的面积，请求的值 34．已知：，，．    (1)在直角坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 35．如图1，在长方形中，，点O为平面直角坐标系的原点，点B在第一象限内． (1)如图1，直接写出点B的坐标； (2)如图2，过点的直线交于点D，若直线把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标； (3)如图3，若将（2）中的线段向左平移，点、分别在线段上移动，当四边形的面积是长方形面积的一半时，求点、的坐标． 36．如图，在平面直角坐标系中有四个点、、、． (1)描出A、B、C、D四个点，并画出四边形； (2)求四边形的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P坐标：若不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、分别在轴、轴上，轴，轴，点的坐标为，且． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)若动点从原点出发，沿轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的时，点停止运动，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且．现同时将点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点，连接． (1)直接写出两点的坐标为：______，______； (2)若点是线段上的一个动点，是线段上的一点（不与点重合），连接、，当点在线段上移动时（不与点重合），请找出的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 平面直角坐标系面积问题通关专练 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 作轴于．只要证明，推出，由，推出，推出，再利用勾股定理求出，最后求面积即可． 【详解】解：作轴于． ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴正方形的面积． 故选：C． 2．如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 3．已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上 ∴设点的坐标为 依题意， 解得 ∴点的坐标是或 故选：C 4．已知两点和，下列说法正确的有（    ）个 ①直线轴；        ②A、B两点间的距离 ③三角形的面积    ④线段的中点坐标是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据两点和的纵坐标都是2，则直线轴，即可判断①；那么A、B两点间的距离，即可判断②；那么，即可判断③；线段的中点坐标是，化简即可判断④． 【详解】解：∵两点和的纵坐标都是2， ∴直线轴，故①是错误的； ∵两点和的横坐标分别是和6，且直线轴， ∴A、B两点间的距离，故②是正确的； ∴，故③是正确的； ∵， ∴线段的中点坐标是，故④是正确的； 正确的是②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，涉及坐标点以及坐标点构成的线段中点，三角形面积为底×高的一半；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．已知，，三点，且三角形的面积等于，则的值为（    ） A．1或 B．9 C．1或9 D．9或 【答案】C 【分析】根据已知可得：，，然后三角形的面积公式列式计算即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵三角形的面积等于， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段的长，再根据点C的纵坐标，可得以为底的的高，从而的面积可求． 【详解】解析：由点得， 点C在直线上，与直线平行，且平行线间的距离为4， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（    ） A． B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】过点作轴，垂足为，由可证可得，，可得，进而求出结果． 【详解】过点作轴，垂足为， 轴，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，构建合适的全等三角形是解本题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到轴，，高为，利用面积公式直接计算可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴轴，，高为， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 9．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 【答案】C 【分析】根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，，，， ∵图上一个单位长度表示10米， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第n次移动到．则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从A1移动到A4作为一个循环，共移动了4次，水平向前移动了2m，则第2020次移动到A2020，此时移动了2021÷4=505个循环，水平向前移动了2×505=1010（m），所以，点A2021的坐标（1011，0），则OA2021=1011（m），则△OA2A2021的底边为OA2021，高为1m，则根据三角形面积公式就可以求得． 【详解】解：OA2021=2020÷4×2+1=1011（m）， △OA2A2021的面积=×1011×1=505.5（m2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的规律，通过观察发现点的坐标变化规律，找到三角形的顶点坐标，然后计算出底和高，由此计算出三角形的面积． 二、填空题 11．已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，则，根据三角形的面积是2，得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设点P的坐标为，则， ∵三角形的面积是2， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 12．已知点，，点在正半轴上，且的面积是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，设点的坐标为：，根据三角形的面积公式，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴， 设点的坐标为：， 由题意得：， 则， 解得， 点在正半轴上，则， 则点的坐标为：． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【答案】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形的面积转换成三角形面积． 连接，根据即可求解； 【详解】连接， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到． （1）若，则的长为 ； （2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是 ． 【答案】 30 【分析】本题考查平移的性质，梯形的面积． （1）由点的坐标和平移的性质先求出 ，再求即可； （2）由平移可知四边形是梯形，再根据坐标求出上底，下底和高即可． 【详解】解：（1） 的坐标分别为，，沿轴向右平移得到 故答案为：； （2）如图，连接， 的坐标分别为，，沿轴向右平移得到 四边形是梯形 由（1）知， 梯形面积是． 故答案为：30． 15．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查算术平方根、平方数的非负性及坐标与图形，直角坐标系内求三角形面积；利用坐标确定线段的长度是解题的关键．先求得出点A、B坐标，进而求出，根据题意求出结论即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 16．如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 【答案】4或或14 【分析】本题主要考查了坐标与图形，先求出，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况根据三角形面积公式列出方程求出点P的运动路程，进而求出运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为， ∴， 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为4秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 综上所述，P点运动的时间为4秒或秒或14秒， 故答案为：4或或14． 17．如图，点，，，连接，，．若点D在y轴上，三角形与三角形的面积相等，则点D的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，先求解的中点，设，求解，结合三角形与三角形的面积相等，再建立方程求解即可； 【详解】解：如图，点，， ∴的中点， ∴； 设，而三角形与三角形的面积相等， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； 故答案为：或 18．如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是 ．    【答案】12 【分析】过点作轴，垂足为，由可证可得，，可得，进而求出结果． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 轴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，构建合适的全等三角形是解本题的关键． 19．如图，A，B两点的坐标分别为，点C在x轴上，的面积是10，则点C的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据题意列出绝对值方程成为解题的关键． 设，则，由题意可得边上的高为4，然后再列绝对值方程即可解答． 【详解】解：设，则， ∵， ∴边上的高为4， ∵的面积是10， ∴，即，解得：或． ∴点C的坐标是或． 故答案为或． 20．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 【答案】，， 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点在轴上时，当点在轴上时，分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 当点在轴上时， ， 三角形和三角形面积相等， ， ， 点的坐标为， 当点在轴上时， ， 三角形和三角形面积相等， ， ， 点的坐标为，， 综上所述：点的坐标为，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 三、解答题 21．如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上． (1)若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标； (2)求出的面积； (3)点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标． 【答案】(1)图形见解析， (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）设点，根据面积公式建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如下图所示， 由图知三个顶点坐标为：； （2）解：； （3）解：设点， 根据题意得：， 解得：，或， ∴或． 22．在平面直角坐标系中，，，． (1)画出，并求的面积； (2)在中，点C经过平移后的对应点为 ，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)15 (2)作图见解析， 【分析】本题考查的是作图平移变换，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据各点在坐标系中的位置描出各点，并顺次连接即可； （2）根据图形平移的性质画出平移后的，并写出点的坐标即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）如图，即为所求，； 23．如图，在平面直角坐标系中，已知为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． (2)若点M为，连接．请用含n的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，将三角形沿x轴方向向右平移得到三角形（点A，M的对应点分别为点D，E），若三角形的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；②或 (2)的面积为 (3)点E的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，难度适中，能准确求三角形的面积和掌握图形与坐标的性质是关键． （1）①根据到两坐标轴的距离相等，构建方程，求出m的值即可；②先求出，再根据且可得结论； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵到两坐标轴的距离相等，且在第三象限， ∴， ∴， ∴； ②∵A， ∴， ∵， ∴或； （2）解：∵在第三象限， ∴， ∴三角形的面积为； （3）解：∵沿x轴方向向右平移得到， ∴． ∵的周长为m， ∴． ∵四边形的周长为， ∴，即， ∴解得， ∴点E的坐标为． 24．如图，直线l经过点，与x轴和y轴分别交于点E和点F，与正比例函数交于点． (1)求直线l的函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式： （1）把点代入，可得到点A的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点F的坐标为，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， ，解得：， 所以点A的坐标为， 设直线l的函数解析式为， 把点和点代入，得： ， 解得：， 所以直线l的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， 所以点F的坐标为， 所以． 25．在平面直角坐标系中，为原点，点，，． (1)如图1，三角形的面积为______； (2)如图2，将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点． ①直接写出点的坐标； ②求三角形的面积． 【答案】(1)6； (2)①；②9． 【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键． （1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可； （2）①由平移的性质可得点D坐标；②连接，过点D作轴于点E，轴于点F，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：6． （2）解：①∵，将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点， ∴； ②如图，连接，过点D作轴于点E，轴于点F， ∵， ∴， 26．如图1，，，我们能够容易地计算出的面积，根据所给的平面直角坐标系探究下列问题．（说明：三角形记作） 【思维启迪】． （1）若点的坐标是，点的坐标是，则 ①的面积是________，的面积是________； ②的面积与的面积之间的数量关系是________； ③，，三点所在的直线与x轴的位置关系是________． 请利用你发现的结论，尝试解决以下问题． 【学以致用】 （2）是轴上方一点，点的坐标是，若的面积与的面积相等，且，求点的坐标． 【发散思维】 （3）如图2，若点的坐标是，连接，点在轴上，若的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标， 【答案】（1）①4，4；②；③平行；（2）或；（3）点或 【分析】本题考查了图形与坐标，涉及三角形面积在坐标系中的应用，解题的关键是对以上知识的灵活运用． （1）根据三角形在坐标系的特征，利用三角形的面积来求坐标； （2）设点坐标：，在平面直角坐标系中，取上一点，连接，，过点作轴垂线交轴于点，过作轴垂线交轴于，，，点在所在的直线上，，，分类列方程求解即可求得点的坐标； （3）设点，，，代值求解得到或，进而求出点的坐标． 【详解】解：（1）①过点作的高，长度为点的纵坐标2， ， 的高与的高相等，且长度为2， ， 故答案为：4，4； ② ， ， 故答案为：相等； ③ ，，三点的纵坐标都是2， ，，三点所在的直线与轴的位置关系是：平行， 故答案为：平行； （2）设点坐标，在平面直角坐标系中，取一点，连接，，过点作轴垂线交轴于点，过作轴垂线交轴于，如图所示： ， ， 点的坐标是，即， ，即的纵坐标，则点在所在的直线上， 又，，如图所示： 或，解得或， 点的坐标为或； （3）设点，如图所示： ， ， 点的坐标是，，，， ，解得，则或， 点的坐标点或． 27．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将平移，使点A与点重合，点的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标_______；的坐标_______； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为_______． (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见详解，， (2) (3) 【分析】（1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． 本题主要考查了作图平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标是， 平移是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， 平移后的如图所示： （2）解：由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度， 点的对应点的坐标为， 点的坐标为； （3）解： ． 28．综合探究 如1图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)如2图，若过点作交轴于点，且，分别平分和，求的度数． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，角平分线的定义．也考查了平行线的性质和三角形面积公式． （1）根据非负性，求出的值即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． （3）作，如图②，则，根据平行线的性质得，，则，而，，所以，于是，则． 【详解】（1）解： ， ，， ∴，； （2）由（1）知， ，， 轴， ∴， ，， ； （3）解：作，如图， ， ， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ． 29．在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：、、、(每格的宽度为1个单位长度)． (1)点到原点的距离是 ； (2)将点向轴的负方向平移个单位，得到点，点的坐标是 ； (3)直线与轴的位置关系是 ； (4)的形状是 ，它的面积是 平方单位． 【答案】(1) (2) (3)平行 (4)等腰直角， 【分析】（1）利用点到坐标轴的距离的意义求解． （2）将点向轴的负方向平移个单位，结合坐标系，即可求解； （3）利用点和点的纵坐标相同可判断直线与坐标轴的关系； （4）观察网格的特点，都经过网格对角线，进而可判断的形状是等腰直角，根据三角形面积公式以及网格求面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，则点到原点的距离是， 故答案为：． （2）解：将点向轴的负方向平移个单位，得到点，点的坐标是 （3）解：∵， ∴直线与轴的位置关系是平行； （4）的形状是等腰直角，它的面积是平方单位 故答案为：等腰直角，． 30．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质：： （1）根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0进行求解即可； （2）由（1）得，则，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴ ． 31．如图，平面直角坐标系中， 的顶点都在网格点上，其中，C 点坐标为． (1)填空：点A 的坐标是 ；点 B 的坐标是 ； (2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'（点A与、点 B 与、点C 与对应），请画出； (3)直接写出的面积______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了平移作图，确定点的坐标，割补法求几何图形的面积，正确掌握平移的性质作出平移的图形是解题的关键． （1）根据点的位置直接得到点的坐标； （2）根据平移的规律作图及确定点坐标即可； （3）根据所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解∶根据题意，得点A 的坐标是，点B的坐标是， 故答案为∶ ，； （2）解∶如图， 即为所求， （3）解∶ 的面积为． 32．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了平移、坐标与图形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移的性质． （1）直接根据变化情况，写出两点坐标即可； （2）根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）根据的面积是的面积的2倍求出的长，进而可求出点F的坐标． 【详解】（1）∵，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D， ∴，； 故答案为：，； （2） ； （3）存在， ∵，， ∴， ∵的面积是的面积的2倍 ∴ ∴ ∴． ∵， ∴点F的坐标为或． 33．如图，在直角坐标系中，已知，，其中，满足 (1)填空：______，______； (2)如果将点向左移3个单位，再向下移8个单位得到点，连接，，在所给的直角坐标系中画出三角形，并求出三角形的面积； (3)在（2）的条件下，在轴上有一点，使三角形的面积等于三角形的面积，请求的值 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与平移变换-平移，坐标与图形的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先根据平移的性质求出，再根据三角形的面积求解即可； （3）先求出点，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴，． ∵点向左移3个单位，再向下移8个单位得到点， ∴， 则三角形的面积 （3）如图，连接， 则， ∴， ∴， ∴． ∵三角形的面积等于三角形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴或． 34．已知：，，．    (1)在直角坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求面积，绝对值方程，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据、、三点坐标在直角坐标系中确定位置，依次连接，即可得到； （2）利用割补法即可求出的面积； （3）由已知可知，，设点的坐标为，则，再根据的面积，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作；    （2）解：的面积； （3）解：，， ， 设点的坐标为， ， 由（2）可知，， ， ， 或， 点的坐标为或． 35．如图1，在长方形中，，点O为平面直角坐标系的原点，点B在第一象限内． (1)如图1，直接写出点B的坐标； (2)如图2，过点的直线交于点D，若直线把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标； (3)如图3，若将（2）中的线段向左平移，点、分别在线段上移动，当四边形的面积是长方形面积的一半时，求点、的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了点坐标，平移的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握点坐标，平移的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）由长方形，，可得B； （2）设，则，，，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由平移的性质可知，，由，四边形的面积是长方形面积的一半，可得，可求，进而可得点、的坐标． 【详解】（1）解：∵长方形，， ∴B； （2）解：设，则，， ∴，， 依题意得，或， 解得，或(舍)， ∴； （3）解：由平移的性质可知，， ∵，四边形的面积是长方形面积的一半， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴． 36．如图，在平面直角坐标系中有四个点、、、． (1)描出A、B、C、D四个点，并画出四边形； (2)求四边形的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)36 (3)的坐标为或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握坐标系中点的坐标特点． （1）根据点的坐标在平面直角坐标系中画出四边形即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可； （3）根据，得出，设点P的坐标为，得出，求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：连接交x轴于点E，过点A作于点F，如图， ，，，． ，，， ， ， ； （3）解：若，则， 设点P的坐标为， 到的距离为， ， ∴， 解得：或， 的坐标为或． 37．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、分别在轴、轴上，轴，轴，点的坐标为，且． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)若动点从原点出发，沿轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的时，点停止运动，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的运动时间为3秒； (3)或 【分析】（1）由，利用非负数的性质可得，，进一步可得答案； （2）设，则，再建立方程求解即可； （3）由（2）可知，设，则，再建立方程求解，进而可得点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得，， ∴， ∴，； （2）解：设，则， 由题意知，， ∴，解得， ∴（秒）， ∴点P的运动时间为3秒； （3）由（2）可知， 设，则，， ∵， ∴，解得或， ∴或． 【点睛】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用．解题的关键是表示出点的坐标． 38．如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 【答案】(1)20 (2)P点的坐标或． 【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． （1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： ∵，，，， ∴，，，，， 则 ； （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴P点的坐标或． 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且．现同时将点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点，连接． (1)直接写出两点的坐标为：______，______； (2)若点是线段上的一个动点，是线段上的一点（不与点重合），连接、，当点在线段上移动时（不与点重合），请找出的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)存在，或或或 【分析】（1）根据平移规律即可得到C，D两点的坐标； （2）过P作，根据平行线的性质即可得出结论； （3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴， 将点分别向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点， ； （2）结论：； 证明如下：过作，如图： 点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点 ， ， ， ； （3）在坐标轴上存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍，理由如下： ， ， ①当在轴上时，如图： ， ， 或； ②当在轴上时，如图： ， 或； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查算术平方根的非负性、坐标与图形、平移变换、平行线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 40．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点，其坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）根据点可得平移规律，连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为，若点的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； （2）解：点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，， 如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； （3）解：由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$