精品解析：安徽省鼎尖教育联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（ ） A B. C. D. 5. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 11. 在菱形中，边长为，，将沿对角线折起得到四面体，记二面角的大小为，则下列结论正确的是（ ） A. 对任意，都有 B. 存在，使平面 C. 当时，直线与平面所成角为 D. 当时，四面体外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是______． 13. 将函数的图象向右平移后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为______． 14. 若用表示不大于x的最大整数，用表示不小于x的最小整数，那么方程的最大整数解为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照，，，，分组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分； （2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在为“推荐指数四颗星”，评分在为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率． 16. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 17. 的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若，．平分交于点，求的长． 18. 如图，在四棱锥中，，，底面直角梯形，，，． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）求平面与平面所成锐二面角正切值． 19. 已知定义在R上的函数，． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若对，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数，实数a、b、c满足，，求c的最小值． （参考公式：如果a、b、c正实数，那么，当且仅当时，等号成立．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数的运算可得，再按交集的定义求解即可. 【详解】由，可得， 所以， 所以. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，求出、，再计算其模. 【详解】设，因为， 即，即， 所以，解得，即，所以. 故选：B 3. 已知平面向量，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的坐标表示公式、平面向量共线的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦的二倍角公式、充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】若，则有 若，则有，或，解得：或， 显然由可以推出，但由不一定能推出， 因此是的充分不必要条件， 故选：A 4. 腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式计算可得. 【详解】依题意圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 所以腰鼓的体积. 故选：D 5. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为二次函数的对称轴为， 所以有，即， 故选：A 6. 正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合的定义，结合正六边形和等腰梯形的性质、古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】正六边形六个顶点中任取四个点，不同的方法共有种方法， 在如图所示正六边形中， 显然四边形、、、 、、是等腰梯形，共个， 因此正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是， 故选：D 7. 是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】首先推导出，从而得到，再根据计算可得. 【详解】因为，即， 所以 ， 又，所以， 所以. 故选：C 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对式子进行化简求出，再根据二倍角公式即可求解. 【详解】， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 又， 解得： ，(舍)， . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】对于A：若与互斥，则，故A错误； 对于B：若与互斥，则，故B正确； 对于C：若与相互独立，则，故C正确； 对于D：若与相互独立， 则，故D错误. 故选：BC 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11. 在菱形中，边长为，，将沿对角线折起得到四面体，记二面角的大小为，则下列结论正确的是（ ） A. 对任意，都有 B. 存在，使平面 C. 当时，直线与平面所成角为 D. 当时，四面体外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接、，则，，所以为二面角的平面角，再证明平面，即可判断A；推出矛盾，即可判断B；证明平面平面，则为直线与平面所成角，即可判断C；求出外接球的半径，即可判断D. 【详解】取的中点，连接、，依题意可得，， 则为二面角平面角， 又，平面，所以平面，又平面， 所以，故A正确； 在菱形中，边长为，，所以， 若平面，平面，则， 所以，与矛盾，故B错误； 因为平面，又平面， 所以平面平面， 所以为直线与平面所成角， 当，则，即当时，直线与平面所成角为，故C正确； 在中，时，取、的外心、， 则，，过、分别作、的垂线交于点， 则为四面体外接球球心，连接，则， 设外接球的半径为，则， 所以四面体外接球的表面积，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位计算规则计算可得. 【详解】将数据从小到大排列依次为：，，，，，，，，，，，， 又，所以上四分位数是. 故答案为： 13. 将函数的图象向右平移后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出平移后的函数解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值. 【详解】将函数的图象向右平移得到， 又的图象关于原点对称，所以， 解得， 所以的最小正值为. 故答案为： 14. 若用表示不大于x的最大整数，用表示不小于x的最小整数，那么方程的最大整数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据整数除以余数，结合题中定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，由， 此时方程有正整数解，因此不用讨论是负整数的情况， 当时，由； 当时，由； 当时，由； 当时，由； 当时，由， 由上可知当时，方程的最大整数解为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据的形式分类讨论. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照，，，，分组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分； （2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在为“推荐指数四颗星”，评分在为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率． 【答案】（1），分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数计算公式求出平均数； （2）首先求出“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”各抽取个数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方可知，解得； 则这100个休闲旅游乡村评分的平均分为： （分）； 【小问2详解】 “推荐指数四颗星”乡村数为（个）； “推荐指数五颗星”乡村数为（个）； 按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星” 乡村抽取个， 可知“推荐指数五颗星” 乡村抽取个， 从个乡村中随机抽取个乡村共有种情形， 其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有种情形， 所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 17. 的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若，．平分交于点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）首先利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理，又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 又，， 所以，解得. 18. 如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，，，． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）求平面与平面所成锐二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到，再说明，即可得到平面，从而得证； （2）由（1）可知，再说明，得到平面，即可得证； （3）延长与延长线相交于点，连接，过作于点，连接，由面面垂直的性质得到平面，则，即可得到平面，则是二面角的平面角，求出的长度，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接、， 因为，所以，又，所以， 因为底面是直角梯形，，， 所以，又，所以，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，，，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问3详解】 延长与延长线相交于点，连接，过作于点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 因为且，所以为的中点，又为边长为的等边三角形， 所以在中，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 在中，， 所以平面与平面所成锐二面角的正切值为. 19. 已知定义在R上的函数，． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若对，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数，实数a、b、c满足，，求c的最小值． （参考公式：如果a、b、c是正实数，那么，当且仅当时，等号成立．） 【答案】（1）奇函数，证明详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证得是奇函数. （2）由分离常数，利用换元法法，结合指数函数以及函数的单调性等知识求得的取值范围. （3）先求得，根据已知条件列方程，求得关于的表达式，利用基本不等式求得的最小值. 【小问1详解】 是奇函数，证明如下： 的定义域是，， 所以是奇函数. 【小问2详解】 依题意，对，恒成立， 即对，恒成立， 即对，恒成立， 令， 在上单调递增，所以，即， 令，则， 所以，根据对钩函数的性质可知， 函数在区间上单调递增，， 所以. 【小问3详解】 ， 依题意，，即， 将代入得， 整理得， 当且仅当时等号成立， 由两边取以为底的对数得， 所以的最小值是. 【点睛】判断函数的奇偶性，主要根据奇偶性的定义，由或来进行求解，求解过程中要注意函数的定义域关于原点对称.求解含参数的不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$